Задачи по финансовой математике

Целью проведения лабораторных занятий является приобретение студентами навыков решения задач по расчету простых, сложных процентов и аннуитетов с применением табличного процессора Excel.

Содержание лабораторных работ – использование формул и функций табличного процессора Excel в финансово-экономических расчётах.

Задание к лабораторной работе (вариант - последние 2 цифры номера зачётной книжки): выполнить в среде Excel с помощью формул и, где это возможно, с помощью встроенных функций следующие расчёты.

 

 

Значения  величин для варианта 78

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

Задача 1

Решение

1-й вариант. Для вычисления процентов с помощью подручных вычислительных средств воспользуемся формулой (1) с учетом формулы (4):

I = Pni = P(t/K)i.

Предварительно по таблице Приложения 1 либо по календарю рассчитаем точное число дней между двумя датами: t = 141 - 47=94 дня, тогда получим:

1) К = 365, t = 94, I₁ =3950000*(94/365)*0,105 =106812,23 руб.;

2) К - 360, t - 94, I₂ =3950000* (94/360) *0,105 = 108295,83 руб. Приближенное число дней составит 97 дня (февраль 15 дней + март 31 день + апрель 30 дней + май 21 день), тогда начисленные проценты будут равны:

3)tf = 360, А = 97, I₃, = 3950000 (42/360) 0,105 = 109447,92 руб. Следует обратить внимание на то, что для каждого случая получили свой результат.

2-й вариант. Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся функцией ДОЛЯ ГОДА (находится в категории «Дата и время»). Данная функция возвращает долю года, которую составляет количество дней между двумя датами (начальной и конечной).

Если функция недоступна или  возвращает ошибку #ИМЯ?, то необходимо подключить надстройку «Пакет анализа»:

■ для Excel 97-2003: меню «Сервис» => команда «Надстройки» => «Пакет анализа» => выбор подтвердить нажатием кнопки ОК;

■ для Excel 2007: меню «Главная» (правая клавиша «мыши») => «Настройка панели быстрого доступа...» => «Параметры Ехсе1» => «Надстройки» => «Перейти» => «Пакет анализа».

Синтаксис функции: ДОЛЯ ГОД А(нач_дата; кон_дата; базис).

Аргументы функции:

начдата — начальная дата;

кондата — конечная дата;

базис — используемый способ вычисления дня.

Возможные значения базиса при различных  способах вычисления приведены в табл. 1.

Если базис < 0 или базис > 4, то функция ДОЛЯГОДА возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

 

Рис. 2

Результат расчета.

Проценты по английской, французской, немецкой практикам равны, соответственно,  106812,33,  108295,83, 109447,92 руб.

 

 

Задача 2

> Пример 4. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит

10900000 руб. Кредит выдан под 10,5 годовых (проценты обыкновенные).

Рассчитать первоначальную сумму  и дисконт.

Известно:S = 10900000 руб.;

 n = t/K = 90/360;

 i = 0,105, или 10,5%.

 Найти: Р = ?

Решение

1-й вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. Последовательно воспользуемся формулами (6) и (7):

Р = S/(1 + ni) = 10 900 000/(1 + 0,105*90/360) = 10621193,67 руб.;

 D = S - Р = 10 900 000 – 10621193,67 = 278806,33 руб.

 

3-й вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Специальные функции в Excel для выполнения расчетов по операциям дисконтирования и учета по простым ставкам не предусмотрены. ►

 

 

 

Рис. 3

 

Результат расчета.

Первоначальная сумма и дисконт равны, соответственно, 10621193,67, 278806,33 руб.

 

Задача 3

> Пример 5. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 1О 9ОО ООО рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 10,5% годовых (год равен 360 дням).

Определить  дисконт D и полученную предприятием сумму Р.

Известно:

S = 1 000 000 руб.;

п = 90 дней;

d = 0,105, или 10,5%.

Найти: D = ?, N = ?

Решение

1-й  вариант. Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств.

Для вычисления дисконта воспользуемся формулой (9):

D = Snd = 10900000*(90/360)*0,105 = 286125 руб.

