Элементы кинематики

Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие  ускорения.

Средним ускорением называют отношение изменения скорости к интервалу времени Dt, за которое это изменение произошло.

            

Вектор  совпадает с вектором .

   -   мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

      

Примеры ускорений:

снаряда в стволе при  выстреле 70 000 м/с².

ракеты на старте - десятки м/с.

 

Типы прямолинейного движения.

а) переменное – движение, при котором изменяются как скорость, так и ускорение.

б) равнопеременное движение - движение с постоянным ускорением.

  >0 - равноускоренное ,  < 0 - равнозамедленное

;      ;

;

     ;        .

в) равномерное движение – движение с постоянной  скоростью.

.

 

3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Движение тела характеризуется скоростью и  ускорением, которые могут изменяться во времени. Пусть материальная точка движется по плоской криволинейной траектории с переменной по величине и направлению скоростью (рис. 4). Для характеристики степени криволинейности вводится понятие радиуса кривизны в данной точке траектории.

Радиусом кривизны R траектории называют радиус окружности, которая сливается с криволинейной траекторией на бесконечно малом ее участке.

В данной точке траектории касательная всегда перпендикулярна радиусу кривизны.

Пусть и скорость, и ускорение  меняются по величине и направлению.

Мы знаем, что ускорение тела при движении есть  .

Вектор скорости можно представить как произведение модуля скорости и некоторого единичного вектора , сонаправленного с вектором линейной скорости , направленного по касательной к траектории.

Таким образом, полное ускорение материальной точки при криволинейном движении можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое

.

Вектор  сонаправлен с вектором , т.е. направлен по касательной к траектории и называется тангенциальным или касательным ускорением. Его модуль равен , поэтому характеризует быстроту изменения скорости криволинейного движения по величине, но не направлению, так как вектор не изменяется.

Следовательно, можно  заключить, что  - тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине, оно направлено по касательной к траектории.

Второе слагаемое  называется нормальным ускорением. Что характеризует этот вектор, куда направлен, как его рассчитать?

Так как вектор сонаправлен с вектором , который определяет изменение направления вектора линейной скорости, то он характеризует изменение скорости криволинейного движения по направлению.

Определим величину и направление  . Рассмотрим частный случай движения материальной точки по окружности радиусом R с постоянной по величине скоростью (рис.5). Среднее изменение скорости на дуге АВ отнесем к точке С, лежащей посередине дуги.

 направлено вдоль R к центру окружности.

 ∾ :

.

 перпендикулярно скорости, направлено вдоль радиуса к центру окружности. Его называют нормальным, радиальным или центростремительным ускорением.

Полное ускорение  материальной точки при криволинейном  движении характеризует быстроту изменения  скорости как по величине, так и по направлению (рис.6).

,  .

4. Угловая скорость и угловое ускорение.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в  виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

В математике показывается, что очень малые повороты можно  рассматривать как векторы, обозначаемые символами или . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела; является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.

При вращательном движении твердого тела каждая точка  движется по окружности, центр которой  лежит на общей оси вращения (рис. 7). При этом радиус-вектор R, направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время Dt на некоторый угол Dj. Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

- вектор элементарного поворота тела.

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина  дуги которого равна радиусу окружности. 360^о = 2p рад.

Направление угловой  скорости задается правилом правого  винта: вектор угловой скорости сонаправлен с , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности. Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

.

В векторной  форме  .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение:

Угловое ускорение – векторная величина равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt.

При ускоренном движении вектор параллелен (рис. 8), при замедленном – противонаправлен (рис. 9).

 

 

 

 

 

 

 

 

Угловое ускорение  возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой  скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.

Найдем связь  между угловым и тангенциальным ускорениями:

.

Изменение направления  скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

.

Типы вращательного  движения

а) переменное – движение, при котором изменяются и :

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

.

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

.

Равномерное вращательное движение можно характеризовать  периодом и частотой вращения .

Период  – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

,   [T] = c.

Частота  вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

,  [n] = c^-1.

За один оборот:    ,

,  .