Математические модели макроэкономики для проекта «Абсолютная валюта»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ

ДЛЯ ПРОЕКТА «АБСОЛЮТНАЯ ВАЛЮТА» 

 

Миленин А. В., Миленин Ю. В., Рассадин А. Э.

(Нижний Новгород)

 

 

Рассмотрена модель Гудвина циклов капиталистической экономики под действием случайных возмущений. Предложено её обобщение на взамодействующих экономик. Обсуждена возможность применения этих моделей при построении интеллектуальной системы проекта «Абсолютная валюта».

 

 

MATHEMATICAL MODELS OF MACROECONOMICS

FOR THE ‘ABSOLUTE VALUE MONEY’ PROJECT

 

Milenin A. V., Milenin Yu. V., Rassadin A. E.

(Nizhny Novgorod)

 

 

Goodwin’s model of business cycles under the influence of random forces is under consideration. The possibility of adjusting of this model for the ‘Absolute value money’ project is discussed. The ‘Absolute value money’ project aims at creating a universal financial product for an extremely wide range of users. In order to ensure profit-making operation of trade algorithms it is designed and implemented hardware-software systems that to some extent fulfill the functions of a trader.

 

В настоящее время проект «Абсолютная валюта» [1], подробно описанный в [2], уже используется на практике. Суть проекта состоит в применении алгоритмов, предсказывающих валютные тренды на рынке ФОРЕКС в автоматическом режиме, т. е. без участия трейдера, настолько эффективно, что при заданном среднем риске по доходности обеспечивается существенное превышение годового банковского процента (от 40 % годовых).  Качество прогнозирования валютных трендов бизнес-роботами проекта на реальных ПАММ-счетах по таким критериям, как среднегеометрическая годовая доходность и максимальная ежеквартальная просадка совокупного депозита, можно оценить по данным, представленным на сайте [3].

Сейчас  с целью повышения эффективности функционирования проект «Абсолютная валюта» трансформируется в интеллектуальную систему (рис. 1) [4]. С одной стороны, это заключается в наполнении проекта «тонкими» критериями анализа валютных трендов, такими как биспектральный анализ [2], оценка индикатора Исимоку [5] и. т. д., и сопоставления значимости этих критериев с помощью искусственных нейронных сетей. С другой стороны, интеллектуальная система проекта при принятии решений должна также оценивать влияние макроэкономической динамики на точность прогнозирования курсов валют. Для этого изучаются перспективы сопряжения проекта «Абсолютная валюта» с инструментальной системой поддержки математического моделирования экономических процессов ЭКОМОД [6, 7]. Кроме того, исследуются и иные модели макроэкономики.

Рассмотрим модель Гудвина циклов капиталистической экономики [8]:

,                                                                                       (1)

 ,                                                                                       (2)

, ,                                                                                       (3)

где — объём производства, — основной капитал, — потребление. Отметим, что уравнение (2) отражает учёт запаздывания реальных капиталовложений относительно принятия решения об их необходимости.

            Фактор стохастичности, необходимый для анализа влияния макроэкономики на проект «Абсолютная валюта», введём в модель следующим образом: в уравнении (2) будем считать влияние прочих капиталовложений случайным процессом.

Рис. 1. Структура интеллектуальной системы на базе принципа Пупкова-Анохина

Индуцированные  капиталовложения в формуле (2), вызванные  изменением объёма производства, можно  аппроксимировать любой гладкой  функцией, отражающей экстремальную  политику капиталовложений. Например, можно выбрать такое выражение:

,                                                                                  (4)             

однако для  получения содержательных аналитических  результатов достаточно нескольких первых членов разложения (4) вблизи нуля:

.                                                                      (5)                 

  Объединяя вместе выражения (1), (2), (3) и (5), получим обыкновенное дифференциальное уравнение с запаздыванием :

.                  (6)  

Введём  следующие параметры: 

 ,         ,                                       (7)

новое время

                                                                                                            (8)

и новые переменные:

,         ,                                                  (9)

тогда модель (6) после некоторых преобразований сводится к стохастическому уравнению Ван-дер-Поля:

               .                                                                (10)

Уберём  с этого момента черту над  переменной времени и перепишем (10) в виде системы двух стохастических дифференциальных уравнений:

    ,                                                                           (11)    

где считаем ланжевеновским источником шума с интенсивностью :

,      .                                                           (12)

Перейдём  в системе (11) от переменных к переменным согласно:

  .                                                                                             (13)        

Преобразование (13) оставляет инвариантной квадратичную форму «энергии» экономических  автоколебаний:

.                                                                                               (14)

Произведём  далее в переменных усреднение системы (11) по времени за период . Это даст систему укороченных уравнений [9]:

  ,                                                                                        (15)

где в правых частях уравнений стоят преобразованные  случайные процессы вида:

  ,                                                                          (16)

с следуюшей  матрицей взаимных корреляций:

                                                           (17)

(здесь угловые  скобки подразумевают уже не  только статистическое усреднение, но и усреднение по времени  за период невозмущённых колебаний).

