Контрольная работа по "Эконометрика"
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Марта 2015 в 19:45, контрольная работа
Краткое описание
В таблице 1 приведены следующие данные: единичная стоимость про-
цесса добычи газа (Y), процент жидкости в добываемом из скважины газе (X)
для различных месторождений.
1. В рамках линейной модели найдите регрессионную зависимость Y от X.
2. Вычислите коэффициент корреляции между X и Y.
3. Определите значимость регрессии для α = 0,05.
4. Найдите 95 % доверительные интервалы для параметров модели.
Содержание
Задача № 1......................................................................................................3
Решение......................................................................................................3
Задача № 3....................................................................................................11
Решение....................................................................................................11
Приложения.................................................................................................18
Приложение 1. Квантили распределения Стьюдента .........................18
Литература...............................................................................................19
Вложенные файлы: 1 файл
Министерство образования Российской Федерации
Новосибирский государственный технический университет
Кафедра прикладной математики
Контрольная работа по дисциплине
Эконометрика
Выполнил:
Студент группы ОТЗ-001
_________________ Ганжа К.И.
«____» ___________ 2003 г.
специальность: 060100
шифр: 316 601 27
Проверил:
Бериков В.Б.
«____» ___________ 2003 г.
оценка ______________________
Новосибирск
2003
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
2
В каждой естественной науке заключено
столько истины, сколько в ней математики
(И. Кант)
Содержание
Задача № 1......................................................................................................3
Решение......................................................................................................3
Задача № 3....................................................................................................11
Решение....................................................................................................11
Приложения.................................................................................................18
Приложение 1. Квантили распределения Стьюдента .........................18
Литература...............................................................................................19
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
3
Задача № 1
В таблице 1 приведены следующие данные: единичная стоимость про-
цесса добычи газа (Y), процент жидкости в добываемом из скважины газе (X)
для различных месторождений.
1. В рамках линейной модели найдите регрессионную зависимость Y от X.
2. Вычислите коэффициент корреляции между X и Y.
3. Определите значимость регрессии для α = 0,05.
4. Найдите 95 % доверительные интервалы для параметров модели.
5. Найдите интервал, в котором с вероятностью 0.95 находится значение еди-
ничной стоимости добычи газа при наличии 25 % жидкости.
6. Вычислите коэффициент детерминации R
2
.
Таблица 1
X
13,2
16,4
19,4
23,5
26,2
30,5
42,3
Y
3,3
5,5
4,3
6,4
6,2
9,7
8,3
Решение
1. Уравнение регрессии – это формула статистической связи между
переменными. Если эта формула линейна, то имеем линейную регрессию.
Формула статистической связи двух переменных называется парной регрес-
сией.
В модели парной линейной регрессии зависимость между перемен-
ными в генеральной совокупности представляется в виде
1
:
ε
β
α
+
+
=
X
Y
(1.1)
На основании выборочного наблюдения оценивается выборочное урав-
нение регрессии (линия регрессии):
bx
a
y
+
=
,
(1.2)
1
Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – с. 22
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
4
где (a, b) – оценки параметров (α, β).
Неизвестные значения (a, b) определяются методом наименьших
квадратов (МНК), суть которого заключается в минимизации суммы квад-
ратов остатков:
∑
∑
∑
→
−
−
=
−
=
=
min
)
(
)
(
2
2
2
i
i
i
i
i
bx
a
y
y
y
e
Q
Здесь (x
i
, y
i
) – известные значения наблюдения, (a, b) – неизвестные.
Записав необходимое условие экстремума и сделав необходимые преобразо-
вания, получим систему уравнений
2
.
