Контрольная работа по "Математическому моделированию"

 Постановка  задачи

 

В начальный момент времени  количественный состав некоторого биологического вида равен единиц. Требуется сделать прогноз численности данной популяции при для двух случаев:

• относительный темп прироста популяции не зависит от ее численности и равен постоянной величине (свободный рост популяции),
• относительный темп прироста популяции уменьшается линейно с увеличением ее численности и равен величине (ограниченный рост популяции).

С этой целью необходимо

• составить математическую модель свободного роста популяции в виде линейного дифференциального уравнения, найти аналитическое решение уравнения;
• составить математическую модель ограниченного роста популяции в виде  дифференциального уравнения Бернулли, определить аналитическое и численное решение уравнения при заданных начальных условиях, показать графически приближенное совпадение полученных решений;
• привести графическую иллюстрацию изменения численности для моделей свободного и ограниченного роста популяции;
• сделать выводы по работе.

Исходные данные для расчетов приведены  в табл.1.

Таблица 1

t0	N0	r	k	h
17	38	1,52	82	0,1

 

Математическая модель свободного роста популяции

Уравнение

                                    ,        (1)

 представляет собой математическую  модель свободного роста численности  популяции. Для произвольного  момента времени  численность популяции является решением этого уравнения и представляется равенством

                                     ,       (2)

 которое для данных табл.2 выражается соотношением

                                             (3)

при .

 

Математическая модель ограниченного роста популяции

 

Согласно 

                                        ,       (4)

 справедливо следующее дифференциальное  уравнение

.

Это уравнение представляет собой  математическую модель ограниченного роста популяции. Аналитическое решение дается соотношением

.

Заметим, что из последнего равенства  следует более простое выражение  для  , а именно,

.         (5)

Численное решение определим методом  Эйлера. Поместим в ячейку E1 значение шага интегрирования , который примем равным 0,1.

Последующие результаты расчетов представим в виде табл.2.

Таблица 2

	А	B	C	D
	t	N(t) своб	N(t)огран	N(t)Эйлер
6	17	38	38	38
7	17,1	44,23809	41,11063	41,09932
8	17,2	51,50022	44,21998	44,2153
9	17,3	59,95451	47,29251	47,31214
10	17,4	69,79666	50,29432	50,35428
11	17,5	81,2545	53,19465	53,30808
12	17,6	94,59325	55,96699	56,14327
13	17,7	110,1217	58,58993	58,83419
14	17,8	128,1993	61,04754	61,36062
15	17,9	149,2445	63,32936	63,70818
16	18	173,7446	65,43013	65,86832
…	…	…	…	….
166	33	1,39E+12	82	82
167	33,1	1,61E+12	82	82
168	33,2	1,88E+12	82	82
169	33,3	2,19E+12	82	82
170	33,4	2,55E+12	82	82
171	33,5	2,96E+12	82	82
172	33,6	3,45E+12	82	82
173	33,7	4,02E+12	82	82
174	33,8	4,68E+12	82	82
175	33,9	5,44E+12	82	82
176	34	6,34E+12	82	82

 

 

В табл.2 время изменяется от час. до час. с шагом . Соответствующие значения содержатся в блоке ячеек A6 : A176.  В столбце B содержатся значения функции (2), соответствующие свободному росту популяции, в столбцах C и D содержатся значения, соответствующие ограниченному росту популяции на основе аналитического решения

.         (6)

 и численного алгоритма

.         (7)

 

Согласно равенствам (3) и (5) в ячейки B2 и C2 записываются выражения

= 38 * EXP(1,52 * (A6-17))

и

= 82 * B6 / (82 + B6 - 38),

которые копируются на блок ячеек  B7 : B176 и C7 : C176 соответственно.

В ячейку D7 помещается значение . Согласно

,          (8)

где .

 правая часть дифференциального  уравнения имеет вид

,

поэтому в ячейку D7 помещается формула

= D6 + $E$1 * 1,52 * D6 * (1 – D6 / 82),

которая копируется на блок ячеек  D8 : D176. По заданию необходимо установить близость аналитического и численного решений дифференциального уравнения (8), соответствующего ограниченному росту популяции. Графическая иллюстрация данных из колонок C и D приведена на рис.1.

        Рис. 1  Графики аналитического и численного решений уравнения (8)

 

Из рис.1 следует практическое совпадение решений дифференциального уравнения  аналитическим и численным методами.

 

 

Иллюстрация изменения численности для свободного и ограниченного роста популяции

На  рис. 2 представлены графики свободного и ограниченного роста численности популяции.

 

Рис.2. Изменение численности популяции для свободного и ограниченного роста.

 

График ограничен сверху горизонтальной линией, соответствующей численности  .

Из рисунка следует неограниченный рост численности популяции для случая свободного роста. В случае ограниченного роста кривая изменения численности популяции достаточно быстро входит в стационарный режим, приближаясь к значению .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1. А.Д.Базыкин. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М., Наука, 1985, 165 с.
2. М.Бигон, Дж.Харпер., К. Таунсенд. Экология. Особи, популяции и сообщества. М., Мир. 1989, Том 1, 657 с.
3. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993, 176 с.
4. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., Изд. МГУ, 1993, 301 с..
5. Ю.М.Свирежев, О.Д.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука, 1978, 352 с.
6. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М., Наука, 1997.