Контрольная работа по дисциплине "Математическое моделирование"

1. Контрольный вопрос. Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и управлении строительством: задачи распределения, задачи замены.

Роль технико-экономических расчетов для анализа и прогнозирования деятельности, планирования и управления строительными системами значительна, причем узловыми среди них являются вопросы выбора оптимальных решений. При этом решение представляет собой выбор параметров, характеризующих организацию определенного мероприятия, причем этот выбор почти полностью зависит от лица, принимающего решение.

Решения могут быть удачными или неудачными, обоснованными и неразумными. Практику, как правило, интересуют решения оптимальные, т.е. такие, которые являются по тем или иным причинам предпочтительнее, лучше, чем другие.

Выбор оптимальных решений особенно в сложных вероятностных динамических системах, к которым относятся строительные системы, немыслим без широкого применения математических методов решения экстремальных задач и средств вычислительной техники.

Сооружение любого строительного объекта происходит путем выполнения в определенной последовательности большого количества разноплановых работ.

Для выполнения любого вида работ требуется определенный набор материалов, машин, средств малой механизации, людских ресурсов, организационного обеспечения и т.д. и т.п. Причем зачастую количество и качество выделяемых ресурсов определяет длительность выполнения этих работ.

Распределяя правильно (или, как принято говорить, "оптимально") ресурсы, можно влиять на качество, сроки, стоимость строительства, производительность труда.

Далее приводится систематизация основных организационных задач, возникающих в практической деятельности инженеров-строителей.

Задачи распределения.

Задачи распределения в общем случае возникают тогда, когда существует ряд работ, подлежащих выполнению, и требуется выбрать наиболее эффективное распределение ресурсов и работ. Задачи этого типа можно разделить на три основных группы.

Задачи распределения первой группы характеризуются следующими условиями.

1. Существует ряд операций, которые должны быть выполнены.
2. Имеется достаточное количество ресурсов для выполнения всех операций.
3. Некоторые операции можно выполнять различными способами, с использованием различных ресурсов, их комбинаций, количества.
4. Некоторые способы выполнения операций лучше других (более дешевые, более прибыльные, требующие меньше затрат времени и т.д.).
5. Тем не менее, имеющееся количество ресурсов недостаточно для выполнения каждой операции оптимальным способом.

Задача заключается в том, чтобы найти такое распределение ресурсов по операциям, при котором достигается максимальная общая эффективность системы. Например, могут минимизироваться суммарные затраты или максимизироваться общая прибыль.

Вторая группа задач возникает, когда наличных ресурсов не хватает для выполнения всех возможных операций. В этих случаях приходится выбирать операции, которые должны быть выполнены, а также определять способ их выполнения.

Задачи третьей группы возникают тогда, когда имеется возможность регулировать количество ресурсов, те. определять, какие ресурсы следует добавить, а от каких целесообразно отказаться.

Большинство задач такого рода решается в целях оптимизации строительных и технологических процессов. Основное средство их анализа - модели математического программирования, сетевые графики.

Задачи замены.

Задачи замены связаны с прогнозированием замены оборудования в связи с их физическим или моральным износом.

Различают два типа задач замены. В задачах первого типа рассматриваются объекты, некоторые характеристики которых ухудшаются в процессе их эксплуатации, но сами они полностью выходят из строя через довольно продолжительное время, выполнив значительный объем работы.

Чем дольше эксплуатируется подобного рода объект без профилактики или капитального ремонта, тем менее эффективной становится его работа, повышается стоимость единицы продукции.

Для поддержания эффективности работы такого объекта необходимо его обслуживание, ремонт, что сопряжено с определенными затратами. Чем дольше он эксплуатируется, тем выше затраты на поддержание его в работоспособном состоянии. С другой стороны, если часто заменять такие объекты, то возрастает объем капиталовложений. Задача сводится, в этом случае, к определению порядка и сроков замены, при которых достигается минимум общих эксплуатационных затрат и капиталовложений.

Наиболее общим методом решения задач такого типа является динамическое программирование.

Объектами рассматриваемой группы являются строительно-дорожная техника, оборудование, транспортные средства и т.п.

Второй тип объектов характеризуется тем, что они полностью выходят из строя внезапно или через определенный отрезок времени. В этой ситуации задача сводится к определению целесообразных сроков индивидуальной или групповой замены, а также частоты этой операции, при этом стремятся выработать стратегию замены, которая обеспечивает сведение к минимуму затрат, включающих стоимость элементов, потери от отказов и расходы на замену.

К объектам второго типа относятся детали, узлы, агрегаты строительно-дорожной техники, оборудования. Для решения задач второго типа используются вероятностные методы и статистическое моделирование.