−
=
−
⋅
−
=
xb
y
a
x
x
y
x
xy
b
2
2
(1.3)
Для удобства, сделаем промежуточные расчёты и внесём их в табли-
цу 1.1
Таблица 1.1
I
1
2
3
4
5
6
7
ср.
x
13,2
16,4
19,4
23,5
26,2
30,5
42,3
24,5
y
3,3
5,5
4,3
6,4
6,2
9,7
8,3
6,24
x*y
43,56
90,20
83,42
150,40
162,44
295,85
351,09
168,14
сум.( x*y)
x
2
174,24
268,96
376,36
552,25
686,44
930,25
1789,29
682,54
сум. x
2
1176,96
4777,79
Подставим данные из таблицы 1.1 в (1.3) и вычислим:
1846
,0
5,
24
54
,
682
24
,6
5,
24
14
,
168
2
=
−
⋅
−
=
b
7213
,1
4,
25
18
,0
24
,6
=
⋅
−
=
⋅
−
=
x
b
y
a
Таким образом линейная модель зависимости y от x имеет вид:
y
i
=1,7213 + 0,1846
⋅
x
i
Построим график полученной зависимости и нанесём на него экспери-
ментальные точки.
2
Подробнее о преобразованиях см.: Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М,
2003. – с. 23.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
5
Зависимость стоимости единицы газа (Y)
от процентного содержания в нём жидкости (X)
y = 0,1846x + 1,7213
R
2
= 0,672
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
10
15
20
25
30
35
40
45
содержание жидкости, %
Стоимость
,
ру
б
.
Эксперимент
Расчёт
Линия тренда
2. Коэффициент корреляции (ρ) является безразмерной величиной и
показывает степень линейной связи двух переменных. Коэффициент корре-
ляции определяется выражением:
1
1
,
)
(
)
(
1
)
,
cov(
.
1
≤
≤
−
⋅
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
=
∑
=
ρ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ρ
y
x
y
x
N
i
i
i
y
x
b
x
x
y
y
N
Y
X
pop
(1.4)
где
∑
=
−
⋅
=
N
i
i
x
x
x
N
1
2
)
(
1
σ
,
∑
=
−
⋅
=
N
i
i
y
y
y
N
1
2
)
(
1
σ
(1.5)
Для удобства, сделаем промежуточные расчёты и внесём их в табли-
цу 1.2
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
6
Таблица 1.2
I
1
2
3
4
5
6
7
ср.
x
13,2
16,4
19,4
23,5
26,2
30,5
42,3
24,5
y
3,3
5,5
4,3
6,4
6,2
9,7
8,3
6,24
(x– x
ср
)
2
127,69
65,61
26,01
1,00
2,89
36,00
316,84
сумма
(y– y
ср
)
2
8,66
0,55
3,77
0,02
0,00
11,95
4,23
сумма
576,04
29,20
Подставим данные в (1.5):
07
,9
04
,
576
7
1
)
(
1
1
2
=
⋅
=
−
⋅
=
∑
=
N
i
i
x
x
x
N
σ
04
,2
2,
29
7
1
)
(
1
1
2
=
⋅
=
−
⋅
=
∑
=
N
i
i
y
y
y
N
σ
Подставим полученные данные в (1.4) и рассчитаем коэффициент кор-
реляции:
8,
0
04
,2
07
,9
18
,0
=
⋅
=
⋅
=
y
x
b
σ
σ
ρ
На основании этого можно сделать вывод, что имеется положительная
связь между содержанием жидкости и стоимостью добычи, т.е. с ростом со-
держания жидкости растёт стоимость добычи.
3.1. Проверка адекватности регрессионной модели.
3
Значимость коэффициентов простой линейной регрессии для нашего
примера (для N < 30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При
этом вычисляют расчётные (фактические) значения t-критерия:
для параметра a
ост
a
N
a
t
σ
2
−
=
(1.6)
для параметра b
3
Подробнее см.: Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001, с.
192–199. А так же: Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – с. 39–42.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
7
x
ост
b
N
b
t
σ
σ
2
−
=
(1.7)
Для удобства, сделаем промежуточные расчёты и внесём их в табли-
цу 1.3
Таблица 1.3
I
1
2
3
4
5
6
7
ср.
