Предмет изучения дисциплины «эконометрика», ее место в экономике

E(Y- у(х))²

достигается для функции у(х)= E(Y|Х=х), то есть регрессия величины Y по величине X дает наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X. Это свойство используют для прогноза Y по X: если наблюдается лишь компонента X вектора [X, Y], то в качестве прогнозируемого значения Y используют величину у(X).

Регрессионная модель, восстанавливающая  зависимость, в общем случае имеет  вид y= f(x₁,…,x_k,β₁, …,β_p), где x₁,…,x_k – независимые (объясняющие) переменные,  β₁,…, β_p – параметры. В зависимости от вида функции (f) выделяют линейные и нелинейные модели. Построение указанной модели предусматривает анализ экономической сущности объекта с целью определения объяснимого фактора (y), выбор вида f, подбор объясняющих факторов (переменных x₁,…,x_k). Кроме того, потребуется применить специальные вероятностно-статистические (математические) методы для выявления параметров модели β₁,…, β_p. При этом предполагается наличие «статистического ансамбля» (имеется практическая или мысленно представимая возможность многократного тождественного воспроизведения событий) и данных, характеризующих проявления искомой зависимости.

Наличие регрессии может проявляться  в том, что для одного Х уместно наблюдать разные значения величины Y. При этом природа ошибки может быть разной. Во-первых, модель в виде определенной зависимости всегда предполагает упрощение реальности (возможно, отброшены влияющие на результат факторы, а значит и соответствующие переменные). Во вторых, могут присутствовать ошибки измерений. Тогда случайной величине ε_i может соответствовать случайная величина Y _i согласно линейной модели

Y _i=a+b·X _i+ε_i, i=1,…,n

(независимо от того, что X _i детерминированная величина, то есть неслучайная). Типовые ситуации приложений модели парной линейной регрессии для пространственных данных  («cross-sectional data») определяют следующие гипотезы:

1. Y _i=a+b·X _i+ε_i, i=1,…,n.

2. X _i детерминированная величина; вектор [X₁,…,X _n], неколлинеарен вектору [1,…,1].

3а. E(ε_i) = 0, E(ε_i²) = V(ε_i) = σ² – не зависит от i (i=1,…,n).

3b. E(ε_jε_i) = 0 при j ≠i (некореллированность ошибок при разных наблюдениях).

Часто добавляют условие…

3c. ε_i~ N(0, σ²), то есть ε_i– нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией σ².

Иногда на практике могут присутствовать и нестандартные условия, проявляющиеся в специфике соответствующих гипотез. Так, условие независимости дисперсии от номера наблюдений (E(ε_i) = 0, E(ε_i²) = V(ε_i) = σ , i=1,…,n) называют гомоскедастичностью (дополняющее условие, то есть невыполнение гомоскедастичности, называют гетероскедастичностью, например, может быть E(ε_i) = X _i² с асинхронным разбросом ошибки в зависимости от i). Условие E(ε_jε_i) = 0, в частности, не характерно временным рядам. При E(ε_jε_i) ≠ 0 говорят о наличии автокорреляции остатков.

В моделях временных рядов (применяемых для «time-series data» – упорядоченных по времени данных) в аддитивной форме один фактор y= f₁(x₁,…,x_k,t,β₁₁, …,β_1p)+ f₂(x₁,…,x_k, t,β₂₁, …,β_2q)+ε_t увязывают с независимыми (объясняющими) переменными дважды, выделяя так называемый «тренд» (f₁) и «сезонность»( f₂). Здесь ε_t – случайная (стохастическая) компонента, зависящая от времени t. Мультипликативная форма во многом аналогична y= f₁(x₁,…,x_k,t,β₁₁, …,β_1p)× f₂(x₁,…,x_k,t,β₂₁, …,β_2q) +ε_t. Причем сезонность, в свою очередь, может включать несколько составляющих (например, недельную, проявляющуюся ежемесячно, годовую тенденции).

Обобщением понятия регрессионная  модель выступает модель в форме  системы одновременных уравнений. Принципиальное отличие в том, что  рассматриваются несколько (конечное множество) регрессионных моделей в совокупности. Естественно их одновременное использование обеспечивает поиск решений принципиально по иному, нежели, например, при последовательном применении каждой из моделей отдельно.

Прикладное математическое моделирование – это циклически возобновляемый процесс. Основные этапы вероятностно-статистического моделирования таковы:

1. постановочный, включает определение набора факторов, подразделение их на объясняющие (входные переменные) и объяснимые (выходные показатели);
2. априорный, выбор связей между факторами;
3. информационно-статистический, сбор информации по объясняющим факторам;
4. спецификация модели, выявление структурных характеристик модели;
5. идентификация модели, подбор значений параметров модели;
6. верификация модели, проверка адекватности прогнозов по модельным решениям результатам применения модельных решений на практике;

Наличие 3) и 5) этапов определяет вероятностно-статистическую сущность модели.

