Контрольная работа по «Экономико-математическим методам»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

 

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По «Экономико-математическим методам»

 

 

 

Фисай А.А.

студента2-го курса

заочной формы обучения

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2009г

 

Вариант 2.

 

№1.

Исследовать методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений, в случае совместности системы найти общее решение, некоторое частое небазисное решение, все базисные решения, указав при этом опорные решения:

х1+х2-х3+2х4=2

-х1+х2-3х3-х4=1

3х1-х2+5х3+4х4=3.

 

Решение:

 

 

х1			х2			х3		х4			вi
1			1			-1		2			2
-1			1			-3		-1			1
		3			-1				5			4			3
1			1			-1		2			2
0			2			-4		1			3
0			-4			8		-2			-3
	1			0			1
0			1			-2
0			0			0		0			3

 

 

 

+II;∙ (-3)+III

 

 

 

 

 

  ∙ 2+III; :2

 

 

 

Получим эквивалентную систему уравнений

 

 

Последнее уравнение системы не имеет решений, исходная система несовместна, т.е. не имеет решений.

 

№2

 

Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования: min f(x) = -6x1+9x2

 

х1, х2 ≥0.

 

Решение.

 

  (*)

 

х1, х2 ≥0.

 

Построим граничные прямые

 

(1)     х1 0     3

      х2 3     2

 

(2)      х1 0    1

  х2 5    7

 

(3)    х1 0    0

х2 0    2

 

 

Выбираем нужные полуплоскости (смотри (*))

Получим область решений Д.

Построим =(-6;9); - линия уровня, . Параллельным переносом линии уровня определяем точки, в которых функция достигает минимума. Это все точки луча АВ прямой (3).

Задача имеет бесконечное множество решений. При этом значение функции ограничено и для любого X* составляем величину, равную 0.

 

Ответ: (3;2) + (6;4), ; min

 

№3.

 

Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования min f( ) = - 2x1 - 3x2

 

 

Решение.

 

f( ) = - 2x1 - 3x2 + 0х3 + 0х4 +0х5 min

xj 0,     j =

 

i	АБ	СБ	В	-2	-3	0	0	0
				А1	А2	А3	А4	А5

 

1 2 3

А3 А4 А5

0 0 0

15 9 4

3 1 1

3 3 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

5 3min -

 

m+1

0

2

3

0

0

0

 

1 2 3

А3 А2 А5

0 -3 0

6 3 4

2 ⅓ 1

0 1 0

1 0 0

-1 ⅓ 0

0 0 1

3min 9 4

 

	m+1					-9		1		0		0		-1		0
1 2 3		А1 А2 А5		-2 -3 0	3 2 1		1 0 0		0				-		0
m+1					-12		0		0		0		-		-		0

 

Все полученные оценки не положительны. План оптимален.

 

X* = (х1 = 3; х2 = 2)

f min = f (X*) = -2 ∙ 3 – 3 ∙ 2 = -12,

f min = -12.

 

Ответ: X* = (х1 = 3; х2 = 2);

f min = f (X*) = -12.

 

№4.

 

Решить следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В – вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):

 

А = (300; 350; 160; 200), С = ;

В = (400; 400; 200),

 

Решение

 

н1=0    н2=1    н3=-1

вj aj	400	400	200
300	4	300 1	2
350	50  3	100 4	200 2
150	150 1	3	1
200	200 1	4	3

 

u1 = 0

u2 = 3

u3 = 1

u4 = 1

 

 

Опорное решение получили по правилу «минимальных издержек». Занятых клеток должно быть m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6.

Определим потенциалы:

 

u1 + н2 = 1;   u2 + н1 = 3;   u2 + н2 = 4;   u2 + н3 = 2;

u3 + н1 = 1;   u4 + н1 = 1.

 

Пусть u1 = 0, тогда   u2 = 3;   u1 = 0;   u3 = -1;   u3 = 1;   u4 = 1.

Оценки свободных клеток

 

Ѕ11=4-(0+0)>0;  Ѕ13=2-(0-1)>0; Ѕ32=3-(1+1)>0;

Ѕ33=1-(1-1)>0;  Ѕ42=4-(1+1)>0;  Ѕ43=3-(1-1)>0.

 

План оптимален, т.к. все оценки положительны. Получим план перевозок

 

X* = ;

 

минимальная стоимость Z min = Z (X*) = 300∙1 + 50∙3 + 100∙4 + ∙200∙2 +  + 150∙1 + 200∙1 =∙1600.

 

№5.

Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице:

 

Тип ресурса	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции				Наличие ресурсов
	1	2	3	4
Сырье Рабочее время Оборудование Прибыль на единицу продукции	3 22 10   30	5 14 14   25	2 18 8   8	4 30 16   16	60 400 128

 

Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли и найти оптимальный план выпуска продукции.

 

Решение.

Обозначим через х1, х2, х3, х4 объем выпуска каждого из четырех видов продукции. Модель задачи примет вид: max Z = 30х1 + 25х2 + 8х3 + 16х4

 

хj 0   (j = ).

 

Перейдем к задаче в каноническом виде:

хj 0   (j = ).

 

i		АБ		СБ	В		30		25		8		16		0		0		0
							А1		А2		А3		А4		А5		А6		А7
1 2 3		А5 А6 А7		0 0 0	60 400 128		3 22 10		5 14 14		2 18 8		4 30 16		1 0 0		0 1 0		0 0 1		20 12,8
	m+1					0		-30		-25		-8		-16		0		0		0

 

 

 

 

min 

Z (X) = 30х1 + 25х2 + 8х3 + 16х4 + 0х5 +0х6 +0х7 max

 

i		АБ		СБ	В		30		25		8		16		0		0		0
							А1		А2		А3		А4		А5		А6		А7
1 2 3		А5 А6 А7		0 0 30	21,6 118,4 12,8		0 0 1		0,8 -16,8 1,4		-0,4 0,4 0,8		-0,8 -5,2 1,6		1 0 0		0 1 0		-0,3 -2,2 0,1
	m+1					384		0		17		16		32		0		0		3

 

Теперь все оценки не отрицательны. План оптимален.

Получили оптимальный план выпуска продукции X* = (12,8;  0;  0;  0). При этом максимальная прибыль составит

 

max Z = Z(X*) = 30∙12,8 + 25∙0 + 8∙0 + 16∙0 = 384.

 

Ответ: Следует выпускать только продукцию первого вида в количестве 12,8 ед. Максимальная прибыль составит 384 ден. ед.