x
13,2
16,4
19,4
23,5
26,2
30,5
42,3
24,5
y
3,3
5,5
4,3
6,4
6,2
9,7
8,3
6,24
(x– x
ср
)
2
127,69
65,61
26,01
1,00
2,89
36,00
316,84
сумма
y
оц
4,16
4,75
5,30
6,06
6,56
7,35
9,53
( y – y
оц
)
2
0,74
0,56
1,01
0,12
0,13
5,51
1,51
сумма
576,04
9,58
Среднеквадратичное отклонение результативного признака y от вырав-
ненных значений ŷ :
1699
,1
7
58
,9
)
(
2
=
=
−
=
∑
N
y
y
ост
σ
(1.8)
Среднеквадратичное отклонение факторного признака x от общей
средней
x
:
071
,9
7
04
,
576
)
(
2
2
2
=
=
−
=
−
=
∑
∑
∑
N
x
N
x
N
x
x
x
σ
(1.9)
Теперь по (1.6) и (1.7) рассчитаем фактические значения t-критерия:
29
,3
1699
,1
)2
7(
7213
,1
=
−
=
a
t
20
,3
071
,9
1699
,1
2
7
1846
,0
=
⋅
−
⋅
=
b
t
Вычисленные значения t
a
и t
b
сравнивают с критическими t
кр
, которые
определяют по таблице распределения Стьюдента с учётом принятого уровня
значимости α и числом степеней свободы вариации ν = N – 2. В социально-
экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают
равным 0,05. Параметр признаётся значимым (существенным) при условии,
если t
расч
> t
табл
.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
8
По таблице распределения Стьюдента (см. приложение 1) для ν = 5 на-
ходим критическое значение t-критерия: t
табл
= 2,01
Поскольку расчётные значения t
a
и t
b
> t
табл
, то оба параметра a и b при-
знаются значимыми.
3.2. F-тест на качество оценивания. Для определения статистической
значимости проверяется гипотеза H
0
: F=0 (нулевая гипотеза о значимости
параметров) для F-статистики, рассчитываемой по формуле:
)
1(
)2
(
2
2
ρ
ρ
−
−
=
N
F
(1.10)
Величина F имеет распределение Фишера с ν
1
= 1, ν
2
= N – 2 степенями
свободы.
Вычисленный критерий F сравнивается с критическим значением F
кр
:
если F < F
кр
, то гипотеза H
0
принимается, т.е. параметры незначимы;
если F > F
кр
, то гипотеза H
0
отклоняется, т.е. параметры значимы.
Вычислим критерий F по формуле (1.10):
9,
8
)
8,
0
1(
)2
7(
8,
0
)
1(
)2
(
2
2
2
2
=
−
−
=
−
−
=
ρ
ρ
N
F
Теоретический критерий Фишера определим по таблице, принимая во
внимание, что ν
1
= 1, ν
2
= (7 – 2) = 5:
F
теор
=6,61.
Т.к. F > F
теор
, то гипотеза о неслучайной связи между X и Y подтвер-
ждается.
4. 95 % доверительный интервал для параметров модели.
Несмещённой оценкой дисперсии σ
2
является величина (остаточная
дисперсия)
4
∑
−
=
−
=
2
2
2
1
)
var(
2
i
e
n
e
n
n
S
(1.11)
4
Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – с.36.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
9
которая служит мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрес-
сии. Величина S называется стандартной ошибкой регрессии.
Заменив в теоретических дисперсиях неизвестную σ
2
на оценку S
2
по-
лучим оценки дисперсии:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
var(
,
)
(
)
var(
b
a
b
S
x
x
n
S
S
x
x
S
x
n
S
x
S
=
=
−
=
=
∑
(1.12)
Величины S
a
, S
b
называются стандартными ошибками коэффициен-
тов регрессии.
Подставим данные из табл. 1.3 в (1.11) и вычислим:
916
,1
58
,9
2
7
1
2
=
⋅
−
=
S
А теперь по (1.12) вычислим стандартные ошибки коэффициентов рег-
рессии:
3
2
2
2
10
326
,3
04
,
576
916
,1
)
(
−
⋅
=
=
−
=
∑
x
x
S
S
b
27
,2
10
326
,3
54
,
682
3
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
−
b
a
S
x
S
Учитывая, что значения статистики Стьюдента для α = 0,05/2 и ν = 5
равна a
t
= b
t
= 2,57 (см. приложение 1)
00855
,0
1846
,0
10
326
,3
57
,2
1846
,0
3
±
=
⋅
⋅
±
=
⋅
±
=
−
±
b
t
S
b
b
b
8533
,5
7213
,1
27
,2
57
,2
7213
,1
±
=
⋅
±
=
⋅
±
=
±
a
t
S
a
a
a
5. Рассчитаем интервал, в который с вероятностью 95 % находится зна-
чение единичной стоимости добычи газа при наличии в нём 25 % жидкости.