Частным случаем задач замены являются задачи эксплуатации и ремонта.

 

2. Задача

Задача 7

Планируется покупка книг для семейной библиотеки. Муж читает только классическую прозу и фантастику, жена – стихи (классику), старший сын – фантастику, а младшему сыну собираются покупать энциклопедии. Муж хочет, чтобы из купленных книг не менее 10 были для него, причём и муж и жена рассчитывают от 2 до 7 книг для чтения каждый. Жена надеется, что и классическая проза ей тоже будет интересна, поэтому она согласна купить поэзии не более того количества, в котором будет куплена прозаическая классика. Также договорились, что книг, которые собираются читать муж и старший сын, будет ровно половина от общего числа купленных книг. Всего собираются купить не более 30 книг. Стоимость книг (в среднем):

• классическая проза – 30 руб. и стихи – 20 руб.;
• фантастика – 15 руб.;
• энциклопедии – по 70 руб.

Сколько и каких книг нужно купить, чтобы с минимальными расходами удовлетворить пожелания всех членов семьи?

 

1. Постановка задачи
2. Формирование экономико-математической модели;
3. Запись модели в стандартной форме;
4. Поиск опорного решения;
5. Нахождение оптимального решения;
6. Анализ результатов решения;
7. Подготовка задачи к решению на ЭВМ;
8. Получение решения на ЭВМ;
9. Сравнение решения на ЭВМ с результатом ручного счёта.

 

 

 

Постановка задачи

В соответствии с заданием в качестве целевой функции принимается минимизация расходов на покупку книг для семейной библиотеки.

Поставленная цель должна быть достигнута при соблюдении заданных условий решения задачи, которые должна содержать математическая модель.

Для формализации и решения задачи располагаем следующими исходными данными и искомыми результатами:

 – количество искомых переменных  задачи;

 – порядковые номера искомых  переменных;

, – искомые объёмы (количества) покупки книг -го вида, шт.

 

Формирование экономико-математической модели

Обозначения переменных (количество книг, шт.):

 – классическая проза;

 – стихи (поэзия);

 – фантастика;

 – энциклопедии.

 

Запишем экономико-математическую модель задачи.

Целевая функция:

 (1)

Ограничения:

 (2)

, или   (3)

, или   (4)

 (5)

 (6)

 (7)

 (8)

 (9)

 (10)

 (11)

,  (12)

 

Физический смысл модели:

1. – целевая функция, имеющая следующее содержание: расходы на покупку книг для семейной библиотеки должны быть минимальными;
2. – предпочтения мужа: не менее 10 книг должны составлять классическая проза и фантастика;
3. – предпочтения жены: поэзии должно быть не больше, чем прозаической классики;
4. – классической прозы и фантастики должно быть ровно половина от общего числа покупаемых книг;
5. – всего планируется покупка не более 30 книг;
6. – классической прозы должно быть не менее 2 книг;
7. – классической прозы должно быть не более 7 книг;
8. – поэзии должно быть не менее 2 книг;
9. – поэзии должно быть не более 7 книг;
10. – фантастики должно быть не менее 2 книг;
11. – фантастики должно быть не более 2 книг;
12. – искомые количества закупаемых книг не должны быть отрицательными.

 

Запись модели в стандартной форме

Преобразуем ограничения модели типа « » в « » умножением левой и правой частей ограничений на величину –1.

Равенство можно заменить двумя неравенствами вида « » в « », т. е.

можно заменить системой неравенств:

.

Запишем полученную математическую модель.

Целевая функция:

Ограничения:

, .

 

Добавим в неравенства дополнительные переменные , .

Получена стандартная форма записи модели.

 

Целевая функция:

Ограничения:

, ,  , .

 

Стандартная форма симплекс-метода представлена в таблице 1.

 

Поиск опорного решения

Поиск опорного решения представлен в таблицах 1–5.

 

Таблица 1

Стандартная таблица симплекс-метода на первой итерации  
поиска опорного решения

		Свободный член
		0	–30	–20	–15	–70
		150	15	0	–15	0
		–10	–1	0	–1	0
		10	1	0	–1	0
		0	–1	1	0	0
		0	0	0	0	0
		0	–1	1	–1	1
		10	1	0	–1	0
		0	1	–1	1	–1
		–10	–1	0	1	0
		30	1	1	1	1
		–10	–1	0	1	0
		–2	–1	0	0	0
		0	0	0	0	0
		7	1	0	0	0
		0	0	0	0	0
		–2	0	–1	0	0
		0	0	0	0	0
		7	0	1	0	0
		0	0	0	0	0
		–2	0	0	–1	0
		10	1	0	–1	0
		7	0	0	1	0
		–10	–1	0	1	0