Финансовый менеджмент

1 - Способы задания продолжительности конверсионного периода. Точные и обыкновенные проценты.

Конверсионные операции (конверсия платежей) - это замена одних финансовых обязательств другими. Основным принципом конверсии платежей является принцип финансовой эквивалентности. Он заключается в неизменности финансовых взаимоотношений сторон в случае замены финансовых обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени (focal date), оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Иными словами, при замене обязательств и соблюдении при этом принципа финансовой эквивалентности ни один из участников сделки не должен получить дополнительной выгоды (или потерпеть ущерб).

Конверсия платежей производится в случаях изменения сроков платежей, объединения платежей, замены первоначальной серии платежей на другую серию по суммам и срокам и т. д. При проведении расчетов конверсии возможны различные варианты, например, определение:

*  суммы заменяющего платежа при известном сроке замены;

*   срока заменяющего платежа при известной его сумме;

*   того, являются ли платежи эквивалентными при известных суммах и сроках;

*  критического уровня процентной ставки.

Определение суммы заменяющего  платежа.

Предположим, что в будущем необходимо осуществить ряд платежей. Размеры этих платежей будем обозначать через FV (future value — будущая стоимость).

Определение суммы заменяющего платежа (FVj) осуществляется при известных сумме первоначального (заменяемого) платежа (FV), сроках заменяемого и заменяющего платежей и заданной (используемой в расчетах) величине процентной ставки.

Расчет величины FVj возможен при соблюдении равенства современных стоимостей заменяемой и заменяющей сумм, что необходимо для соблюдения принципа финансовой эквивалентности.

Современная стоимость (обозначим  ее через PV — present value) будущего платежа (будущей стоимости) соответствует денежной сумме, которую в настоящее время следует вложить в сферу финансовых операций, с тем чтобы через период времени п получить при средней доходности вложения в размере i величину будущего платежа FV.

Определение эквивалентности платежей.

В ряде случаев необходимо понять, является ли правомерной с  точки зрения сохранения финансовых взаимоотношений сторон та или иная замена обязательств. Например, обязательство уплатить 100 млн. руб. через месяц предполагается заменить платежом в сумме 110 млн. руб. через два месяца. Являются ли два указанных платежа эквивалентными? Не получится ли так, что в выигрыше окажется получатель платежа или, напротив, плательщик? Для ответа на эти вопросы необходимо рассчитать современные стоимости сравниваемых платежей.

Если они окажутся равными, то платежи эквивалентны; если большей  будет современная стоимость  первого платежа, то в выигрыше от такой замены окажется сторона, осуществляющая выплату денежной суммы, и наоборот, в проигрыше, если большим будет заменяющий платеж.

Консолидация платежей.

Консолидация платежей - это объединение нескольких платежей в один. Консолидацию можно считать  частным случаем конверсии. Сумма  заменяемых платежей должна быть эквивалентна одному заменяющему платежу.

Эквивалентность процентных ставок.

В условиях, когда имеются  различные варианты размещения финансовых ресурсов, важно соблюсти описанный  выше принцип эквивалентности. Например, вкладчик рассматривает возможности размещения одной и той же суммы на депозите: в одном случае по простой ставке, в другом — по сложной. Предположим, перед ним стоит задача получить одинаковые финансовые результаты от упомянутых альтернатив. Какие процентные ставки при этом следует использовать? Или допустим, что банк хочет определить эффективность учетной операции, для чего ему необходимо перейти от учетной ставки к ставке наращения.

Различные процентные ставки, обеспечивающие равные финансовые результаты, называются эквивалентными.

Эквивалентность простых ставки наращения и учетной ставки. Средние процентные ставки.

Разновидностью эквивалентных ставок являются средние ставки. Средняя ставка является эквивалентной серии ставок, для которых определяется эта средняя, т. е. замена нескольких ставок их средней не меняет результата финансовой операции.

 

2 – Оценка денежных потоков в нетиповых ситуациях.

