Теория вероятностей и математическая статистика

Контрольная работа № 3.

 

1. В цехе изготавливаются однотипные изделия на трех станках, которые производят соответственно 50, 35 и 15% изделий от общего их числа. Брак составляет соответственно 2, 3 и 5%. Наудачу взятое изделие из партии нерассортированной продукции оказалось бракованным.

На каком  станке вероятнее всего изготовлено  это изделие?

 

Решение.

1. Обозначим событие Е – «Наудачу взятое изделие из партии оказалось бракованным»

Можно сделать  следующие предположения:

A₁ – изделие изготовлено на первом станке

A₂ – изделие изготовлено на втором станке

A₃ – изделие изготовлено на третьем станке

События A₁,A₂,A₃ образуют полную группу.

Найдем вероятности  этих событий:

Определим условную вероятность того, что деталь оказалась бракованной при условии, что она изготовлена на первом станке.

Условная вероятность  того, что деталь оказалась бракованной при условии, что она изготовлена на втором станке равна

Условная вероятность  того, что деталь оказалась бракованной  при условии, что она изготовлена  на третьем станке равна

Для того, чтобы  ответить на вопрос задачи, необходимо по формуле Байеса определить вероятности изготовления бракованного изделия на каждом станке и затем сравнить их.

Вероятность того, что изделие изготовлено на первом станке при условии, что оно бракованное равна

где

Вероятность того, что изделие изготовлено на втором станке при условии, что оно бракованное  равна

Вероятность того, что изделие изготовлено на третьем  станке при условии, что оно бракованное  равна

Взятое бракованное изделие из партии нерассортированной продукции вероятнее всего изготовлено на втором станке.

 

 

2. Вероятность того, что менеджер фирмы находится в командировке, равна 0,7.

Найти вероятность  того, что из пяти менеджеров находятся  в командировке:

а) не менее трех менеджеров;

б) два менеджера.

 

Решение.

а) событие А  – не менее трех менеджеров находятся в командировке, означает, что либо три менеджера в командировке, либо четыре, либо все пять менеджеров находятся в командировке. Все перечисленные события являются независимыми.

Вероятность события  А найдем по формуле Бернулли

б) вероятность того, что  из пяти менеджеров два находятся  в командировке, равна

 

 

3. Проводится испытание нового оружия. Основным показателем служит частость попадания по стандартной мишени при заданном комплексе условий. Разработчики утверждают, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.

Какое количество выстрелов  по мишени необходимо сделать, чтобы  с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что частость попадания отклонится от вероятности попадания при каждом выстреле не более чем на 0,01 (по абсолютной величине)?

 

Решение.

Искомую вероятность  определим по формуле

Нам дано по условию 

Подставляем известные данные в формулу

 

По таблице  значений для функции Ф определяем, что                    . Следовательно,

Необходимо сделать 6147 выстрелов, чтобы с вероятностью 0,95 можно  было утверждать, что частость попадания  отклонится от вероятности попадания  при каждом выстреле не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).

 

4. В стопке из шести книг три книги по математике и три по информатике. Выбирают наудачу три книги.

Составить закон  распределения числа книг по математике среди отобранных. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

 

Решение.

Случайная величина Х – число книг по математике среди трех отобранных – может принимать следующие значения: х₁ = 0 (ни одной книги по математике из трех не выбрали), х₂ = 1 (одна из трех отобранных книг является по математике), х₃ = 2 (две из трех отобранных книг является по математике), х₄ = 3 (все три книги – по математике).

Вероятность того, что среди трех отобранных книг нет  ни одной по математике. т.е. все книги  по информатике, равна

Вероятность того, что среди трех отобранных книг одна по математике, а остальные две  по информатике, равна

Вероятность того, что среди трех отобранных книг две  по математике, а одна по информатике, равна

Вероятность того, что среди трех отобранных книг все три по математике, равна

Составляем  закон распределения.

xi	0	1	2	3
pi	0,05	0,45	0,45	0,05

 

Проверка 

Математическое  ожидание случайной величины найдем по формуле

Дисперсию случайной  величины определим по формуле

Построим функцию  распределения.

Если  . Действительно значений меньших 0 величина Х не принимает.

Если  . Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,05.

Если  . Действительно, если удовлетворяет неравенству , то равно вероятности события Х  < , которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 (вероятность 0,05) или значение 1 (вероятность 0,45). Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х  < равна сумме вероятностей 0,05 + 0,45 = 0,5.

Аналогично, если .

Если  . Действительно, событие X ≤ 3 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция  распределения может быть записана так:

5. Плотность  вероятности нормально распределенной  случайной величины Х имеет вид:

В какой интервал (6; 8) или (18; 20) эта случайная величина попадает с большей вероятностью?

 

 

Решение.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется по формуле

где матматическое ожидание нормально распределенной случайной величины;

      среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины.

Неизвестные параметры  определим из заданной плотности вероятности распределения случайной величины.

Плотность вероятности  нормально распределенной случайной  величины в общем виде записывается следующим образом

Приведем заданную нам плотность вероятности к такому виду

Следовательно, математическое ожидание случайной  величины Х равно , среднее квадратическое отклонение .

Теперь определим  вероятности попадания случайной  величины в каждый из заданных интервалов.

Для интервала (6; 8) имеем

Для интервала (18; 20) имеем

Сравнивая значения двух вероятностей можем сделать  вывод о том, что в интервал (18; 20) случайная величина попадает с  большей вероятностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данная  работа скачена с сайта http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 30965