Регресійна модель впливу крутизни схилу на забруднення довкілля ( вміст цинку в грунті)

 

=1/1

 

 

Результати зводимо до таблиці:

 

X	6,35	6,65	6,95	7,25	7,55	7,85	8,15
	1,73	1,85	1,88	1,93	1,97	1,99	2,07
nx	8	18	45	14	10	4	1

 

 

Розділ VІІІ.

Обчислення коефіцієнта кореляції.

Коефіцієнт кореляції знаходиться за формулою:

,

де .

Обчислювати його зручно за допомогою умовних варіант

 

=  х - 6,95/0,3

 

 х - 1,87/0,06

 

В умовних варіантах коефіцієнт кореляції має такий самий вигляд:

 

.

 

Для обчислення величини складаємо допоміжну таблицю

 

U,V	-2	-1	0	1	2	3	4	U	Uv
-3	5	2						-12	36
-2	1	2	3					-4	8
-1	1	6	9	2	1			-4	4
0	1	2	18	4	1			2	0
1		1	9	2	2			5	5
2		5	5	5	3	4		18	36
3			1	1	3		1	11	33
V	-18	-5	7	13	6	8	3		122
Vu	36	5	0	13	32	24	12	122

 

Тоді маємо:

 

==1,22

 

Окремо знаходимо розподіли величин U і V та їх середні значення:

 

 

U	-2	-1	0	1	2	3	4
N	8	18	45	14	10	4	1

 

 

 0,16

 

 1,56

 

 

Du=1,53

 

 

σu= 0,372

 

 

V	-3	-2	-1	0	1	2	3
N	7	6	19	26	14	22	6

 

 

 0,24

 

 2,62

 

 

DV=2,56

 

 

σV=0,096

 

Остаточно знаходимо коефіцієнт кореляції

 

 

 1,22-0,16*0,24 / 1,6*1,24 = 0,6

 

Висновок: отже, середнє значення добутку відхилень величин х і у від їх середніх значень, тобто коефіцієнт кореляції дорівнює 0,6 і означає, що існує середня залежність х та у.

 

 

 

 

 

 

 

Розділ ІХ.

Знаходження ліній регресії.

Рівняння прямої лінії регресії має вигляд

,

де rxy – коефіцієнт кореляції, σx  та σy – середні квадратичні відхилення, та - вибіркові середні.

Підставляємо всі знайдені значення і отримаємо рівняння прямої лінії регресії:

 

Yx – 1,88 = 0,6 * 0,102/0,37 (х – 6,99)

Після спрощення маємо рівняння:

 

 

 

Рівняння оберненої лінії регресії має вигляд

 

,

де параметри a і b визначаються з системи рівнянь

 

 

Для складання системи рівнянь запишемо таблицю:

 

X		nx	nx/x	nx/x2	nx	nx/x
6,35	1,73	8	1,26	0,19	13,84	2,18
6,65	1,85	18	2,17	0,41	33,3	5,0
6,95	1,88	45	6,47	0,93	84,6	12,17
7,25	1,93	14	1,93	0,27	27,02	3,73
7,55	1,97	10	1,32	0,17	19,7	2,61
7,85	1,99	4	0,51	0,06	7,96	1,01
8,15	2,07	1	0,12	0,01	2,07	0,25
	Σ	100	14,32	2,04	188,49	26,95

 

Записуємо систему рівнянь:

100а+14,32в = 188,49

14,32а+2,04в = 26,95

 

 

 

Розв’язуємо систему за формулами Крамера:

 

Δ= -1,06

 

Δa=-1,4

 

Δb=-4,18

 

a=Δa/Δ=1,32

 

b=Δb/Δ=-3,94

 

Остаточно, записуємо рівняння оберненої лінії регресії:

 

 

 

Для квадратичної регресії  аналогічна система рівнянь має такий вигляд:

 

 

Для складання системи рівнянь запишемо таблицю:

