Автокорреляционная функция временного ряда Коррелограмма

 

Эконометрика

 

Автокорреляционная  функция временного ряда Коррелограмма

 

 

Содержание

Введение.
Понятие временного ряда.
Автокорреляционная функция  временного ряда. Коррелограмма.
Список литературы

 

Введение.

С течением времени изменяются деловая активность, режим протекания того или иного производственного процесса, глубина сна человека, течение болезни... Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение определенного периода времени представляют собой временной ряд.

Совокупность существующих методов анализа таких рядов  наблюдений называется анализом временных рядов.

Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди  других видов статистического анализа, является существенность порядка, в  котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.

 

Понятие временного ряда.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

• факторы, формирующие тенденцию ряда;
• факторы, формирующие циклические колебания ряда;
• случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом процессе или явлении этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую долговременное совокупное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное влияние на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку деятельность ряда отраслей экономики и сельского хозяйства зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой временного ряда.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень  образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной  или отрицательной) случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический  уровень временного ряда можно представить  как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд  представлен как сумма перечисленных  компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача статистического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда.

 

Автокорреляционная  функция временного ряда. Коррелограмма.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Одна из рабочих формул для расчёта  коэффициента автокорреляции имеет  вид:

 

 

В качестве переменной х мы рассмотрим ряд y₂, y₃, … , y_n; в качестве переменной у – ряд y₁, y₂, . . . ,y_{n – 1} . Тогда приведённая выше формула примет вид:

 

 

 

где

 

 

 

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более  высоких порядков. Так, коэффициент  автокорреляции второго порядка  характеризует тесноту связи  между уровнями у_t и y_{t – 1} и определяется по формуле

 

 

 

где

 

 

 

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. Порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости её значений от величины лага (порядка коэффициента корреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого  порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким  оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической, сезонной компоненты.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции  временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей  зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Пусть имеются следующие фактические  уровни ряда:

 

 у₁, у₂, . . ., у_n.

 

Характер изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей  является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

Поскольку зависимость от времени  может принимать разные формы, для  ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются  следующие функции:

• линейный тренд: y_t = a₀ + a₁t;
• гипербола: y_t =a₀ + a₁/t;
• экспоненциальный тренд: y_t = e ^{a + bt} ;
• тренд в форме степенной функции: y_t = at^b;
• парабола второго и более порядков:

 

y_t = a₀ + a₁t + a₂ t ² + . . . +a_k t ^k .

 

Аналитическое выравнивание есть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных.

Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое  выравнивание, могут быть сведены  к следующим:

1. Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

 

y_t = a₀ + a₁ t,

 

где y_t считается как у, выровненный по t.

2) Если приросты приростов уровней,  то есть ускорения, колеблются  около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:

 

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ² .

 

Показатели а₀, а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: а₀ –начальный уровень; а₁ – начальная скорость ряда и а₂ – ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с  приблизительно постоянным относительным  приростом, то выравнивание производится  по показательной (экспонентной  функции):

 

y_t = a₀ a₁^t.

 

В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y _{t –1} тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции  обычно осуществляется экспериментальным  методом , то есть путём сравнения  величины остаточной дисперсии  D_ост, рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у – у_t). Величина этих отклонений и лежит в основе расчёта остаточной дисперсии:

 

 (1.3.1)

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.

Критерий Дарбина-Уотсона (Durbin, 1969) представляет собой распространенную статистику, предназначенную для тестирования наличия автокорреляции остатков первого порядка после сглаживания ряда или в регрессионных моделях.

Численное значение коэффициента равно

 

d = [(e(2)-e(1))² + ... + (e(n)-e(n -1))²]/[e(1)² + ... + e(n)²],

 

где e(t) - остатки.

Возможные значения критерия находятся в интервале от 0 до 4, причем табулированы его табличные  пороговые значения для разных уровней  значимости (Лизер, 1971).

Значение d близко к величине 2*(1 - r₁), где r - выборочный коэффициент автокорреляции для остатков. Соответственно, идеальное значение статистики - 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие – отрицательной [2, 193].

Например, после сглаживания  ряда ряд остатков имеет критерий d = 1.912. Аналогичная статистика после  сглаживания ряда - d = 1.638 - свидетельствует  о некоторой автокоррелированности  остатков.

После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у₁, у₂, . . . или . . ., у_-1, у₀, у₁, . . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.

Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей  случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества  случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.