Исходя из найденных параметров регрессионной модели, стоимость
извлечения газа будет равна:
y = 1,7213 + 0,1846 ⋅ x = 1,7213 + 0,1846 ⋅ 25 = 6,3363
Доверительный интервал рассчитаем по формуле:
3464
,1
3363
,6
04
,
567
)5,
24
25
(
7
1
916
,1
57
,2
3363
,6
)
(
)
(
1
2
2
2
±
=
−
+
⋅
⋅
±
=
−
−
+
±
=
∑
±
x
x
x
x
n
S
a
y
y
t
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
10
Т.е. с вероятностью 95 % стоимость добычи газа с 25 % содержанием
жидкости будет находиться в диапазоне от 4,99 до 7,68.
6. Коэффициентом детерминации R
2
называют отношение
5
∑
∑
−
−
−
=
−
=
=
2
2
2
)
(
)
(
1
)
var(
)
var(
1
)
var(
)
var(
y
y
y
y
y
e
y
y
R
(1.13)
характеризующее долю вариации (разброса) зависимой переменной, объяс-
нённую с помощью уравнения регрессии.
Подставим в (1.13) данные из табл. 1.2 и 1.3 и получим:
672
,0
20
,
29
58
,9
1
2
=
−
=
R
Т.е. изменение исследуемого признака (стоимость добычи газа) на 67 %
зависит от анализируемого фактора (наличия в газе жидкости).
5
Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – с. 25.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
11
Задача № 3
У семи сотрудников предприятия собраны данные (табл. 3) об их сред-
немесячной зарплате (Y), возрасте (X
1
) и стаже работы (X
2
).
1. С помощью метода наименьших квадратов (МНК) оценить парамет-
ры линейной модели вида
ε
+
+
+
=
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y
, влияния возраста и стажа ра-
боты на среднемесячную зарплату;
2. Оценить параметры построенной модели;
3. Рассчитать коэффициент детерминации.
Таблица 3
X
1
35
45
25
55
30
42
25
X
2
5
10
3
12
1
8
2
Y
1 600
2 000
1 450
2 200
1 400
1 800
1 350
Решение
1. МНК–оценки параметров a
0
, a
1
и a
2
можно получить, решив систему
нормальных уравнений, которая в данном случае имеет вид
6
:
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
+
=
+
+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
N
i
i
i
N
i
N
i
i
i
i
N
i
i
N
i
i
i
N
i
N
i
i
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
N
i
i
i
x
y
x
a
x
x
a
x
a
x
y
x
x
a
x
a
x
a
y
x
a
x
a
N
a
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
0
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
0
1
1
1
2
2
1
1
0
)
(
)
(
(3.1)
Для удобства, сделаем промежуточные расчёты и внесём их в табли-
цу 3.1.
