Применение функций в экономике

 

Содержание

Введение	3
Глава 1. Числовые функции	6
§1.1. Понятие числовой функции, графики функции, обратной функции	6
§1.2. Четные и нечетные функции	9
§1.3. Периодичность функции	10
§1.4. Монотонность функции	10
§1.5. Выпуклость функции	11
§1.6. Дробно-линейные функции	13
§1.7.  Непрерывность функции	14
§1.8.  Применение функций в экономике	16
§1.9.   Производная функции	21
§1.10. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике	21
Глава 2. Функции  нескольких переменных	25
§1.1. Основные понятия	25
§1.2. Функции нескольких переменных в экономической теории	27
Заключение	31
Список использованной литературы	34

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В экономических исследованиях  издавна  применялись  простейшие математические  методы.  В  хозяйственной  жизни  широко  используются геометрические формулы. Так, площадь участка поля  определяется путем перемножения длины на ширину или объем силосной траншеи - перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин.

При изучении природных явлений, процессов, обусловленных деятельностью  человека, приходится рассматривать  изменение одной величины в зависимости  от изменения другой, описывая эти  изменения функциональными зависимостями.

Понятие величины настолько  широко и всеобъемлюще, что ему  трудно дать точное определение. Массы, давления, работы, заряды, длины и  объемы, целые и дробные числа – все это примеры величин. На первой стадии величиной можно считать то, что выраженное в определенных единицах, характеризуется своим числовым значением (например,  масса – в граммах или тоннах и т.п.).

За последние годы многие понятия, ранее воспринимавшиеся лишь качественно (такие, например, как эффективность, количество информации) переведены в  разряд величин. Каждый такой перевод дает возможность применить к указанным понятиям количественный математический анализ, что часто оказывается очень эффективным.

Современная экономическая наука характеризуется широким использованием математики. Математические методы стали составной частью методов любой экономической науки, включая экономическую теорию. Ее использование в единстве с обстоятельным экономическим анализом и новыми информационными технологиями открывает новые возможности для экономической науки и практики.

Актуальность изучения математических методов в экономике обусловлена тем, что современная экономическая теория предполагает существенно более высокий уровень формализации, чем это было принято в отечественной высшей школе.

Объектом исследования курсовой работы являются математические методы, применяемые при решении задач экономики.

Предметом исследования курсовой работы являются числовые функции и их свойства, практические примеры их использования в экономике.

Целью курсовой работы является рассмотрение понятия функции и изучение ее свойств в применении к задачам экономики. 

Задачи курсовой работы:

- раскрыть понятие функции;

- изучить основные свойства  функций (периодичность, монотонность  и т.д.);

- исследовать примеры  применения функций в экономике;

- раскрыть понятие производной функции;

- изучить понятие функции нескольких переменных и ее значение в экономике.

При написании работы использовались учебники по высшей математике и математическому  анализу таких авторов, как В.А. Зорич, Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, М. С. Красс, Б.П. Чупрынов, Л.Д. Кудрявцев, Р.З. Гильмутдинов, В.А. Ильин, Э.Г.Позняк, А.С. Солодовников, В.А. Малугин и др.; интернет-ресурсы (примеры, задачи, поиск литературы), а также учебники-практикумы по экономике.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа  экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Числовые функции

 
§1.1. Понятие числовой функции, графики функции, обратной функции

Понятие функции – одно из наиболее важных в математике и  ее приложениях. В самом общем  понимании функция – это зависимость  между двумя переменными. Уточним данную идею следующим определением.

Определение. Если каждому элементу множества () ставится в соответствие вполне определенный элемент множества (), то говорят, что на множестве задана функция :

При этом называется независимой переменной (аргументом), – зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения (существования) функции, а множество – областью значений функции.

В экономике главным образом  применяются числовые функции. Числовая функция характеризуется тем, что оба множества и состоят из чисел.

Наглядное представление  о числовой фукции дает ее график – некоторое множество точек на координатной плоскости, как правило – некоторая линия, например:

Таким образом, можем  сформулировать определения графика  функции.

Определение. Графиком функции с областью определения называется множество

.

Существует несколько  способов задания функции. Рассмотрим каждый из них.

1. Аналитический способ. Функция задана формулой . Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , задана аналитически.
2. Табличный способ. Данный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции . Например, данная таблица содержит данные о числе жителей планеты в отдельные годы:

3. Графический способ. Данный способ состоит в изображении графика функции – множества точек  плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .
4. Словесный способ. Функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если – рациональное число; , если – иррациональное число.

Рассмотрим понятие  обратной функции.

Пусть между переменными и , заданными функцией , существует взаимно-однозначное соответствие. Рассмотрим для примера функцию . Выразим в этом уравнении переменную через :

.

Данное уравнение, как и уравнение , описывают одн совокупность точек на координатной плоскости. Связь между переменными одна и та же, различие лишь в форме записи. Эту функцию от аргумента называют обратной по отношению к исходной. В уравнении мы задаем значение переменной , вычисляем значение переменной . Обозначим независимую переменную через и перепишем наше уравнение в виде

.

Именно такая  функция подразумевается под  обратной. Обратную функцию обозначают также в виде .

Рассмотрим основные элементарные функции:

1. Степенные функции вида , где – любое постоянное число.
2. Показательные функции вида , где .
3. Логарифмические функции вида , где .
4. Тригонометрические функции вида , , .
5. Обратные тригонометрические функции вида , , .

Функции находят  широкое применение в экономической  теории и практике. Спектр используемых в экономике функци й весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоитму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные, логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

 

§1.2. Четные и нечетные функции

 

В данном и последующих  параграфах мы рассморим основные свойства функций. Первым из них будет четность и нечетность.

Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция  является четной (так как и , а функция является нечетной (так как и ).

В то же время, например, функция является функцией общего вида, так как и и .

График четной функции  симметричен относительно оси ординат, а  график нечетной функции симметричен относительно начала координат, например:

 

§1.3. Периодичность функции

 

Функция называется периодической, если существуют такие постоянные числа, при прибавлении которых к аргументу значение функции не меняется. Наименьшее положительное из этих чисел называется периодом.

Определение. Функция  называется периодической с периодом , если для любых значений из области определения функции

 

Например, функция  имеет период , так как если к аргументу прибавить любое число из множества (), значение функции не изменится:

 

 

§1.4. Монотонность функции

 

Функция  называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если  большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке , если  и убывает, если :

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными  функциями.

Так, например, функция  при убывает и при ; возрастает:

 
§1.5. Выпуклость функции

 

Определение. Функция  называется выпуклой вверх на отрезке , если для любых точек  из этого отрезка выполняется неравенство:

 

Другими словами, если для любых точек  секущая  проходит под графиком функции , то функция  выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз (вогнутая).

Точка  называется точкой перегиба функции    если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Рассмотрим график функции .

Эта функция является вогнутой при   выпуклой при   . Точка   является точкой перегиба функции.

 

 

Экономический смысл  выпуклости функции выражается в ряде законов. Рассмотрим их подробнее.

Закон убывающей доходности. С увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

Иными словами, величина , где - приращение ресурса, а - приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх.

Закон убывающей  полезности. С ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает.

Функция полезности , где - товар, - полезность, есть величина субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Очевидно, закон убывающей полезности можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх.

 

§1.6. Дробно-линейные функции

Рассмотрим функцию :

 

Она определена при  ;; значения функции также принадлежат промежутку ;.  Функция нечетна. Она не пересекает координатные оси. При , при . Функция убывает на промежутках ;. Прямые  и   являются асимптотами (при    и  соответственно).