По формуле (10) рассчитаем сумму, которую  предприятие получит в результате учета векселя:

Р = S - D = 109000000 - 286125 = 10613875 руб.

2-й вариант. Вычисления в Excel выполнены по формулам (9) и (10). Общий вид листа с расчетными формулами и результатами расчетов приведен на рис. 8.

 

Рис. 4

Результат расчета.

Банковский дисконт и полученная сумма равны, соответственно, 286125, 10613875  руб.

 

 

Задача 4

> Пример 6. В кредитном договоре на сумму 10900000 руб. и сроком на 10 лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10,5% годовых.

Определить  наращенную сумму.

Известно:

Р = 10900000 руб.;

п = 10 лет;

i = 0,105, или 10,5%.

Найти: S = ?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (11): S = Р*(1 + i)" = 10900000 (1 + 0,105)¹⁰ = 29583481,23 руб.

2-й  вариант. Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ (находится в категории «Математические»). Данная функция возвращает результат возведения в степень (рис. 9).

3-й  вариант. Для выполнения расчетов по формулам воспользуемся функцией БС (находится в категории «Финансовые»). Данная функция возвращает результат возведения в степень (рис. 10).

 

Рис. 5

Результат расчета.

Наращенная сумма равна 29583481,23  руб.

 

Задача 5

>Пример 8. Ссуда в размере 10900000 руб. предоставлена на 10 лет. Проценты сложные, ставка — 10,5% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

Вычислить наращенную сумму по истечении срока.

Известно:

Р = 10900000 руб.;

i=0,18, или 18%;

п = 10 лет;

т = 2.

Найти: S = ?

Решение

1-й  вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (13). Всего за п лет имеем

N=mn=2*10=20 периодов начислений при начислении 1 раз в полугодие (т = 2). По формуле (13) находим:

S = 10900000* (1 + 0,105/2)²⁰ = 30329733,07 руб.

2-й  вариант. Для выполнения расчетов воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ (из категории «Математические»). Данная функция возвращает результат возведения в степень (рис. 13).

3-й  вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Для выполнения расчетов воспользуемся функцией БС (из категории «Финансовые»). Результаты расчета приведены на рис. 14. ►

 

Рис. 6

Результат расчета.

Наращенная сумма равна  30329733,07 руб.

 Задача 6

> Пример 9. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10,5% годовых.

Известно:

i = 0,105, или 10,5%.

Найти: i_э = ?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств производим по формуле (15): i_э = (1 + j/m)^m- 1 = (1 + 0,105/2)² - 1 = 0,108, или 10,78%.

2-й  вариант. Расчет эффективной ставки выполним в Excel по формуле (15), результаты расчета представлены на рис. 15.

3-й вариант. Расчет эффективной ставки выполним в среде Excel с использованием функции ЭФФЕКТ (из категории «Финансовые»). Данная функция возвращает эффективную (фактическую) процентную ставку при заданной номинальной процентной ставке и количестве периодов, за которые начисляются сложные проценты (рис. 16).

Синтаксис функции ЭФФЕКТ (номинальная  ставка; кол _ периодов).

Аргументы функции:

номинальнаяставка — значение номинальной процентной ставки; колпериодов — количество периодов начисления. ►

 

 

Рис. 7

Результат расчета.

Эффективная ставка равна 10,78 %

 

Задача 7

> Пример 10. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 10,5% годовых.

Известно:

i =0,105, или 10,5%.

Найти: j = ?

Решение

1-й  вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (16):

j = т[1+ i₃)^1/m- 1] = 4*[(1 + 0,105)^1/2  -1] = 0,1024,или 10,24%.

2-й  вариант. Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ (рис. 17).

3-й вариант. Для выполнения расчетов номинальной ставки воспользуемся функцией НОМИНАЛ (из категории «Финансовые»). Данная функция возвращает номинальную годичную ставку при заданной эффективной ставке и числе периодов, за которые начисляются проценты. Результаты расчета приведены на рис. 18.

Синтаксис функции НОМИНАЛ (эффект _ставка; кол_пер). Аргументы функции:

Эффект_ставка — значение эффективной процентной ставки, кол_пер — количество периодов начисления. ►

 

Рис. 8

Результат расчета.

