Расчет цифрового фильтра

Агентство по образованию  Российской Федерации 

Южно-Уральский Государственный  Университет

Кафедра «Цифровые радиотехнические системы»

 

 

 

 

 

 

Расчет цифрового фильтра

 

 

 

Пояснительная записка к курсовой работе

по курсу: Цифровая обработка  информации

ЮУрГУ – К.2104.09.314.000 ПЗ

 

Нормоконтролер:                                                 Руководитель:

Непомнящий Г. А.                                                Непомнящий Г. А.

«____»_________2009 г.                                      «____»___________2009 г.

 

 

 

Выполнил:

студент группы ПС-357

 

Курсовая работа защищена

с оценкой (    )___________

_______________________

“___”_____________2009г.

 

 

 

Челябинск

2009

 

Бланк задания по курсовому  проектированию

Южно-Уральский Государственный  университет                                                          

Факультет  ПC

Кафедра    ЦРТС

Задание

по курсовой работе

студенту группы ПС-357 

1. Тема работы: “Цифровой фильтр с линейной ФЧХ”.
2. Срок сдачи работы:   “____ “  ________ 2007 г.
3. Исходные данные к проектированию:  Вариант № 7.

Амплитудно-частотная  характеристика фильтра:

4. После анализа ТЗ необходимо определиться с методикой синтеза.
5. Привести графики ИХ, ФЧХ и АЧХ.
6. Получить реакции на типовые воздействия.
7. Произвести проверку оптимальности порядка фильтра.
8. Привести структурную схему фильтра.
9. Дата выдачи задания: “____ “  ________ 2009 г.

Задание принял к исполнению

Руководитель: Непомнящий Г.А.___________

Срок сдачи проекта: “_____ ”  мая  2009г.

Подпись студента:__________

 

АННОТАЦИЯ

Расчет цифрового фильтра – Челябинск, ЮУрГУ, 2009, 17 с., 9  илл., библиография  литературы – 2 наименования.

В данной курсовой работе рассчитывается цифровой фильтр с ЛФЧХ по заданной амплитудно-частотной характеристике. Вычисляются аналетические выражения импульсных характеристик фильтра, далее строится график ФЧХ, АЧХ. Также в данной работе исследуется прохождение через фильтр различных сигналов, а именно единичного импульса и сигнала состоящего из суммы трех гармоник.

Так же произведена проверка порядка на оптимальность.

Все расчеты и построения производятся в системе MATLAB 2006а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Анализ ТЗ и выбор метода синтеза фильтра…………………………………....5

2 Импульсная характеристика..................................................................................6

3 Графики АЧХ и ФЧХ..............................................................................................7

4 Моделирование

4.1 Единичный импульс..........................................................................................10

4.2 Сумма трех гармоник........................................................................................12

5 Структурная схема КИХ-Фильтра…………………………………………..…14

6 Проверка оптимального порядка………………………………………………15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................................16

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................................................17

Приложение 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Анализ ТЗ и выбор метода синтеза фильтра.

 

После анализа Амплитудно-частотной характеристики фильтра было принято решение, что среди распространённых методов проектирование КИХ-Фильтров, таких как: метод наименьших квадратов, метод равномерной (Чебышевской) аппроксимации, метод последовательного соединения однородных фильтров, воспользуемся последним. Для этого последовательно соединим фильтр низких частот с переходной полосой (3000 : 6000 Гц) и режекторный фильтр с полосой задержания (45 : 55 Гц), и соответственно переходными полосами (30 : 45 Гц), (55 : 70 Гц). В связи с тем, что синтезированный фильтр должен быть с линейной Фазо-частотной характеристикой для реализации я выбрал метод Окон. Данный метод без труда сможет обеспечить  линейную Фазо-частотную характеристику. Затухание по ТЗ составляют -35 Дб. ФНЧ с данной переходной полосой и затуханием можно реализовать при значительно не большом порядке (30 : 50), а порядок для РФ будет на несколько порядков больше (8000 : 10000). Для выполнения заданных условия лучше всего подойдут окно Кайзера для РФ и окно Гаусса для ФНЧ. Данные окна обеспечат нужное затухание при наименьшем порядке. Структуру фильтра можно изобразить следующим образом:

 

2 Импульсная характеристика

 

Временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях. Расчёт будем производить по следующим аналитическим выражениям:

 

;  (1) 

  ; (2) 

  ;  (3) 

  ;  (4) 

  ;  (5) 

  ;  (6) 

  ;  (7) 

Аналитические выражения  для окна Кайзера:

;  (8)

- модифицированная функция Бесселя 1-го рода 0-го порядка;

- параметр, который определяет конкретный вид окна;

; (9)

; (10)

Графики ИХ фильтров представлены на рисунке 1.