Величина оценки любого денежного потока вариабельна и зависит от ряда более или менее очевидных факторов, параметров, условий и ситуаций. К очевидным параметрам относятся: прогнозируемая продолжительность потока, величины прогнозируемых притоков (оттоков), задаваемая процентная ставка (или ставки), принимаемая к расчету схема наращения или дисконтирования. К числу неочевидных, но весьма реалистичных ситуаций относится ситуация, когда имеет место несовпадение моментов начисления процентов и поступления платежей. Например, требуется оценить величину аннуитета продолжительностью 5 лет, при этом аннуитетные платежи поступают ежеквартально, а начисление процентов ведется раз в год. Несложно понять, что в общем случае возможны три ситуации:

•   моменты поступления платежей и моменты начисления процентов совпадают, т. е. поступления и начисления осуществляются с одинаковой частотой (например, полугодовые поступления и полугодовое начисление процентов);

•   платежи поступают более часто по сравнению с начислением процентов (например, полугодовые поступления и ежегодное начисление процентов);

•   платежи поступают более редко по сравнению с начислением процентов (например, полугодовые поступления и ежеквартальное начисление процентов).

Первая ситуация наиболее прозрачна. Например, если речь идет об аннуитете, удается оценить поток  с помощью несложных процедур с привлечением факторных и дисконтирующих множителей. Вторая и третья ситуации уже менее очевидны и требуют  некоторых усилий. Технику вычислений в упомянутых ситуациях рассмотрим на примерах, при этом предполагается, что финансовые операции осуществляются опытными участниками рынка, действующими исходя из очевидного требования максимизации возможного дохода (минимизации возможных затрат). В частности, выражением данной предпосылки является применение, как правило, схемы сложных процентов.

Пример.

Периодически в течение 3 лет в банк делается вклад по схеме пренумерандо в сумме 400 тыс. руб. Какая сумма будет на счете к концу операции, если предлагаемая банком процентная ставка наращения равна 12% годовых? Рассмотреть три ситуации: (1) поступления ежегодные (единовременная сумма 400 тыс. руб. в год вносится на счет в начале каждого года), начисление процентов ежегодное; (2) поступления ежеквартальные (по 100 тыс. руб. в квартал в течение 3 лет), начисление процентов ежегодное; (3) поступления ежегодные (единовременная сумма 400 тыс. руб. в год), начисление процентов ежеквартальное.

Решение

Ситуация 1

Рис. 1. Поток пренумерандо при совпадении частот поступления платежей и начисления процентов

 

Это типовой вариант финансовой операции со следующими характеристиками: денежный поток представляет собой  аннуитет пренумерандо с величиной аннуитетного платежа 400 тыс. руб.; число элементов потока равно трем; базовый интервал — год; ставка наращения — 12% (см. рис. 1).

Оценка будущей стоимости  данного потока может быть сделана  с помощью формулы (1):

FV^a_pre = A FM3(r*n)(1 + r) = 400FM3(l2%, 3)(l + 0,12) = = 400*3,374* 1,12 = 1511,55 тыс. руб.                                                                                        (1)

Ситуация 2

Финансовая операция начинается в момент 0 и заканчивается в  момент 12. Характеристики денежного  потока таковы: поток представляет собой аннуитет пренумерандо с величиной аннуитетного платежа А = 100 тыс. руб.; число элементов потока равно 12; базисный интервал — квартал (см, рис. 2),

Рис. 2. Поток пренумерандо при поквартальных взносах и годовом начислении процентов

Здесь простейшие типовые  формулы оценки будущей стоимости (как в ситуации 1) аннуитета уже  не применимы, поскольку начисления процентов осуществляются лишь в  моменты 4, 8 и 12. Для того чтобы понять логику наращения в этом случае, рассмотрим сепаратно один произвольный год, например первый. Денежный поток  будет выглядеть следующим образом (рис. 3): (CF_t = A. k = 1.2,... 12)

Рис. 3. Поток пренумерандо в рамках произвольного года, рассматриваемого сепаратно

