Контрольная работа по "Экономике"

Содержание:

 

1. Инструментальные переменные и параметры математической модели. Допустимое множество.
2. Сформулируйте двойственную задачу линейного программирования
3. Список используемой литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Инструментальные переменные и параметры математической модели. Допустимое множество.

 

Статическая задача рационального  ведения хозяйства (рациональной деятельности) связана с распределением ограниченных ресурсов на различные цели в определенный момент времени. В математической форме задача состоит в нахождении значений переменных, максимизирующих заданную функцию и удовлетворяющих системе ограничений. В такой форме задача статической оптимизации часто называется задачей математического программирования.

При формальной постановке задачи математического  программирования основными являются понятия «инструментальных» переменных, допустимого множества и целевой функции.

Задача  заключается в нахождении значений n переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются здесь «инструментами». Записанные в виде вектора-столбца

они составляют вектор инструментальных переменных в n-мерном евклидовом пространстве Еⁿ.

Термин «инструменты» заимствован  из книги Я. Тинбергена «Теория экономической политики», автор которой отмечал, что орган, регулирующий народное хозяйство, может пользоваться различными средствами — «инструментами» (процентной ставкой, тарифами и т. п.) — для достижения определенных целей (сокращение безработицы, выравнивание платежного баланса и т. п.).

Если  вектор инструментальных переменных x удовлетворяет ограничениям задачи, он называется допустимым, а множество всех допустимых векторов образует множество возможностей X. Такое множество является подмножеством Еⁿ. Так как задача заключается в выборе вектора инструментальных переменных из допустимого множества, то в любой нетривиальной задаче (т. е. система ограничений совместна) оно является непустым и содержит, по крайней мере, две различные точки.

Целевая функция — это краткое математическое изложение цели данной задачи. Обычно она представляет собой действительную непрерывно дифференцируемую функцию вектора инструментальных переменных

Общая задача математического программирования состоит в выборе вектора инструментальных переменных из множества возможностей, максимизирующего значение целевой  функции:

 

где X — подмножество n-мерного евклидова пространства.

Учитывая, что максимизация F(x) эквивалентна максимизации

a+bF(x), b > 0, или минимизации a + bF(x), b < 0, можно сделать вывод, что введение дополнительного слагаемого или положительного множителя в целевую функцию не изменяет задачи, в то время как отрицательный множитель может быть использован для преобразования задачи максимизации в задачу минимизации и наоборот (например, с помощью умножения F(x) на -1).

Выделяются  три основных вида общей задачи математического программирования: классическая задача математического программирования, задача нелинейного программирования и задача линейного программирования.

В классической задаче математического программирования все ограничения представляют собой равенства

 

 

 

 

Функции                                - известные непрерывно дифференцируемые функции, называемые функциями ограничений; параметры b1, b2, …, bm – заданные действительные числа, называемые константами ограничений. В векторной форме система ограничений записывается в виде

g(x)=b,

где g(x) и b – m-мерные векторы столбцы.

 

 

 

 

Проблема  рационального ведения хозяйства  может рассматриваться с точки  зрения применения к экономике метода математической оптимизации. Задачу математической оптимизации можно сформулировать как определение таких значений некоторых переменных величин, удовлетворяющих ряду ограничений, при которых достигается максимум определенной функции.

В качестве переменных в задачах рационального  ведения хозяйства выступают  те «инструменты», с помощью которых осуществляется конкретное распределение. Конкурирующие цели, поставленные в задаче, объединяются в целевую функцию — функцию, максимум которой требуется найти, а ограничения, отражающие недостаток ресурсов, определяют множество инструментальных величин, удовлетворяющих всем условиям. Это множество называют допустимым множеством (opportunity set).

 

2. Сформулируйте двойственную задачу линейного программирования

 

Двойственная задача в  линейном программировании строится по формальным правилам на базе другой задачи линейного программирования, называемой основной.

Например, если основная задача имеет вид

Ах ≤b , х≥0, f(с,х) → max,                                    (1)

то двойственная к ней  задача также является задачей линейного  программирования:

А^Ту≥ с, у≤0, f(b, у)→ min.                                    (2)

Здесь х = (x₁,х₂,... ,х_n);   b = (b₁, b₂,…,b_т);   с = (с₁, с₂,..., с_n); у = (y₁,y₂,... ,у_m);

    f(c,x)=        (3)

(b,y)= транспонированная матрица A.