6
Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – с. 202.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
12
Таблица 3.1
I
1
2
3
4
5
6
7
y
1 600
2 000
1 450
2 200
1 400
1 800
1 350
сум. y
x
1
35
45
25
55
30
42
25
сум. x
1
x
1
2
1 225
2 025
625
3 025
900
1 764
625
сум. x
1
2
x
2
5
10
3
12
1
8
2
сум. x
2
x
2
2
25
100
9
144
1
64
4
сум. x
2
2
x
1
⋅
x
2
175
450
75
660
30
336
50
сум. x
1
⋅
x
2
y
⋅
x
1
56 000
90 000
36 250
121 000
42 000
75 600
33 750
сум. y
⋅
x
1
y
⋅
x
2
8 000
20 000
4 350
26 400
1 400
14 400
2 700
сум. y
⋅
x
2
11 800
257
41
77 250
10 189
347
1 776
454 600
Подставив данные из табл. 3.1 в (3.1) получим систему уравнений:
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
250
77
347
776
1
41
600
454
776
1
189
10
257
800
11
41
257
7
2
1
0
2
1
0
2
1
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
решив которую с помощью пакета MathCAD 2001 Professional получим:
1. Матрица системы
Матрица правой части
A
7
257
41
257
10189
1776
41
1776
347
:=
b
11800
454600
77250
:=
2. Вычисление определеителя
Определеитель отличен от нуля,
система имеет единственное решение
A
5.056 10
4
×
=
3. Вычисление решения системы
Проверка правильности решения
a
A
1
−
b⋅
:=
A a⋅ b
−
0
0
0
=
a
993.741
11.247
47.643
=
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
13
Таким образом уравнение регрессии примет вид:
2
1
64
,
47
25
,
11
74
,
993
x
x
y
+
+
=
2. Проверим значимость полученного уравнения регрессии по крите-
рию Фишера. Расчётный критерий Фишера для нашей выборки равен
7
:
1
)
(
2
2
−
−
⋅
=
m
m
n
F
ост
y
расч
σ
σ
,
(3.2)
где m – число параметров регрессии, в нашем случае m = 2.
Произведём промежуточные расчёты и заполним таблицу 3.2
Таблица 3.2
I
1
2
3
4
5
6
7
ср.
y
1 600
2 000
1 450
2 200
1 400
1 800
1 350
1685,71
y
оц
1 626
1 976
1 418
2 184
1 379
1 847
1 370
x
1
35
45
25
55
30
42
25
36,71
x
2
5
10
3
12
1
8
2
5,86
(y – y
оц
)
2
660
557
1 030
251
446
2 243
411
сумма
(y – y
ср
)
2
7 347
98 776
55 561
264 490
81 633
13 061
112 704
сумма
(x
1
– x
1ср
)
2
3
69
137
334
45
28
137
сумма
(x
2
– x
2ср
)
2
1
17
8
38
24
5
15
сумма
753
5 598
633 571
107
По формулам (1.5) и (1.8) вычислим:
28
,
28
7
5598
)
(
1
1
2
=
=
−
⋅
=
∑
=
N
i
i
ост
y
y
N
σ
85
,
300
7
633571
)
(
1
1
2
=
=
−
⋅
=
∑
=
N
i
i
y
y
y
N
σ
Подставим полученные данные в (3.2) и вычислим расчётный критерий
Фишера:
7
Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – с. 51–54.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
14
86
,
565
1
2
)2
7(
28
,
28
85
,
300
1
)
(
2
2
2
2
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
=
m
m
n
F
ост
y
расч
σ
σ
По таблице распределения Фишера с ν
1
= 1 и ν
2
= 5 найдём критической
значение F
кр
= 6,61. Поскольку F
расч
> F
кр
, то гипотеза H
0
отвергается, т.е. по-
лученное уравнение регрессии статистически значимо.
Рассчитаем среднеквадратичные отклонения.
37
,
10
7
753
)
(
1
1
2
1
1
1
=
=
−
⋅
=
∑
=
N
i
i
x
x
x
N
σ
91
,3
7
107
)
(
1
1
2
2
2
2
=
=
−
⋅
=
∑
=
N
i
i
x
x
x
N
σ
Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых пере-
менных (без учёта их взаимодействия с другими переменными) применяют
парные коэффициенты корреляции. Если известны средние квадратичные от-
клонения анализируемых величин, то парные коэффициенты корреляции
можно рассчитать по следующим формулам
8
:
y
x
yx
y
x
y
x
r
σ
σ
1
1
1
1
−
=
(3.3)
y
x
yx
y
x
y
x
r
σ
σ
2
2
2
2
−
=
(3.4)
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
r
σ
σ
−
=
(3.5)
Предварительно вычислим среднеквадратические отклонения:
2
2
y
y
y
−
=
σ
(3.6)
2
1
2
1
1
x
x
x
−
=
σ
(3.7)
2
2
2
2
2
x
x
x
−
=
σ
(3.8)
Для этого произведём промежуточные расчёты и заполним таблицу 3.3.
