Оптимальная стратегия управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

 

 

 

 

 

 

 

Факультет прикладной математики и менеджмента

 

Кафедра экономической кибернетики

 

 

 

Лабораторной работа №1

Отчет

 на  тему: “Оптимальная стратегия управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок ”

 

 

 

 

 

Выполнил:                                                                                        Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Харьков

2013

Цель работы: приобретение практических навыков по формированию оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок.

 

Описание модели

В рамках рассматриваемой модели достаточно указать алгоритм определения оптимального размера заказа q_опт. Для его нахождения составим уравнение f’(q) = 0, т.е.

.

Понимая, что для интересующего  нас корня q_опт этого уравнения имеет место неравенство q_опт < q₀  будем искать оптимальный размер заказа в виде q_опт = q₀ / z, где z >1, причем здесь величина 1/z показывает, какая именно доля от значения q₀ (экономичного размера заказа, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение q₀ / z вместо q получаем уравнение относительно z:

или

.

После очевидных упрощений  имеем:

.

Наконец, учитывая равенство  получаем следующее уравнение относительно неизвестного z в области z > 1:

.

 

Как видим, мы получили уравнение  третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z², т.е. к виду  z³ + pz + g = 0.

При этом, подчеркнем, что  в нашей ситуации имеет место  «неприводимый» случай, причем выполняются  неравенства p < 0 и g < 0. В такой ситуации удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z₀) определяется по формулам:

 

  ,         где      .

Применительно к интересующему  нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z₀:

  ,

где

  .

 

Наконец, при известном  значении z₀ оптимальная величина размера заказа q_опт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле

 

q_опт = q₀ / z₀.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемый параметр (q_опт – оптимальный размер заказа) не зависит от показателя Р_П, характеризующего прибыль на единицу товара, обеспечиваемую работой соответствующего звена цепи поставок. Действительно, ни значение , ни значение z₀, ни значение q₀, определяющие интересующий нас показатель q_опт, не зависят от величины Р_П. При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации), естественно, уже будет зависеть от указанного показателя.

Желание максимизировать интенсивность потока доходов в рамках рассматриваемой модели системы управления запасом с учетом временной стоимости денег приводит к следующей задаче максимизации целевой функции F:

 

F —®  max    ,

q > 0

где

 

F = 1/T [ q × (C_П + P_П) – (1 + r ×T/2) × (C₀ + C_0П ∙ q + C_П ∙ q + C_h × q T/2)],

 

причем, q и T связаны равенством Т = q/D. Здесь в соответствии с принципами финансового анализа и финансовой математики соответствующие платежи приведены к общему моменту времени. А именно, они приведены к середине периода поставок, в связи с чем уходящие (в начале такого периода) платежи наращены по ставке r к моменту T/2.

При этом еще раз обратим  внимание на следующее. В соответствии с принятыми выше обозначениями  параметр Т измеряется в годах, так что соответствующую размерность имеет и представленный здесь показатель  F  интенсивности потока доходов. Этот показатель легко приводится к требуемой или удобной другой единице времени. Действительно, учитывая в рамках анализируемой модели схему начисления простых процентов (для учета временной стоимости денег) легко видеть, что если, например, показатель интенсивности потока доходов необходимо привести к суткам, то следует соответственно значение  F  дополнительно помножить на   1/n, где n - число рабочих дней в году. Разумеется, наличие такого множителя не повлияет на процедуры определения интересующих нас параметров оптимальной стратегии управления в представленной выше задаче оптимизации.

 

Задание 1

Найти параметры оптимальной  стратегии управления запасами используя модель с учетом временной стоимости денег, а также классический подход (без учета временной структуры процентных ставок).

Начальные данные:

D= 800×(№пп/10) (ед. тов.) – объем годового потребления (при постоянном спросе);

C_о=20 (у.е.) – накладные издержки на одну поставку (т. е. стоимость подачи заказа);

C_п=100 (у.е.) – стоимость единицы товара;

Р_п=50 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

C_h=20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара, составляющие 20% стоимости товара.

 

Ход работы:

1. Определить экономический размер заказа без учета временной ставки денег по формуле Уилсона. Определить соответствующий период повторного заказа (Т).

(ед. тов.),

 

, что соответствует 27 поставкам  за год.

2. Определить экономический размер заказа с учетом временной ставки денег.

 Находим значение .

(ед.тов.).

, что соответствует 38 поставкам.

3. Оценить соответствующие отклонения показателей доходов для 2-х случаев:

- с учетом временной  ставки денег;

 

F_max = 1/T [ q × (C_П + P_П) – (1 + r ×T/2) × (C₀ + C_0П ∙ q + C_П ∙ q + C_h × q T/2)]

 

(y.e./год).

 

- без учета временной ставки  денег.

 

(y.e./год).