Шесть функций сложного процента

ШЕСТЬ ФУНКЦИЙ  СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА

 

Обычно выделяют шесть функций сложного процента:

• накопленная сумма единицы (будущая стоимость единицы);
• накопление денежной единицы за период (будущая стоимость аннуитета);
• фактор фонда возмещения (периодический взнос в фон накопления);
• текущая стоимость единицы (дисконтирование);
• текущая стоимость аннуитета;
• взнос на амортизацию денежной единицы (периодический взнос за амортизацию денежной единицы).

Эти функции разделяют  на прямые и обратные. Взаимосвязь между прямыми и обратными функциями денежной единицы, представлена в табл. 1.

 

Таблица 1.

Шесть функций  сложного процента

 

Прямая функция	Обратная функция
накопленная сумма единицы (будущая стоимость единицы, сложный  процент) [Колонка 1 таблицы сложных процентов]	текущая  стоимость единицы (текущая стоимость реверсии, дисконтирование) [Колонка 4 таблицы сложных процентов]
накопление денежной единицы  за период (будущая стоимость аннуитета) [Колонка 2 таблицы сложных процентов]	текущая стоимость аннуитета   [Колонка 5 таблицы сложных процентов]
фактор фонда возмещения  (периодический взнос в фонд накопления) [Колонка 3 таблицы сложных процентов]	взнос на амортизацию единицы (периодический взнос в погашение  кредита) [Колонка 6 таблицы сложных процентов]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Накопленная сумма  единицы 

(сложный процент;  будущая стоимость единицы)

Данная функция позволяет  определить будущую стоимость суммы (FV), которой располагает инвестор в настоящий момент (S), исходя из предполагаемой ставки дохода (i), срока накопления (n) и периодичности начисления процентов.

Будущая стоимость основывается на формуле сложного процента:

 

FV = S(1+i)ⁿ

где  FV - величина накопления;

S – первоначальный вклад;

i –  ставка дохода;

n – число периодов накопления процентов.

Сложный процент означает, что уже полученный процент, будучи положенный на депозит вместе с первоначальными  инвестициями, становится частью основной суммы. Поэтому в следующий период наряду с первоначальным депозитом  он также приносит новый процент.

Пример.

Ставка по депозиту составляет 10 %, срок депозита - 3 года, процент начисляется 1 раз в год, в конце периода.

Таким образом, за первый год  сумма депозита составит 1 100 руб., за второй – 1 210 руб., за третий – 1 3310 руб.

Расчет с помощью таблиц сложных процентов:

FV (3 года, 10%) = 1 100 * 1,331 = 1 330 руб.

 

Если период накопления менее  года, то необходимо ставку процента разделить  на частоту накоплений в течение  года, а число периодов накопления за год умножить на число лет накоплений.

Пример.

100 руб. накапливается  в течение трех лет. Период  накопления – 1 раз в квартал.  Ставка дохода – 28 %.

28% : 4 = 7% - ставка дохода за период

3 * 4 = 12 – количество периодов.

Таким образом: FV = 100 * 2,25 = 225 руб.

 

 

Текущая стоимость реверсии

(дисконтирование; текущая стоимость  единицы)

Это величина, обратная сложному проценту, или текущая стоимость  единицы, которая должна будет получена в будущем, если известны период накопления и ставка дохода. Таким образом, величина, которая поток будущих платежей приводит к настоящему моменту.

где  FV - величина накопления;

S – первоначальный вклад;

i – ставка дохода;

n – число периодов накопления процентов.

 

Пример:

Какая сумма должна быть положена на депозит, если через пять лет необходимо получить 1000 руб. ставка депозита 7%.

Решение: PV (5 лет, 7%) = 1000 * 0,71299 = 713 руб.

 

При более частом накоплении (интервал накопления не год, а квартал, месяц) номинальная ставка дохода делится  на число накоплений, а число периодов умножается на число лет.

 

Пример:

Какая сумма должна быть положена на депозит, чтобы через  три года получить 1000 руб., если начисление процентов происходит ежеквартально, ставка процента 28%.

Решение:

28 % : 4 = 7 % - ставка дохода

3 года * 4 = 12 периодов

PV = 1000 * 0,44401 = 444 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Текущая стоимость  аннуитета

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через  один период, начиная с настоящего момента. Текущая (настоящая) стоимость  единичного аннуитета (а_n) – это функция, определяющая настоящую стоимость серии будущих равных единичных платежей в течение n периодов при норме дохода равной i:

 

Таким образом, аннуитет может  быть рассчитан путем оценки каждого  платежа в отдельности как  текущая стоимость единицы.

Примером использования  текущей стоимости аннуитета  может быть определение текущей  стоимости будущей арендной платы  за несколько периодов, лизинговых платежей, других доходов, величина которых  не изменяется от периода к периоду.

 

Пример:

Какая сумма должна быть положена на депозит под 12 % годовых, если необходимо выплачивать арендную плату 1000 руб. ежегодно в течение 5 лет (т.е. снимать с депозита 1000 руб.  в течение 5 лет).

PVA (5 лет, 12%) = 1000 * 3,60478 = 3605 руб.

Таким образом, инвестор получил 5000 руб., хотя сумма первоначального  вклада была 3605 руб.

Проверим данные выводы  методом депозитной книжки:

3605 *1,12 – 1000 = 3037,6

3037,6 * 1,12 – 1000 = 2402,1

2402,1 * 1,12 – 1000 = 1690,37

1690,37 * 1,12 – 1000 = 893,2

893,2 * 1,12 – 1000 = 0

 

Рассмотренный аннуитет называется обычным, платеж возникал в конце периода.

