Методы оптимальных решений

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение  средств осуществляется в целых числах x_i = {0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} тыс. руб.

Решение.

I этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 3.

Таблица 4.2 – 1-ый шаг условной оптимизации

x3 C3	0	100	200	300	400	500	600	700	F3(C3)
0	0								0	0
100		30							30	100
200			50						50	200
300				90					90	300
400					110				110	400
500						180			180	500
600							220		220	600
700								240	240	700

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₃, которые могут быть предоставлены третьему предприятию. В столбце C₃ отражены варианты значений капиталовложений, которые могут быть выделены всем трем предприятиям в совокупности.

Предположим, что все  средства в количестве x₃ = 700 тыс. руб. отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход составит f₃(x₃) = 700 тыс. руб., следовательно: F₃(C₃) = f₃(x₃) и x₃ = C₃.

 

2-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

.

Представим в таблице  расчет функции Беллмана.

Таблица 4.3 – 2-ой шаг условной оптимизации

X2 C2	0	100	200	300	400	500	600	700	F2(C2)
0	0+0								0	0
100	30+0	50+0							50	100
200	50+0	50+30	80+0						80	200
300	90+0	50+50	80+30	90+0					110	200
400	110+0	50+90	80+50	90+30	150+0				150	400
500	180+0	50+110	80+90	90+50	150+30	190+0			190	500
600	220+0	50+180	80+110	90+90	150+50	190+30	210+0		230	110
700	240+0	50+220	80+180	90+110	150+90	190+50	210+30	220+0	270	110

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₂, которые могут быть предоставлены второму предприятию при условии, что часть средств выделяется третьему предприятию. В клетках таблицы первое слагаемое – это возможный прирост выпуска продукции второго предприятия f₂(х₂) в результате освоения капиталовложений х₂; второе слагаемое – значение функции Беллмана, полученной на предыдущем шаге F₃(C₂ – х₂), т.е. возможный прирост выпуска продукции третьего предприятия, если ему будет выделена оставшаяся часть капиталовложений, определяемая как C₂ – х₂.

Например, рассуждая формально, если при общей величине капиталовложений C₂ = 0 второму предприятию выделяется х₂ = 0, то прирост продукции составляет f₂(0) = 0, а значение функции Беллмана из табл.1 составит: F₃(0 – 0) = 0. Поэтому в клетке табл. 2 (0, 0) отражается сумма 0+0.

3-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

,

на ее основе составлена табл. 4.4.

В шапке таблицы отражены варианты значений капиталовложений х₁, которые могут быть предоставлены первому предприятию при условии, что часть средств выделяется второму и третьему предприятию. В клетках таблицы первое слагаемое – это возможный прирост выпуска продукции первого предприятия f₁(х₁) в результате освоения капиталовложений х₁; второе слагаемое – значение функции Беллмана, полученной на предыдущем шаге F₂(C₁–х₁), т.е. возможный прирост выпуска продукции второго и третьего предприятий, если им будет выделена оставшаяся часть капиталовложений, определяемая как C₁ – х₁.

Таблица 4.4 – 3-ий шаг условной оптимизации

x1 C1	0	100	200	300	400	500	600	700	F1(C1)
0	0+0								0	0
100	0+50	40+0							50	0
200	0+80	40+50	50+0						90	100
300	0+110	40+80	50+50	110+0					120	100
400	0+150	40+110	50+80	110+50	120+0				160	300
500	0+190	40+150	50+110	110+80	120+50	170+0			190	100\300
600	0+230	40+190	50+150	110+110	120+80	170+50	180+0		230	100
700	0+270	40+230	50+190	110+150	120+110	170+80	180+50	210+0	270	100

Значение функции Беллмана F₁(С₁) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение , на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие.

Значение целевой функции  равно максимальному значению функции  Беллмана F₁(С₁) из табл. 3.

Следовательно, значение целевой функции равно F_max(x^*) = 270 тыс. руб.

II этап. Безусловная оптимизация.

Далее на этапе безусловной  оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина С_k = (С_k-1 – х_k-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение х_k, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы S_k.

Определяем компоненты оптимальной стратегии. Для этого значения функций Беллмана и соответствующие им оптимальные значения х вносим в итоговую табл. 4.5.

Таблица 4.5 – Итоговая таблица

C1	F3(C3)		F2(C2)		F1(C1)
0	0	0	0	0	0	0
100	30	100	50	100	50	0
200	50	200	80	200	90	100
300	90	300	110	200	120	100
400	110	400	150	400	160	300
500	180	500	190	500	190	100\300
600	220	600	230	110	230	100
700	240	700	250	110	270	100

 

х^* = (0, 100, 600), который обеспечит максимальный доход, равный

F(700) = f₁(0) + f₂(100) + f₃(600) = 0 + 50 + 220 = 270 тыс. руб.;

 

 

                                                                 

 

               

   

 

Заключение.

В данной курсовой работе были рассмотрены различные методы, обосновывающие оптимальных решений для швейной фабрики.

 Мною были рассмотрены  простой и двойственный симплекс-метод  решения задач линейного программирования,  метод потенциалов решения транспортной  задачи, а также методы решения  антагонистических игр и задач  линейного программирования.

Использование данных методов может значительно облегчить процесс принятия решений на предприятии и повысить его эффективность.