Модель парной линейной регрессии

Контрольная работа.

Вариант 9.

Задание 1. Модель парной линейной регрессии.

Имеются данные по 16 сельхозпредприятий о затратах на 1 корову и о надое молока на 1 корову. 

 
 

Задания

1. Рассчитать  линейный коэффициент парной  корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости α = 0,05.

Решение:

Для определения  тесноты связи используем линейный коэффициент корреляции:

 

Для расчета  коэффициентов корреляции строим расчетную таблицу 1. 
 
 
 

Таблица 1

 

Таким образом, между количеством надоев (y) и затратами (x) существует прямая корреляционная зависимость. 

     Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитаем двухсторонний t – критерий Стьюдента, число степеней свободы k = n – 2 = 14 и уровнем значимости α = 0,05.

 

     Поскольку Т_набл > Т_крит , то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля.

       Так как выборка малая, то для построения доверительного интервала используем z – преобразование Фишера.

     В указанных границах при уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции.

Вывод:

Между х и у выявлена положительная корреляционная зависимость. 

2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок. 

Решение:

     По  выборке ограниченного объёма строим эмпирическое уравнение регрессии: .

     Коэффициенты  регрессии находим методом наименьших квадратов.

 

 

 

 

     b₁ – коэффициент регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Т. е., с увеличением х на одну единицу, доля у увеличивается в среднем на 0,0347% . 

      Оценим  статистическую значимость коэффициентов  регрессии с помощью t – критерия Стьюдента. Для этого вычислим сначала стандартную ошибку регрессии:

.

. 

Для коэффициента b₁ оценку дисперсии можно получить по формуле: 

.                                                             

В нашем  случае

Следовательно,

Для коэффициента b₀ оценку дисперсии можно получить по формуле:

.

Тогда          

Т_крит = 2,14

     Так как , то коэффициенты регрессии значимо отличаются от нуля.

     

 

3. Оценить  качество уравнения регрессии  при помощи коэффициента детерминации. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F критерия Фишера.

Решение:

     Коэффициент детерминации . Это означает, что 83% вариаций у объясняется вариацией фактора х.

     Поскольку F_набл > F_крит , то признаётся статистическая значимость построенного уравнения регрессии. 

4. Выполнить  прогноз количеству блага y, если прогнозное значение цены блага x составит 108% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05. 

Решение:

Прогнозное значение х: 

Средняя стандартная ошибка прогноза вычисляется  по формуле:

.                                             

В нашем  случае

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза

,

или

.

Выполненный прогноз оказался надежным (γ = 0,95), но неточным, т.к. относительная точность прогноза составила 8,301/39,675×100% =20,92%.