Основная и двойственная к ней задачи образуют пару взаимно  двойственных задач: двойственная задача к двойственной оказывается основной задачей.

Отношение между прямой и  двойственной задачами находи выражение  в виде следующих правил:

1)      если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная задача будет задачей минимизации и наоборот;

2)      коэффициенты целевой функции прямой задачи с = (с₁, с₂,..., с_n) становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;

3)      свободные члены ограничения прямой задачи b = (b₁, b₂,…,b_т) становятся свободными членами целевой функции двойственной задачи;

4)      матрицу ограничений двойственной задачи получают транспонированием матрицы ограничения прямой задачи;

5)      знаки неравенств в ограничениях изменяются на обратные;

6)      число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.

Основная теорема двойственности:

Либо обе задачи двойственной пары разрешимы, и тогда (с, х*) = (b, у*), либо обе задачи не имеют решения. Здесь х*,у* - оптимальные планы  пары двойственных задач.

Эта и ряд других теорем, относящихся к двойственным задачам, играют важную роль при качественном анализе задач линейного программирования.

Содержательный анализ двойственной задачи, в том числе и неизвестных  у₁ у₂, ... , у_m, полностью определяется содержательным смыслом прямой задачи.

Так, например, если основная задача (1) является задачей производственного планирования, где А - технологическая матрица, b_i - количество i-го ресурса, x_j - объем выпуска j-го продукта, i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, ... n, то целью решения двойственной задачи (2) оказывается нахождение так называемых двойственных оценок ресурсов y_i, которые также называют маргинальными (предельными) данными ресурсов.

Маргинальные цены, очевидно, связаны только с производством  и потому отличаются от обычных рыночных цен на ресурсы.

Если маргинальные цены не превосходят рыночных (у_i*≤ q_i, i=1,2,..., m), то производство, для которого они были рассчитаны, не сможет получить прибыль р от своей производственной деятельности: для любого плана выпуска x.

р(х) = (с, х) - (b, q) ≤, (с, х*) - (b, q) ≤ (с, х*) - (b. у*) = 0.

И, наоборот, если у_i* > q_i, i= 1, 2,..., т, то реализация оптимального производственного плана х* принесет положительную прибыль.

р(х*) = (с, х*) - (b, q) = (А, у*) - (b, q) = (b, y*-q)> 0,

размер которой ограничивается: а) средствами, выделяемым на закупку  ресурсов; b) объемом рынка ресурсов; с) технологическими условиями производства.

Из теоремы двойственности вытекает ряд положений, которые  позволяют устанавливать некоторые  соотношения между целевой функцией и ресурсами, необходимыми для достижения цели.

В частности, следующее важное утверждение:

Если задача линейного  программирования не вырождена и С(х*) представляет собой максимум ее линейной формы   при заданных ограничениях, то дс(х*)/дb_i = у_i*, i = 1,2,..., т.

Таким образом, с математической точки зрения оптимальные оценки определяют влияние свободных членов b, условий-ограничений на оптимальную величину целевой функции. Иными словами, вычисление наряду с оптимальным планом х* = (х₁*, х₂*, ... , х_n*) связанных с ним оптимальных оценок у* = {у₁*, у₂*, ... , y_т*) позволяет ввести относительную важность отдельных ресурсов (b₁*, b₂*.....b_m*) для достижения поставленной цели (максимизации   ).

На основе установления такой  взаимосвязи между х* и у* можно  исследовать влияние небольших  отклонений ресурсов на изменение оптимального значения целевой функции, получать маргинальные оценки, идея которых  рассмотрена выше), получать другие рекомендации, полезные при разработке и корректировке планов в тех  случаях, когда не может быть найдено  строгое решение задачи оптимизации.

Идеи теории двойственности находят важное применение в разработке численных методов линейного программирования, позволяющих решать задачи с неопределенностью, не имеющие строгого оптимума, что имеет особое значения для задач системного анализа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

 

1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002. Гл. 1, 2.
2. Таха Х.М. Введение в исследование операций. М.: Вильямс, 2005. Гл. 20.
3. Дополнительная литература.
1. Лотов А.В. Методы оптимальных решений. Конспект курса лекций. – М.: ВШЭ, 2004
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.:Высшая школа, 2007г.
3. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. Учебное пособие. М. 2002г.