Диссперсионный анализ результата эксперимента

ДИСПЕРСИОННЫЙ  АНАЛИЗ  РЕЗУЛЬТАТОВ  ЭКСПЕРИМЕНТА

 

1.  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

 

В практической деятельности встречаются объекты исследования, состояние которых определяется входными факторами, не имеющими количественного описания. Такими факторами могут быть  переменные, которые по каким-либо причинам не доступны для измерения, однако, их уровни варьирования можно произвольно выбирать и фиксировать во времени. Например, на качество изготавливаемой продукции могут влиять следующие факторы: комплектующие, которые могут поступать от разных поставщиков, производственное оборудование однотипных производственных участков, технология изготовления, конкретные работники различных участков и смен.

Постановка задач дисперсионного анализа предполагает известным:

• Отклик системы зависит от независимых управляемых факторов , не имеющих количественного описания.
• Каждый фактор может варьироваться на уровнях.
• Полный факторный эксперимент состоит из серий независимых наблюдений.
• Каждая -тая серия содержит наблюдений параллельных опытов.

Требуется определить меру влияния каждого фактора на отклик системы и выделить наиболее существенные факторы.

Дисперсионный анализ базируется на следующих допущениях:

• Результаты измерений выходного сигнала – нормально распределенные случайные величины.
• Дисперсия единичного наблюдения обусловлена случайными ошибками и постоянна во всех опытах и не зависит от сочетания входных факторов.

В качестве показателя влияния фактора принимают дисперсию фактора, то есть дисперсию выходной величины, обусловленную вариацией данного входного фактора:

,     где     .

 

Сравнение дисперсий и соответствует сравнению влияния фактора и фактора случайности . Величина считается известной, в противном случае ее оценка совпадает с оценкой воспроизводимости. Результаты экспериментов позволяют вычислить оценку выборочной дисперсии:

.

 

Если отличие от незначительно, то влияние фактора несущественно, иначе – существенно. Дисперсия фактора может быть оценена по следующей формуле:

,    так  как   .

 

Дисперсионный анализ основан на разложении оценки общего рассеивания выходного сигнала на составляющие: зависящие от факторов и зависящие от случайных величин.

 

Стабилизация оценки дисперсии, вычисляемой по экспериментальной выборке значений исследуемой величины, свидетельствует о соответствии статистических свойств выборки свойствам генеральной совокупности. Стабилизация оценки дисперсии служит индикатором достаточности объёма выборки для вероятностной оценки по ней исследуемых свойств генеральной совокупности.

 

 

 

 

2. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

Исследуется влияние только одного фактора x. Результаты эксперимента сводятся в следующую таблицу. Таблица 21.1 содержит результаты равночисленных параллельных опытов.

Табл.21.1.

Уровень варьирования	Номер  параллельного  опыта				Результаты расчета
	1	2	…
1			…
2			…
…	…	…	…	…	…
			…

 

Вычисляются средние значения по множеству параллельных опытов для каждого уровня фактора и общее среднее арифметическое по всем уровням:

,  .

 

Фактор случайности проявляется в рассеивании наблюдений серий параллельных опытов на каждом уровне вокруг своей серии изменчивости. Входной фактор вызывает повышенное рассеивание средних арифметических относительно общего среднего . Оценка фактора случайности проводится по следующей формуле:

 

.

 

Оценка дисперсии фактора вычисляется по формуле:

.

 

Проверка гипотезы о существенности фактора x используется следующая функция статистики:    .

Критическое значение статистики определяется с помощью следующего соотношения:

,

где , .

Гипотеза о существенности фактора считается подтвержденной, если выполняется неравенство:

.

Если серии наблюдений состоят из разного числа опытов, то степени свободы распределения Фишера рассчитывают следующим образом:

,     .

 

 

 

3. ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

Изучается влияние двух одновременно действующих входных факторов и . Введем следующие обозначения:

{ } – множество результатов измерений.

– номер уровня ,  .

 – номер уровня  , .

 – номер параллельного  уровня, .

 – общее число наблюдений.

Результаты экспериментов и расчетов сводятся в таблицу 22.1.

 

Табл.22.1.

					Результаты расчета
	1	2
1
Результаты расчета

 

Вычисляют средние значения выходного сигнала по уровням каждого фактора и общее среднее по следующим формулам:

 

,  ,

.

 

На рассеивание средних по строкам таблицы оказывает влияние фактор , так как значения другого фактора усреднены. На рассеивание средних по столбцам оказывает влияние фактор . Общая выборочная дисперсия определяется следующим соотношением:

Оценки дисперсий факторов и вычисляются по формулам:

 

,  ,

.

 

Существенность влияния двух и более факторов определяется как их относительное влияние, а фактор случайности считается малозначительным.  Оценивание существенности влияния факторов реализуется с помощью следующих функций статистик: ,  .

Критические значения статистик определяются с помощью следующих соотношений: 

 

,

,

 

где  ,    ,    .

Гипотезы о существенности факторов считаются подтвержденными, если выполняются неравенства:

,   .

При многофакторном анализе  последовательность операций аналогична, но значительно усложняются таблицы наблюдений и расчетные формулы.