Задачи по финансовой математике

Министерство образования и науки Российской Федерации

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал  в г.Барнауле 
 
 

Факультет        Региональная кафедра

Финансовый менеджмент     Финансов и кредита 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант - 7 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Барнаул - 2007

 

СОДЕРЖАНИЕ 

 
 
 

 

ВАРИАНТ 7

     Задание 1

     Имеются данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года - всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мултипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ; .
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

     Решение:

     Будем считать, что зависимость между  компонентами тренд – сезонный временной  ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

           (1.1)

     где

     k – период упреждения;

      - расчетное значение экономического  показателя для t-го периода.

      , , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода членов ряда с номером t-1 к t.

      - значение коэффициента сезонности  того периода, для которого  рассчитывается экономический показатель;

     L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

     Таким образом если по формуле 1.1 рассчитывается значение эмпирического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

     Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

            (1.2)

                         (1.3)

                             (1.4)

     Параметры сглаживания a1, a2, a3 подбираются путем перебора с таким расчет, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

     Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к 16 значениям Y(t) из таблицы 1.1. Линейная модель имеет вид:

     

     Подготовим  для использования формул Хольта-Уинтерса:

     - коэффициенты a(0) и b(0) – коэффициенты линейной модели для предыдущего периода t=0;

     - коэффициенты сезонности F(-3), F(-2), F(-1), F(0) для каждого квартала.

     По  первым 8-ми уровням исходных данных построим регрессию и определим  коэффициенты:

           

                             

     a= 43,25 в качестве a (0);

     b= 0,75 в качестве b (0).

     Для оценки коэффициентов сезонности рассмотрим исходные значения y(t) и «предсказанные y» найденные по построенной регрессии.

     Коэффициент сезонности – это отношение фактического y к результату расчета, найдем с помощью линейной модели.

     Для первого квартала предыдущего года используем данные по первому кварталу 1 и 2 лет:

     

     где:

     Y – расчетное значение;

     F (-3) = =0,86;

     Аналогично  находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

      = 1,08;

      = 1,28;

      = 0,79.

     Оценив  значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта – Уинтерса с помощью формул: ;

     Параметры сглаживания имеют значения ; ; и обеспечивают удовлетворительную адекватность и точность модели. Рассчитаем значения , , и для t=1. Из уравнения, полагая, что t=0, k=1, находим:

     A(t)=0,3×Y(t)/F(t)+(1-0,3)×[a(t-1)+b(t-1)];

     b(t)=0,3×[a(t)-a(t-1)]+(1-0,3)×b(t-1);

     F(t)=0,6×Y(t)/a(t)+(1-0,6)×F(t);

     Рассчитаем  значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Yp(1) = [a(0)+1xb(0)]xF(0+1-4)=[43,25+0,75]x0,86 = 37,72;

a(1)= 0,3xY(1)/F(-3)+(1-0,3)x[a(0)+b(0)] = 0,3*37,72/0,86+0,7x[43,25+0,75]      = 44,10;

b(1) = 0,3×[a(1)-a(0)]+(1-0,3)×b(0) = 0,3x(44,10-43,25)+0,7x0,75 = 0,78;

F(1) = 0,6×Y(1)/a(1)+(1-0,6)×F(-3) = 0,6x37,72/44.10+0,4x0,86 = 0,86;

     Аналогично  рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2.

Yp(2) = [a(1)+1xb(1)]xF(-2) = [44,10+0,78]x1,08 = 48,50;

a(2)= 0,3×Y(2)/F(-2)+(1-0,3)×(a(1)+b(1)) = 0,3x37,72/1,08+0.7x(44,098+0,78     = 44,74;

b(2) = 0,3×(a(2)-a(1))+(1-0,3)×b(1) = 0,3x(44,74-44,10)+0,7x0,78 = 0,74;

F(2) = 0,6xY(2)/a(2)+(1-0,6)xF(-2) = 0,6×48,5/44,74+(1-0,6)×1,08 = 1,08;

     t=3

Yp(3) = [a(2)+1xb(2)]xF(-1) = [44,74+0,74]x1,28 = 58.02;

a(3)= 0,3×Y(3)/F(-1)+(1-0,3)×(a(2)+b(2)) = 0,3x58,02/1,28+0.7x(44,74+0,74     = 45,23;

b(3) = 0,3×(a(3)-a(2))+(1-0,3)×b(2) = 0,3x(45,23-44,74)+0,7x0,74 = 0,67;

F(3) = 0,6xY(3)/a(3)+(1-0,6)xF(-1) = 0,6×58,02/45,23+(1-0,6)×1,28 = 1,27;

     t=4

Yp(4) = [a(3)+1xb(3)]xF(0) = [45,23+0,67]x0,79= 36,07;

a(4)= 0,3×Y(4)/F(0)+(1-0,3)×(a(3)+b(3)) = 0,3x36,07/0,79+0.7x(45,23+0,67     = 46,26;

b(4) = 0,3×(a(4)-a(3))+(1-0,3)×b(3) = 0,3x(46,26-45,23)+0,7x0,67 = 0,77;

F(4) = 0,6xY(4)/a(4)+(1-0,6)xF(0) = 0,6×36.07/46.26+(1-0,6)×0.79 = 0,79;

     t=5

Yp(5) = [a(4)+1xb(4)]xF(1) = [46.26+0,77]x0,86= 40,44;

a(5)= 0,3×Y(5)/F(2)+(1-0,3)×(a(4)+b(4)) = 0,3x40,44/0,86+0.7x(46,26+0,77     = 46,87;

b(5) = 0,3×(a(5)-a(4))+(1-0,3)×b(4) = 0,3x(46,87-46,26)+0,7x0,77 = 0,73;

F(5) = 0,6xY(5)/a(5)+(1-0,6)xF(1) = 0,6×40,44/46.87+(1-0,6)×0.86 = 0,86;

     Продолжая аналогично для t= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, строят модель Хольта – Уинтерса. Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). Таким образом, максимальное значение t=16.

     Результаты  расчетов представим в таблице 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Таблица 1.2

Модель  Хольта – Уинтерса