По  укороченным уравнениям (15) мы можем  написать уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка [10] для функции распределения вероятностей значений фазовых координат :

.                 (18)

Введём  функцию распределения по энергиям согласно:

,                                                         (19)

тогда для неё уравнение (18) сводится к 

,                                                      (20)

из которого легко находится функция распределения  для стационарного состояния системы:

.                                                   (21)

График функции (21) в переменных представлен на рис. 2. Видно, что фазовые траектории  концентрируются около кругового предельного цикла системы с амплитудой .

Рис. 2. Стационарная функция распределения в переменных

Интеллектуальной системе проекта «Абсолютная валюта» требуются разнообразные временные средние макроэкономических величин, например, средняя энергия экономических автоколебаний:

.                                                   (22)

Для вычисления этой величины перейдём к  полярным координатам в плоскости  :

 ,                                                                                                            (23)

тогда      

   ,                                                                 (24)

где .                                

Укороченные уравнения (15) в новых переменных (23) выглядят следующим образом:

.                                                                                        (25)

Рассмотрим  режим развитой генерации: , тогда , и корреляции и расцепляются [9], поэтому

.                                                     (26)

Флуктуации амплитуды подчиняются обычному уравнению Ланжевена:

,                                                       (27)

поэтому для их автокорреляционной функции имеем хорошо известное  выражение [9]:

.                                                                      (28)

Угловая переменная экономических автоколебаний в режиме развитой генерации также подчиняется известной в радиофизике модели, а именно, модели диффузии фазы:

,                                                        (29)

в рамках которой  можно выписать уравнение для  функции распределения вероятностей по углу [9]:

    ,        ,                                                                     (30)

и выписать его решение для условной вероятности [9]:

.                                                   (31)

Используя выражение (31), легко находим:

.                                                                                        (32)

Таким образом, для средней энергии экономических автоколебаний получим:

.                                             (33)

Перейдём  к Фурье-образу выражения (33):

,                                                                            (34)

тогда распределение по спектру средней энергии экономических автоколебаний равно:

.                                                        (35)

График зависимости  (35) для и представлен на рис. 3.

Для применения полученных результатов  на практике необходима идентификация параметров модели (1) – (3), особенно времени запаздывания , по реальным макроэкономическим данным.

Рис. 3. Распределение по спектру средней энергии экономических автоколебаний

Модель (11) легко обобщается на линейно связанных экономик, каждая из которых функционирует согласно модели Гудвина, и, кроме того, подвержена случайным воздействиям:

                         

                             (36)

.

 

Литература:

1. Товарный знак РФ N 376494 от 08.04.2009. Правообладатель: ООО «ЭРИ».  Абсолютная валюта ® (Absolute value money). Приоритет от 03.07.2007 г.

2. Миленин А. В., Рассадин А. Э. Проект «Абсолютная валюта ®»: грид-система автоматических торгов на валютном рынке ФОРЕКС // Труды V Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий" ЭКОМОД-2010.  — Киров: 2010. Cтр. 98-103.

3. http://aery.tv/gold

4. Пупков К. А. О некоторых этапах развития теории и техники интеллектуальных систем // Труды 8-го Международного симпозиума «Интеллектуальные системы» (INTELS’2008). — М.: РУСАКИ, 2008. Стр. 4-17.

5. Миленин А. А. Использование временных рядов для описания динамики изменения стоимости ценных бумаг // Дипломная работа. Факультет ВМК ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2011.

6. Поспелов  И. Г., Хохлов М. А. и др. Уроки  эксплуатации системы ЭКОМОД  и новые перспективы. — М.: ВЦ  РАН, 2004. 72 стр.

7. Шатров А. В. Математическое моделирование и прогноз региональной экономики с помощью инструментальной системы «Экомод» в условиях кризиса // Труды V Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий" ЭКОМОД-2010.  — Киров: 2010. Cтр. 142-154.

8. Goodwin R. M. The non-linear accelerator and persistence of business cycles // Econometrica. 1951. N 19. P. 1-17.

9. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. — М.: Наука, 1976. 484 стр.

10. Красовский  А. А. Фазовое пространство  и статистическая теория динамических  систем. — М.: Наука, 1974. 232 стр.