Существует также авансовый, или причитающийся аннуитет, в этом случае платеж возникает немедленно, в начале периода. Т.е. первый платеж поступает немедленно, поэтому он не дисконтируются. Для того чтобы рассчитывать авансовый аннуитет по таблице обычного аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укоротить его на один период и добавить к нему единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление.

Например, фактор авансового аннуитета возникающего 5 раз при  ставке дисконта 10 % равен:

5 –1 =4

3,17  + 1 =4,17

Существуют  три способа расчета текущей  стоимости аннуитета при изменяющемся потоке доходов.

 

Пример:

В соответствии с бизнес-планов автомастерская принесет владельцу в первые два года доход 1000 руб., а последующие три года - 2000 руб. (ежегодно). Ставка дисконта – 8% годовых.

 

1 способ расчета.

За  два года получим PVA (2 года, 8%) = 1000 * 1,78326 = 1783 руб.

За  последующие три года берем фактор для пяти лет и вычитаем фактор за два года PVA (5 лет – 2 года, 8%)= 2000 * (3,99271-1,78326) = 4418,9 руб.

Итого 4418,9 + 1783  = 6201,9 руб.

 

2 способ расчета.

Находим текущую стоимость единичного аннуитета  для потока доходов в 1 000 руб. в течении 5 лет.

PVA (5 лет, 8%) = 1000 * 3,99271 = 3993 руб.

Дополнительный  доход, который будет получен  собственником в за третий, четвертый и пятый года составляет  2000 – 1000 = 1000 руб. в год.

PVA (5 лет – 2 года, 8%) = 1000 * (3,99271-1,78326) = 2209 руб.

2209 + 3993 = 6202 руб.

 

3 способ расчета.

Рассчитываем текущую  стоимость 2 000 руб. в течение пяти лет

PVA (5 лет, 8%) = 2000 * 3,99271 = 7985,42 руб.

Так как в течение первых двух лет  доход будет составлять на 1 000 руб. в год меньше, то находим данную сумму

PVA (2 года, 8%) = 1000 * 1,78326 = 1783 руб.

7985,42 – 1783 = 6202,2 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

Взнос на амортизацию  денежной единицы

(периодический  взнос на погашение кредита)

Если  настоящая стоимость аннуитета  показывает, какова будет настоящая  стоимость единичных платежей в  течение n периодов, то обратная ей величина, называемая взносом за амортизацию единицы, показывает, каков должен быть размер платежей в течение n периодов, чтобы их настоящая стоимость при норме процента i была равна заданной величине:

 

 

Символ  функции - .

С экономическое  точки зрения взнос на амортизацию  единицы – это регулярный периодический  платеж в погашение приносящего  процент кредита. Данная функция  позволяет определить величину взноса на погашение кредита, если известны величина кредита, ставка процента и  период погашения.

 

 

Пример:

Рассчитать  величину ежегодного погашения кредита  в размере 10 000 руб., выданного сроком на 5 лет по ставке процента 8 % годовых.

Решение.

(5 лет, 8%) = 10000 * 0,25046 = 2504,6 руб.

Т.е. для того чтобы погасить кредит размером 10000 руб. в течение 5 лет при ставке банковского процента 8 % необходимо ежегодно вносить сумму 2504,6 руб.

2504,6 * 5 = 12522,5 – 10 000 = 2522,5 руб.  – сумма начисленных процентов.

 

 

 

 

 

 

 

Будущая стоимость  аннуитета

(накопление единицы  за период)

 

Будущая стоимость аннуитета  показывает, какова будущая стоимость  единичного аннуитета при заданном числе периодов накопления n и норме процента i. Таким образом, данная функция позволяет определить величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода.

Коэффициент будущей стоимости  аннуитета S_n рассчитывается по формуле:

Символ функции – FVA.

 

Пример:

Какая сумма будет накоплена  на счете, если в течение 5 лет вносить 1000 руб. ежегодно, ставка процента 10 %?

FVA (5 лет, 10%) = 1000 * 6,10510 = 6 105 руб. – накопленная сумма за пять лет при ежегодном платеже 1000 и ставке процента 10 %.

6105 – 5000 = 1105 руб. – начисленные  проценты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Периодический взнос в фонд накопления

(фактор фонда возмещения)

 

Периодический взнос в  фонд накопления определяет величину платежей для аннуитета, будущая  стоимость которого через n периодов при заданной норме процента i равна определенной сумме. Фактор фонда возмещения показывает денежную сумму, которую необходимо депонировать в конце каждого периода (периодический депозит), для того чтобы через заданное число периодов при определенной ставке процента получить необходимую сумму. Применяется данная функция при расчете депонируемых платежей, которые должны сформировать к определенному моменту в будущем требуемый остаток на счете.

Коэффициент фонда возмещения является обратной величиной коэффициента будущей стоимости аннуитета  и рассчитывается по формуле:

 

Символ функции .

 

Пример:

Какую сумму необходимо ежегодно в течение 5 лет вносить на депозит  приставке процента 12 %, чтобы накопить 10 000 руб.

(5 лет, 12%) = 10000 * 0,15741 = 1 574 руб.– сумма,  которую необходимо вносить на  депозит в течении 5 лет, чтобы получить в конце срока депозита 10000 руб.

1574 * 5 = 7870 руб.

10 000 - 7870 = 2130 руб. – начисленные  проценты.