Номинальная ставка равна  10,24%

Задача 8

> Пример 11. Через 10 лет предприятию будет выплачена сумма 10900000.

Определить ее современную стоимость  при условии, что применяется ставка сложных процентов 10,5% годовых.

Известно:

 п = 10 лет;

S=10900000 руб.;

i = 0,105, или 10,5%.

Найти: Р= ?

Решение

1-й вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств выполним по формуле (17): Р = S/( 1 + i)ⁿ= 10900000/(1 + 0,105)¹⁰ = 4016092,60 руб.

2-й вариант. Для выполнения расчетов в Excel по формулам воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ. На рис. 19 приведены два варианта использования данной функции.

3-й  вариант. Для выполнения расчетов по встроенным в Excel функциям воспользуемся финансовой функцией ПС (рис. 20). Данная функция возвращает приведенную стоимость инвестиции при условии периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставки.

Синтаксис функции  ПС (ставка; кпер; плт; бс; тип).

Аргументы функции:

ставка — значение процентной ставки за один период;

кпер — количество периодов начисления;

плт — величина платежа (можно опускать, когда аргумент принимает нулевое значение);

бс — необязательный аргумент, задает будущую стоимость или  остаток средств после последней  выплаты;

тип — необязательный аргумент (принимает значение 0, когда  выплаты производятся в конце  периода, значение 1, когда выплаты  производятся в начале периода). ►

 

Рис. 9

Результат расчета.

Современная стоимость равна 4016092,60 руб.

 

Задача 9

> Пример 12. Через 10 лет по векселю должна быть выплачена сумма 10900000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10,5% годовых.

Определить сумму, которую получит  векселедержатель, и дисконт, который получит банк по истечении срока векселя.

Известно:

п = 10 лет;

S = 10900000 руб.;

i = 0,105, или 10,5%.

Найти: Р =?, D = ?

Решение

1-й вариант. Вычисления по формулам (21) и (22) с помощью подручных вычислительных средств.

Расчет суммы, которую получит  векселедержатель, производится по формуле (21):

Р = S(1 - D_сл)ⁿ = 10900000* (1 - 0,105)¹⁰= 3594651,988 руб.

Расчет дисконта, который получит  банк, произведем по формуле (22):

D = S - Р= 10900000 – 3594651,988 = 7305348,012 руб.

2-й  вариант. Расчеты в Excel по формулам (21) и (22) с использованием математической функции СТЕПЕНЬ (рис. 21).

3-й  вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Готовые финансовые функции для решения подобных задач в Excel не найдены. ►

 

Рис. 10

Результат расчета.

Первоначальная сумма и банковский дисконт  равны, соответственно,  3594651,988 и 7305348,012 руб.

 

Задача 10

> Пример 14. В течение 10 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10900000 руб., на которые каждые полгода (т = 2) начисляются проценты по сложной ставке 10,5% годовых.

Определить  сумму на расчетном счете к  концу указанного срока.

Известно: п = 10 года; т = 2;

R = 10 900 000 руб.; j = 0,105. Найти: S= ?

Решение

1-й  вариант. Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (24): S= 10 900 000-[(1 + 0,105/2)^2*10- 1]/[(1 + 0,105/2)²- 1] =180311889,73 руб.

2-й  вариант. Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ (рис. 28).

3-й  вариант. Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствует готовая финансовая функция для решения данной задачи. ►

Рис. 11

Результат расчета.

Наращенная сумма ренты равна 180311889,73 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

Основная

1. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций: Учебное пособие под ред. Половникова В.А., Пилипенко А.И. М.: Вузовский учебник, 2004. – 360 с.
2. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. — М.: ЮНИТИ, 1995.
3. Орлова И.В., Половников В.А., Федосеев В.В. Курс лекций по экономико-математическому моделированию. — М.: Экономическое образование, 1993.
4. Под ред. В.В. Федосеева. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
5. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. — М.: МЭСИ, 2000.
6. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах / Под ред. М.Р. Ефимовой. — М.: ЮНИТИ, 1999.