X		nx	nxx	nxx2	nxx3	nxx4	nx	nxx	nxx2
6,35	1,73	8	50,8	2580,64	16387,06	104057,8	13,84	87,88	558,0
6,65	1,85	18	119,7	14328,09	95281,79	633623,9	33,3	221,5	1472,6
6,95	1,88	45	312,75	97812,56	679797,29	4724591,2	84,6	587,9	4086,4
7,25	1,93	14	101,5	10302,25	74691,31	541511,99	27,02	195,9	1420,2
7,55	1,97	10	75,5	5700,25	43036,89	324928,52	19,7	148,7	1122,9
7,85	1,99	4	31,4	985,96	7739,79	60757,35	7,96	62,49	490,55
8,15	2,07	1	8,15	66,42	541,32	4411,78	2,07	16,87	137,49
	Σ	100	699,8	131776,17	917475,45	6393882,54	188,49	1321,3	9288,26

 

Записуємо систему рівнянь:

6393882,54а+917475,45в+131776,17с = 9288,26

917475,45а+131776,17в+699,8с = 1321,29

131776а+699,8в+100с = 188,49

 

Розв’язуємо систему за формулами Крамера:

 

 

 

Δ= -2,12

Δa= 3,03

Δb= 1,49

Δс= -1,34

 

a=Δa/Δ= -1,43

 

b=Δb/Δ= -0,7

 

с=Δс/Δ= 0,63

 

Остаточно, рівняння квадратичної лінії регресії має вигляд:

 

 

 

Висновок: отже, при знаходженні прямої, оберненої та квадратичної ліній регресії, ми отримали такі рівняння, відповідно , , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ Х.

Перевірка адекватності регресійних моделей.

 

Важливою частиною дослідження є аналіз регресійної моделі на адекватність. Регресійна модель є адекватною, якщо прогнозовані за нею значення відгуку Y узгоджуються з результатами спостережень. Для цього спочатку знаходиться сума квадратів відхилень прогнозованих значень від емпіричних

, де  - дана лінія регресії.

Чим менше сума квадратів відхилень, тим краще регресійна модель описує результати спостережень. В ідеальному випадку ця сума дорівнює нулю. Порівняти моделі між собою можливо за допомогою залишкової дисперсії, яка знаходиться за формулою

, де

m – кількість значень величини Х , k – кількість доданків в рівнянні регресії.

Знаходимо суму квадратів відхилень і залишкову дисперсію для всіх ліній регресій:

Для прямої:

 

X		nx	α	α2	nx α2
6,35	1,73	8	-0,039	0,0015	0,012
6,65	1,85	18	0,029	0,0008	0,0144
6,95	1,88	45	0,009	0,00008	0,0036
7,25	1,93	14	0,008	0,000064	0,000896
7,55	1,97	10	-0,004	0,000016	0,00016
7,85	1,99	4	-0,035	0,001225	0,0049
8,15	2,07	1	-0,006	0,000036	0,000039

                                                                                                       Σ 0,036

 

=0,036/6-2 = 0,009

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для оберненої:

 

X		nx	α	α2	nx α2
6,35	1,73	8	1,03	1,0609	8,49
6,65	1,85	18	1,122	1,259	22,669
6,95	1,88	45	1,127	1,270	57,15
7,25	1,93	14	1,153	1,329	18,606
7,55	1,97	10	1,172	1,374	13,74
7,85	1,99	4	1,172	1,374	5,496
8,15	2,07	1	1,233	1,520	1,520

                                                                                                       Σ 127,67

 

=127,67/6-2 = 31,92

 

Для квадратичної:

 

X		nx	α	α2	nx α2
6,35	1,73	8	63,21	3995,5	31964
6,65	1,85	18	69,11	4776,19	85971,42
6,95	1,88	45	75,19	5653,54	254409,3
7,25	1,93	14	81,54	6648,77	93082,78
7,55	1,97	10	88,14	7768,66	77686,6
7,85	1,99	4	94,98	9021,2	36084,8
8,15	2,07	1	102,13	10430,54	10430,54