Рисунок 1. Импульсные характеристики фильтров.

 

3 Графики АЧХ и ФЧХ

Амплитудно-частотной  характеристикой(АЧХ) называется функция

   (11)

Поскольку используется последовательное соединение двух фильтров, то АЧХ общего фильтра будет произведением характеристик этих фильтров. График АЧХ представлен на рисунке 2.

Рисунок 2. АЧХ фильтра: весь график и увеличенный участок  от 35 до 65 Гц.

 

Фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) в свою очередь называется функция

   (12)

Общая формула ФЧХ для КИХ- фильтра будет иметь вид:

     (13)

- импульсная характеристика фильтра.

Для построения ФЧХ воспользуемся функциями:

 Y=unwrap(angle(H));

Результат данных манипуляций представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. ФЧХ РФ, ФНЧ и скомбинированного.

 

На рисунке легко  заметить, что синтез фильтра методом  окон обеспечивает нужную нам линейность. Этот фактор необходим для одинакового  времени задержки сигналов на любых  частотах.

 

4 Моделирование

4.1 Единичный  импульс

 

В качестве входного сигнала используем единичный импульс. В среде MATLAB  воспользуемся функцией filter. Эта функция реализует алгоритм прохождения выборок входного сигнала через разностные уравнения и выдает сигнал, получившийся на выходе системы. Имеем  «Y=filter(в,а,Y0);», где Y0–– сигнал на выходе, Y – единичный импульс – сигнал на входе. Так как в данной системе используются два фильтра, которые соединены последовательно, то следует сначала пропустить сигнал через один фильтр, затем результат через второй.

Все вышеописанные операции продемонстрированы на рисунке 4.

Рисунок 4. Единичный импульс – сигнал на входе, импульсная характеристика– сигнал на выходе.

На выходе получаем импульсную характеристику, так как временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Импульсная характеристика затухающая. Делаем вывод, что фильтр устойчивый,  что и должно было быть вследствие того, что в данной системе применяется КИХ-фильтр.

Следует проверить все предыдущие вычисления. Для этого я построю АЧХ от выходного сигнала по принципу описанному выше.

АЧХ  по ИХ приведена  на рисунке 5.

Рисунок 5. АЧХ  фильтра по выходной импульсной характеристики.

На рисунке видно, что  АЧХ идентична рассчитанной выше, что подтверждает предыдущие вычисления.

 

 

 

 

 

 

4.2 Сумма трех гармоник

 

Пропустим через фильтр сигнал, состоящий из суммы 3 гармоник на частотах 50, 3600 и 5400 Гц (Рисунок 6). Следует ожидать, что на выходе фильтра мы получим сигнал с частотой 3600 Гц, так как оставшиеся гармоники попали на провалы в АЧХ. Результат пропускания сигнала, состоящего из суммы 3 гармоник, представлен на рисунке 7.

 

Рисунок 6. Сигнал, состоящий из суммы трёх гармоник на частотах

50, 3600 и 5400 Гц

 

Рисунок 7. Сигнал, состоящий из суммы трёх гармоник – на входе, сигнал на выходе и их спектры.

Как и следовало ожидать, подавились частоты в 50 и 5400 Гц (которые соответствует провалам АЧХ). Неполное подавление связано с тем, что реальная АЧХ фильтра отличается от идеальной. Частота 3600 Гц проходит без подавления, т.к. уровень АЧХ на данной частоте равен 1.

 

 

5 Структурная схема КИХ-Фильтра

 

Структурная схема данного фильтра изображен на  рисунке 8.

Рисунке 8.Структурная  схема фильтра.

b1 – коэффициенты ФНЧ

b2 – коэффициенты РФ 

6 Проверка оптимального  порядка

 

Порядок считается оптимальным, если при уменьшении порядка заданные условия не выполняются. График АЧХ с оптимальным порядком и не оптимальном порядком приведены на рисунке 9.