 

Вопросы по 2-ой теме:

1. В чём основная цель применения эконометрической модели о связи между показателями?
2. Какова роль теории вероятностей, математической статистики в эконометрике?
3. Каков специальный математический смысл термина «регрессия», что является регрессией в статистическом смысле?
4. Как принято интерпретировать понятие «парная регрессия»? Что принято считать уравнением, кривой (линией) регрессии, регрессионной переменной, регрессором?
5. Как связаны строгая функциональная зависимость между переменными и соответствующая «парная регрессия»? В чем проявляется оптимальная вероятностно-статистическая природа модели парной (множественной) регрессии?
6. Как связаны детерминированная и случайная величины в рамках модели парной линейной регрессии? Какова природа возможных ошибок в оценивании  с помощью модели парной линейной регрессии? Какие гипотезы сопровождают стандартные и нестандартные условия приложений модели парной линейной регрессии? Что означают: гетероскедастичность, автокорреляция остатков?
7. В чём специфика эконометрической модели временных рядов?
8. Что собой представляет эконометрическая модель «система одновременных уравнений»?
9. Каковы основные этапы эконометрического моделирования?

 

 

Тема 3. Метод наименьших квадратов (МНК) для парной линейной регрессии

 

Рассмотрим задачу регрессионного анализа: будем восстанавливать линейную регрессионную зависимость величины Y от величины X в форме

Y=a+b·X+ε,

где ε-случайная величина, соответствующая ожидаемой ошибке, погрешности. Воспользуемся данными {Y _i,X _i, i=1,…,n} по проявлениям выявляемой зависимости в аналогичных условиях (при n ≥ 2). Например, по данным m предыдущих периодов о ценах, объемах сбыта {c_j,k_j, j=1,…,m} подберем регрессионную зависимость k = a×c+b+ε. Значения параметров функции a, b, найдем, минимизируя «видимые» ошибки-отклонения «прогнозов по функции» от «факта» – по методу наименьших квадратов  (МНК):

min   ∑   (a+b·X _i – Y _i)²

                                                                                         ^{a,b    i=1,…,n}

(для указанного выше примера о ценах, объемах сбыта, в частности, МНК примет вид

min   ∑   (k_j – (a×c_j+b))²).

                                                                                             ^{a,b    j=1,…,m}

Согласно необходимому условию  экстремума приравняем частные производные  нулю, получим два уравнения:

 

∑   [2×(a+b·X _i – Y _i)×X _i] = 0,  ∑   [2×(a+b·X _i – Y _i)] = 0

                                     ^{i=1,…, n                                                        i=1,…, n}

 

(∑   [2×(a×c_j+b – k_j)×c_j ] = 0,  ∑   [2×(a×c_j+b – k_j)] = 0).

                                          ^{j=1,…,m                                                   j=1,…,m}

 

Откуда следует в общем случае, что

 

b = (n×∑ X _i×Y _i – (∑ X _i) × (∑Y _i)) / (n×∑ X _i²-(∑ X _i)²), 

 

a = Y ₀ – b × X ₀,

   где                                          

X ₀=(1/ n) ×∑  X _j,     Y ₀=(1/ n) ×∑   Y _i.

 

Второе уравнение означает, что  регрессионная прямая проходит через  точку со средними значениями.

Если рассмотреть отклонения от средних х_i= X_i-X ₀, у_i= Y _i-Y₀, то нетрудно убедиться, что средние величины для новых величин равны нулю. Тангенс угла наклона при этом не меняется, а значит можно пользоваться следующими формулами для расчета коэффициентов (параметров парной линейной регрессионной модели)

 

b = ∑   (X _j – X ₀) × (Y _j – Y ₀) / ∑ (X _j – X ₀)²,  a = Y ₀ – b × X ₀

                                                      ^{j=1,…,n                                              j=1,…,n}      

(а = ∑   (c_j – c₀) × (k _j – k ₀) / ∑ (c_j – c₀)²,  b = k₀ – а × с₀).

                                                       ^{j=1,…,m                                              j=1,…,m}     

 

Обозначим в общем случае

        X ₁           Y ₁           1            e ₁

X=[  …], Y =[  …], s=[  …], e=[  …], Y^ = a·s + b·X, e = Y - Y^

        X _n          Y _n            1            e _n

Y^-вектор, натянутый на единичный вектор s, и вектор детерминированных величин X.

