Компьютерное моделирование решения логистического уравнения

     Министерство  образования и  науки Российской Федерации

     Государственное образовательное  учреждение

             Высшего профессионального образования

         Уфимская государственная академия экономики и сервиса 

     Кафедра «Охрана окружающей среды

     и рациональное использование

       природных ресурсов» 
 
 
 
 
 
 
 

     Лабораторная  работа № 1

     по  дисциплине «Экологическое моделирование»

     «Компьютерное моделирование решения логистического уравнения» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнили: ст.гр. ОД- 3          Захарова Ю.В., Исламова Р.А., Мулюкова А. Р.,

       Данилова Д. А.,  Севрюкова М.  А.,  Севрюкова И. А.,

       Гибатов Р. Ю., Гумерова Э. Г., Шаймарданова Ю. Ю.

Проверил:                                                               д.ф-м. н.     И.Л. Хабибуллин  
 
 
 
 
 

     Уфа   

     2010

     1. Теоретический анализ

Логистическое уравнение имеет вид:

                              ,            x(t=0)=x₀ ,                                       (1)

     здесь x - численность (биомасса, плотность биомассы) популяции,

     e - коэффициент естественного прироста популяции;

     k(е) - экологическая емкость среды для данной популяции в общем случае является функцией времени;

     x₀ - начальное значение численности популяции.

В формуле (1) первое слагаемое справа описывает  естественный прирост популяции, второе слагаемое – самоограничение роста популяции за счет внутривидовой конкуренции. При k(t) → ∞ из уравнения (1) следует модель Мальтуса:

                                         ,         x(t=0)=x₀,                                          (2)

описывающая неограниченный ( экспоненциальный) рост популяции:

                                                                                         

В общем  случае решение задачи (1) имеет вид:

                                                                                    (3)

Из уравнения (3) следует:

     x(t®0)®x₀ ,        x(k(t)®¥) ®¥,       x(t ® ¥) ® k(t).

В частном случае из уравнения (3) следует классическая логистическая формула П. Ферхюльста:

                                                                                      (4)

Анализ  уравнения (4) показывает, что S – образная логистическая кривая, описываемая формулой (4) имеет точку перегиба с координатами: ( , ) , при x₀ < k₀.

При x₀ >k₀ из уравнения (4), а также из уравнения (1)  следует, что <0 и  x(t ® ¥) ® k, при x₀ < k₀ >0 и x(t ® ¥) ® k.

Таким образом, в обоих случаях численность  популяции стремится к значению экологической емкости среды k.

2.Численное моделирование

     Результаты  численного моделирования логистического уравнения на основе формулы (4) приведены на рис. 1 - 5.

1. Построение модели при различной начальной численности популяции , при неизменных параметрах k(е) и  :   

       – коэффициент  естественного прироста ( = 1),

     k(е) - экологическая емкость среды для данной популяции в общем случае является функцией времени(k₀  = 100)

     На  рис.1 представлена зависимость x(t)при разных значениях начальной численности популяции: х₀₁ =5 , х₀₂ =50, х₀₃ =85, при этом, х₀₁ < k₀ , x₀₂ <k₀ ,

     x₀₃ < k₀; t = 10.

     

     Рис.1. Зависимость x(t)при разных значениях начальной численности популяции. 

     Исходя  из данного графика, можно сделать вывод о том, что чем больше начальная численность популяции, тем быстрее численность приближается к значению, определяемому экологической емкостью среды. 

      2.2 Построение модели при различных значениях экологической емкости среды  k(е), при неизменных параметрах и х₀:

       – коэффициент естественного  прироста ( = 1),

     х₀ – начальная численность популяции (х₀ =20).

     На  рис.2, 3, 4  представлена зависимость  x(t) при различных значениях экологической емкости среды  k(е) : k =90, k =100, k =130,

 

     

     Рис. 2. Зависимость x(t) при значении экологической емкости среды k₀ = 90.

     

     Рис. 3. Зависимость x(t) при значении экологической емкости среды k₀ = 100.

     

     Рис. 4. Зависимость x(t) при значении экологической емкости среды k₀ = 130.

     Проанализировав данные графики можно сделать  вывод о том, что чем меньше экологическая емкость, тем кривая ближе к оси ординат, т.е. тем быстрее популяция достигает экологической емкости. 
 

     2.3 Построение модели зависимости x(t) при разных значениях коэффициента естественного прироста численности популяции ,  при неизменных параметрах  k₀ и х₀:

     х₀ – начальная численность популяции (х₀ =20).

     k(е) - экологическая емкость среды для данной популяции в общем случае является функцией времени(k₀  = 100)

     На  рис.5. представлена зависимость x(t) при разных значениях коэффициента естественного прироста численности популяции: e₁ = 1, e₂ = 4,   e₃ = 9:

     

     Рис.5. Зависимость x(t)при разных значениях прироста численности популяции.

     Проанализировав данные графики можно сделать  вывод о том, что чем больше ε, тем быстрее увеличивается численность популяции, соответственно, тем быстрее она достигает значения экологической емкости. 
 
 
 
 
 
 

 

      Заключение

     Одной из ключевых задач экологического моделирования является прогнозирование численности той или иной популяции при изменении условий окружающей среды.

     «Модель Мальтуса», описывающая экспоненциальный рост популяции, возможен только в условиях неограниченных ресурсов и отсутствия влияния на состояние популяции абиотических и биотических факторов. Такую систему можно создать только в исключительных случаях.

     В реальной жизни особи популяции  испытывают на себе различные влияния  окружающей среды, и их численность  изменяется не экспоненциально, а по S – образной кривой. 

     В ходе лабораторной работы мы определили, что коэффициент естественного прироста зависит от начальной численности популяции, которая стремится к экологической емкости, но по мере роста численности экспонента убывает и стабилизируется на определенном уровне под влиянием конкуренции.

     Интенсивность конкуренции связано с экологической  емкостью среды, чем больше экологическая  емкость, тем меньше ее влияние и  тем быстрее растет численность  популяции.