Логика начисления процентов  такова. Платеж CF₄ находится в банке один квартал, а потому при единовременном начислении процентов в конце года к нему должна быть применена квартальная ставка. Аналогично в отношении платежей CF₃, CF₂, CF₁ должны применяться соответственно ставка полугодовая, три четверти годовой ставки и годовая ставка. А потому к концу года на счете будет находиться сумма

S₁ =100*(1+0,04)+ 100*(1 + 0,06)+100*(1 + 0,08)+ 100*(1+0,12) =

= 100*(1,04+ 1.06)+ 1,08+ 1,12 = 100*4,3 = 430 тыс.  руб.                       (2)

Подобное имеет место  и в отношении других лет, рассматриваемых  сепаратно. А потому исходный поток  пренумерандо с величиной платежа 100 тыс. руб. и базисным интервалом квартал трансформируется в поток постнумерандо (рис. 4)

 
Рис. 4. Трансформация исходного потока с поквартальной разбивкой взносов в поток постнумерандо

 

с тремя аннуитетными платежами, величиной платежа 430 тыс. руб., ставкой наращения 12% и базисным интервалом в 1 год.

Имеем аннуитет постнумерандо, будущая стоимость которого рассчитывается по формуле (3):

FV^a_pst =AFM3(r,n) =430FM3(12%,3) =430*3,374 = 1450.82 тыс. руб.     (3)

Сравнивая результаты расчетов в ситуациях 1 и 2, можно заметить, что вторая накопленная сумма  оказалась меньше первой. Приведенный  выше разбор счетного алгоритма объясняет  причину этого. Разбиение головной суммы на 4 части приводило к тому, что во второй ситуации относительно меньшая сумма в среднем была в распоряжении банка, поэтому естественно, что и меньшая сумма процентов была начислена.

Ситуация 3

Если рассматривать каждый год сепаратно, для расчета суммы, накопленной к концу года на счете, надо воспользоваться формулой (2). Номинальной ставке с внутригодовыми начислениями соответствует эффективная ставка, исчисляемая по формуле (4) и предусматривающая однократное начисление

             (4)

Таким образом, оцениваемый  денежный поток представляет собой  аннуитет пренумерандо с тремя аннуитетными платежами, величиной платежа А= 400 тыс. руб., базисным интервалом в 1 год и ставкой наращения r_е = 12,55% (рис. 5).

Рис. 5. Исходный поток при переходе к эффективной процентной ставке

Для расчета итоговой суммы, накопленной на счете к концу 3-летнего периода, воспользуемся  формулами:

FV = 400*(1,1255³-1)/0,1255 *1,1255 = 400*3,39225-1,1255 = 1527,19 тыс. руб.   

Сравнивая сумму, исчисленную  в данной ситуации, с предыдущими расчетными суммами, видим, что и здесь получили вполне оправданный результат. Ситуация 3 является самой выгодной с позиции накопления денежных средств, а причина выгодности в большей частоте начисления процентов.

В теории финансовых вычислений разработаны унифицированные формулы, позволяющие упростить расчеты  в случаях, когда имеет место  несовпадение моментов поступления  платежей (т. е. элементов денежного  потока) и начисления процентов. Для  потоков постнумерандо и пренумерандо в случае применения схемы сложных процентов эти формулы имеют соответственно вид

 

                                                                   (5)                               

 

(6)

где А   — суммарный годовой платеж; r — годовая ставка; k  — количество лет; т — количество начислений в году; j — количество равных поступлений средств в году.

Что касается сути проблемы соотношения частот поступления платежей и начисления процентов, проанализированной в примере, то несложно сделать очевидное обобщение: целесообразно выровнять продолжительность периода начисления процентов и периода поступления платежа. Для понимания логики процентных начислений можно, например, руководствоваться следующими правилами:

•   если элементы денежного потока поступают более часто по сравнению с начислением процентов, рекомендуется исходный поток привести к условному потоку, в котором момент поступления очередного платежа будет совпадать с моментом начисления процентов в исходном потоке (иными словами, необходимо промежуточные платежи в рамках одного интервала между смежными моментами начисления процентов свести к очередному моменту начисления процентов), и далее воспользоваться стандартными формулами оценки аннуитета;