Геометрически экстремальное условие становится условием «ортогональности» вектора e векторам s, X (здесь и ниже, ’-признак транспонированности):

 

s’ e=0, X’ e=0.

 

Рассмотрим матрицу размерности (nX2)

 

        1  X ₁             Y ₁        

X=[  …… ]; Y =[  …],  β=[a,b]’-векторы «фактов» и искомых параметров

        1  X _n            Y _n           

 

зависимости. Тогда условие «ортогональности»  примет еще более компактный вид:

 

X’ e=0

или

 

X’ (Y - X β)=0.

 

Откуда получим:

 

X’ Y - X’ X β=0.

 

или (здесь, А^-1-обратная матрица к матрице А)

 

β = (X’ X)^-1 X’ Y.

 

Обобщаемая на многомерный случай форма примет в двумерном случае следующий вид

 

                                 N     ∑ X _i                ∑ Y _i

β = (X’ X)^-1 X’ Y =[                 ] ^-1[              ].

                                ∑ X _i ∑ X _i²         ∑ X _i Y _i

Упражнение (контрольное задание) № 1 (см.[3, с.41, Упр. 2.9]).

Пусть имеется таблица данных двух показателей (Y,X), требуется восстановить зависимость между ними в форме линейной модели регрессии 4-мя способами. Интерпретируя Y,X как «объем сбыта» и «цена», соответственно, выявить оптимальную цену для максимизации дохода, оценить границы варьирования опосредованно управляемого сбыта (оценить ожидаемые вариации и дохода при оптимальной цене).

№ п/п	(Y)	(X)
1	70	5+N1
2	65	11
3	55	15
4	60	17
5	50	20
6	35	22
7	40	25
8	30	27
9	25	30
10	32-N2	35

Здесь и ниже, N₁,N₂ - параметры контрольных заданий, соответствующие номеру по списку в журнале группы (цифры, равные количеству десятков и количеству единиц в номере, соответственно).

РЕШЕНИЕ(при N₁=N₂=0).

В электронной таблице Excel выполним действия, иллюстрируемые следующим образом.

Если раздел меню «Сервис/Анализ данных…» не нашёлся, то открываем (инициируем выполнение команды меню) «Сервис/Надстройки…»

 (в Excel 2003)… или, в Excel 2007,…

  …нажимаем «Параметры Excel»… …нажимаем кнопку «Перейти»…

…и подключаем «Пакет анализа» (устанавливаем  соответствующую «галочку»)…

 

После этого раздел меню «Сервис/Анализ данных…» должен найтись…

(в Excel 2003)… или, в Excel 2007,…

…

 

 

 

 

(в Excel 2003)… или, в Excel 2007,…

 

 

 

     

 

                                                 

 

 

  (в Excel 2003)… или, в Excel 2007,…

 

 

Заметим, что соответствующую эконометрическую модель принято записывать, в частности, следующим образом (применяя одинаковый способ округления):

 

 Y = 79,95 – 1,63   X, R²=0,86.

(5,20)   (0,23)

 

Вопросы по 3-ей теме:

1. Что собой представляет МНК для задачи регрессионного анализа применительно к восстановлению связи между двумя величинами? Какую форму МНК принимает применительно к выявлению зависимости спроса от цены, в частности?
2. Как необходимое условие экстремума позволяет найти параметры модели парной линейной регрессии в связи с применением МНК?
3. Почему регрессионная прямая проходит через точку со средними значениями?
4. Как регрессионное уравнение в отклонениях упрощает расчет коэффициента при неизвестной в искомой линейной зависимости?
5. Какова векторная форма «видимых» ошибок-отклонений «прогнозов» и «фактов»?
6. Какую форму принимает условие экстремальности по МНК для парной линейной регрессии в геометрической интерпретации?
7. Каков матричный вид условия ортогональности векторов отклонений прогноза и факта описываемой переменной, единичного вектора и вектора детерминированных величин (и почему этот вид таков)?

 

Тема 4. МНК для множественной линейной регрессии

 

Рассмотрим задачу множественного регрессионного анализа: будем восстанавливать линейную регрессионную зависимость величины Y от величин X₁, X₂, … , X_n в форме

 

Y = b₀ + b₁·X₁ + b₂·X₂ +…+ b_n·X_n + ε,

 

где ε-случайная величина, соответствующая ожидаемой ошибке, погрешности. Воспользуемся данными {Y_i, X_i1, X_i2, … , X_in, i=1,…,m} по проявлениям выявляемой зависимости в аналогичных условиях (при m ≥ n). Значения параметров линейной функции b₀ , b₁, b₂ ,…, b_an найдем, минимизируя «видимые» ошибки-отклонения «прогнозов по функции» от «факта» – по методу наименьших квадратов  (МНК):