8
Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – с. 205
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
15
Таблица 3.3
I
1
2
3
4
5
6
7
ср.
y
1 600
2 000
1 450
2 200
1 400
1 800
1 350
1685,71
y
2
2 560 000 4 000 000 2 102 500 4 840 000 1 960 000 3 240 000 1 822 500 2 932 142,86
x
1
35
45
25
55
30
42
25
36,71
x
1
2
1 225
2 025
625
3 025
900
1 764
625
1455,57
x
2
5
10
3
12
1
8
2
5,86
x
2
2
25
100
9
144
1
64
4
49,57
x
1
y
56 000
90 000
36 250
121 000
42 000
75 600
33 750
64942,86
x
2
y
8 000
20 000
4 350
26 400
1 400
14 400
2 700
11035,71
x
1
x
2
175
450
75
660
30
336
50
253,71
Подставим данные из табл. 3.3 в (3.6) – (3.8) и получим:
85
,
300
1686
143
932
2
2
2
2
=
−
=
−
=
y
y
y
σ
39
,
10
71
,
36
57
,
1455
2
2
1
2
1
1
=
−
=
−
=
x
x
x
σ
90
,3
86
,5
57
,
49
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
=
x
x
x
σ
А теперь по (3.3) – (3.5) рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
979
,0
24
,
299
39
,
10
71
,
1685
71
,
36
86
,
64942
1
1
1
1
=
⋅
⋅
−
=
−
=
y
x
yx
y
x
y
x
r
σ
σ
986
.0
24
,
299
90
,3
71
,
1685
86
,5
71
,
11035
2
2
2
2
=
⋅
⋅
−
=
−
=
y
x
yx
y
x
y
x
r
σ
σ
952
,0
90
,3
39
,
10
86
,5
71
,
36
71
,
253
2
1
2
1
2
1
2
1
=
⋅
⋅
−
=
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
r
σ
σ
В реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны.
Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, ко-
торые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию
при условии, что остальные независимые переменные закреплены на посто-
янном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых
исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного по-
рядка: при исключении влияния одной переменной получаем частный коэф-
фициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух пере-
менных – второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
16
функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэф-
фициенту.
Частный коэффициент корреляции первого порядка между призна-
ками x
1
и y при исключении влияния признака x
2
вычисляется по формуле
9
:
(
) (
)
2
2
)
(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x
yx
x
x
yx
yx
x
yx
r
r
r
r
r
r
−
⋅
−
⋅
−
=
;
(3.9)
аналогично – зависимость y от x
2
при исключении влияния признака x
1
:
(
) (
)
2
2
)
(
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
x
x
yx
x
x
yx
yx
x
yx
r
r
r
r
r
r
−
⋅
−
⋅
−
=
(3.10)
Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении
влияния результативного признака:
(
) (
)
2
2
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
yx
yx
yx
yx
x
x
y
x
x
r
r
r
r
r
r
−
⋅
−
⋅
−
=
(3.11)
Выполним расчёт:
(
) (
)
793
,0
)
952
,0
1(
)
986
,0
1(
952
,0
986
,0
979
,0
1
1
2
2
2
2
)
(
2
1
2
2
1
2
1
2
1
=
−
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
−
=
x
x
yx
x
x
yx
yx
x
yx
r
r
r
r
r
r
(
) (
) (
) (
)
871
,0
952
,0
1
979
,0
1
952
,0
979
,0
986
,0
1
1
2
2
2
2
)
(
2
1
1
2
1
1
2
1
2
=
−
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
−
=
x
x
yx
x
x
yx
yx
x
yx
r
r
r
r
r
r
(
) (
) (
) (
)
405
.0
986
,0
1
979
,0
1
986
,0
979
.0
952
,0
1
1
2
2
2
2
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
−
=
−
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
−
=
yx
yx
yx
yx
x
x
y
x
x
r
r
r
r
r
r
Сравнивая коэффициенты
)
(
2
1
x
yx
r
и
)
(
1
2
x
yx
r
можно сделать вывод, что
влияние стажа (x
2
) на зарплату выше чем влияние возраста (x
1
).
3. Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативны-
ми и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэф-
фициент множественной корреляции. В случае линейной двухфакторной
9
Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – с. 206.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
17
связи (как в нашей задаче) совокупный коэффициент множественной корре-
ляции может быть рассчитан по формуле
10
:
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
x
x
x
x
yx
yx
yx
yx
x
yx
r
r
r
r
r
r
R
−
⋅
⋅
⋅
−
+
=
(3.12)
Совокупный коэффициент множественной корреляции измеряет одно-
временное влияние факторных признаков на результативный. Чем меньше
наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множе-
ственной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а
следовательно значение R ближе к единице.
Выполним расчёт:
995
,0
952
,0
1
952
,0
986
,0
979
,0
2
986
,0
979
,0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
−
⋅
⋅
⋅
−
+
=
−
⋅
⋅
⋅
−
+
=
x
x
x
x
yx
yx
yx
yx
x
yx
r
r
r
r
r
r
R
Совокупный коэффициент множественной детерминации R
2
= 0,99 по-
казывает, что вариация заработной платы на 99 % обуславливается двумя
анализируемыми факторами. Это означает, что выбранные факторы сущест-
венно влияют на заработную плату.
10
Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – с. 207
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
18
Приложения
Приложение 1. Квантили распределения Стьюдента
11
0,75
0,875
0,95
0,975
0,99
0,995
1
1,00
2,41
6,31
12,7
31,82
63,7
2
0,816
1,60
2,92
4,30
6,97
9,92
3
0,765
1,42
2,35
3,18
4,54
5,84
4
0,741
1,34
2,13
2,78
3,75
4,60
5
0,727
1,30
2,01
2,57
3,37
4,03
6
0,718
1,27
1,94
2,45
3,14
3,71
7
0,711
1,25
1,89
2,36
3,00
3,50
8
0,706
1,24
1,86
2,31
2,90
3,36
9
0,703
1,23
1,83
2,26
2,82
3,25
10
0,700
1,22
1,81
2,23
2,76
3,17
11
0,697
1,21
1,80
2,20
2,72
3,11
12
0,695
1,21
1,78
2,18
2,68
3,05
13
0,694
1,20
1,77
2,16
2,65
3,01
14
0,692
1,20
1,76
2,14
2,62
2,98
15
0,691
1,20
1,75
2,13
2,60
2,95
16
0,690
1,19
1,75
2,12
2,58
2,92
17
0,689
1,19
1,74
2,11
2,57
2,90
18
0,688
1,19
1,73
2,10
2,55
2,88
19
0,688
1,19
1,73
2,09
2,54
2,86
20
0,687
1,18
1,73
2,09
2,53
2,85
25
0,684
1,18
1,71
2,06
2,49
2,79
30
0,683
1,17
1,70
2,04
2,46
2,75
40
0,681
1,17
1,68
2,02
2,42
2,70
60
0,679
1,16
1,67
2,00
2,39
2,66
∞
0,674
1,15
1,64
1,96
2,33
2,58
11
Таблица приводится по источнику: Дерффель К. Статистика в аналитической химии. – М.: Мир, 1994.
Ганжа К.И. Контрольная работа по курсу «Эконометрика»
19
Литература
1. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-
ДАНА, 2001. – 464 с.
2. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессивный анализ. Книга 1. – М.:
Финансы и статистика, 1986.
3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный
курс. – М., 1997.
4. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической стати-
стике. – М.: Финансы и статистика, 1982.
5. Новиков А.И. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. –
106 с. – (Серия «Высшее образование»).
6. Носко В.П. Эконометрика для начинающих: основные понятия, элемен-
тарные методы, границы применимости, интерпретация результатов. –
М.: ИЭПП, 2000 – 252 с.
7. Программа регрессионного анализа STATISTICA
http://www.statsoft.ru
8. Степанов А.В. Лекции по математике. (в формате MS-Word и Adobe Ac-
robat)
http://www.limm.mgimo.ru/LIMM/Lections/
9. Цейтлин Н. А. Из опыта аналитического статистика. (в формате Adobe
Acrobat)
http://people.freenet.de/nzarchiv/buecher/
Информация о работе Контрольная работа по "Эконометрика"