Рисунок 9. АЧХ с оптимальным  порядком и не оптимальном порядком.

На рисунке можно  пронаблюдать, что при уменьшении порядка АЧХ не попадает в допуски.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был рассчитан цифровой фильтр с ЛФЧХ по заданной АЧХ. Данный фильтр является КИХ-структурой. Данный фильтр представляет собой последовательное соединение РФ и ФНЧ, рассчитанные методом окон.

Проведя моделирование  работы фильтра, пронаблюдали спектры сигналов на входе и на выходе фильтра и их соответствие с АЧХ фильтра, убедились в правильности теории. Также подтверждены критерии устоичивости и реализуемости дискретного фильтра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Гольденберг Л. М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учеб. пособие для вузов/ Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк. – 2-е изд. перераб. и доп.─ М.: Радио и связь, 1990.─ 256 с.: ил.
2. Гольденберг Л. М. и др. Цифровая обработка сигналов:  Справочник/ Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк. – М.: Радио и связь, 1985.─ 312 с.: ил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1. Текст использованной программы.       

function kursa4_2;

clc;

clear all;

N =14875;

f1=0.003;

f2=0.0045;

f3=0.0055;

f4=0.007;

w01=(f1*2*pi+f2*2*pi)/2;

w02=(f3*2*pi+f4*2*pi)/2;

n = -(N-1)/2:1:(N-1)/2;

h = (sin(w01*n)-sin(w02*n))./(n*pi);

h((N+1)/2)=1+((w01-w02)./pi);

N_2 =39;

f1_2=0.25;

f2_2=0.4167;

w0_2=(f1_2*2*pi+f2_2*2*pi)/2;

n_2 = -(N_2-1)/2:1:(N_2-1)/2;

h_2 = sin(w0_2*n_2)./(n_2*pi);

h_2((N_2+1)/2)=w0_2./pi;

Fc=12000;

figure(1);

subplot(2,1,1);stem(h);xlabel('N');title ('Импульсная харакнеристика РФ');     

grid on;

subplot(2,1,2);stem(h_2);xlabel('N'); title ('Импульсная харакнеристика ФНЧ');   

grid on;

h5_1=h.*BLACKMANHARRIS(N)';

h6_2=h_2.*GAUSSWIN(N_2)';

 

[H5_1,w5_1]=freqz(h5_1,1,2^18);

[H6_2,w6_2]=freqz(h6_2,1,2^18);

 

H1=20*log10(abs(H6_2.*H5_1)/max(abs(H6_2.*H5_1)));

 

figure(2);

subplot(2,1,1);plot(w6_2./(2*pi).*Fc,H1,'r');xlabel('Частота, Гц');ylabel('dB');title ('АЧХ Фильтра');grid on;

subplot(2,1,2);plot(w6_2./(2*pi).*Fc,H1,'r');xlabel('Частота, Гц');ylabel('dB');title ('АЧХ Фильтра');grid on;axis([35 65 -80 2]);

 

figure(3);    

 

Ya_1=angle(H6_2.*H5_1);

Ya_2=angle(H6_2);

Ya_3=angle(H5_1);

Yu_1=unwrap(Ya_1);

Yu_2=unwrap(Ya_2);

Yu_3=unwrap(Ya_3);

subplot(3,1,1);plot(w6_2./(2*pi).*Fc,Yu_1.*180/pi);xlabel('Частота, Гц');ylabel('Градусы');title ('ФЧХ скобинированного Фильтра');grid on;

subplot(3,1,2);plot(w6_2./(2*pi).*Fc,Yu_3.*180/pi);xlabel('Частота, Гц');ylabel('Градусы');title ('ФЧХ Фильтра РФ');grid on;

subplot(3,1,3);plot(w6_2./(2*pi).*Fc,Yu_2.*180/pi);xlabel('Частота, Гц');ylabel('Градусы');title ('ФЧХ Фильтра ФВЧ');grid on;

grid on;

 

xn=0:0.5/N:0.5;

X0=zeros(1,length(xn));

X0(1)=1;

Y0=filter(h5_1,1,X0);

Y=filter(h6_2,1,Y0);