Математическое представление информационных процессов управления на предприятии

 

3.2 Задачи оптимальное распределение инвестиций и выбор оптимального маршрута перевозки грузов

 

Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых, в зависимости от количества вложенных средств хi, определяется матрицей (nхn), приведенной в табл. 6.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 6.1

x             gi	g1	g2	…	gi	…	gn
x1	g1(x1)	g2(x1)		gi(x1)		gn(x1)
x2	g1(x2)	g2(x2)		gi(x2)		gn(x2)
xi	g1(xi)	g2(xi)		gi(xi)		gn(xi)
xn	g1(xn)	g2(xn)		gi(xn)		gn(xn)

Запишем математическую модель задачи.

Определить X* = (х*1, х*2, …, х*k, …, х*n), удовлетворяющий условиям

и обеспечивающий максимум целевой функции

Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов. [3, с. 59].

С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по (k–1)-е тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма Сk £ В. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину хk средств, вкладываемых в k-e предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Сk средств. Очевидно, что при вложении в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го останется Сk+1 = (Сk – хk) средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств Сn, 0 £ Сn £ В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т. е. Fn(Сn) = gn(Сn) и хn = Сn.

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м шаге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось Сk средств (0 £ Сk £ В). Тогда от вложения в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(Ck), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е) останется Сk+1 = (Сk – хk) средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:

, k = 1, …, n    (6.4)

Максимум выражения (6.4) достигается на некотором значении х*k, которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы Sk. Действуя таким образом, можно определить функции Беллмана и оптимальные управления до шага k = 1.

Значение функции Беллмана F1(c1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х*1, на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина Сk = (Сk-1 – хk-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение хk, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk.

Выбор оптимального маршрута перевозки грузов

Математический аппарат ДП, основанный на методологии пошаговой оптимизации, может быть использован при нахождении кратчайших расстояний, например, на географической карте, представленной в виде сети. Решение задачи по определению кратчайших расстояний между пунктами отправления и пунктами получения продукции по существующей транспортной сети является исходным этапом при решении таких экономических задач, как оптимальное прикрепление потребителей за поставщиками, повышение производительности транспорта за счет сокращения непроизводительного пробега и др.

Пусть транспортная сеть состоит из 10 узлов, часть из которых соединены магистралями. На рис. 6.2 показаны сеть дорог и стоимости перевозки единицы груза между отдельными пунктами сети, которые проставлены у соответствующих ребер. Необходимо определить маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, обеспечивающий наименьшие транспортные расходы.

Рис. 6.2. Модель транспортной сети

В задаче имеется ограничение – двигаться по изображенным на схеме маршрутам можно только слева на право, т. е. попав, например, в пункт 8, мы имеем право переместиться только в пункт 10 и не можем возвратиться обратно в 5-й или 6-й. Эта особенность транспортной сети дает право отнести каждый из десяти пунктов к одному из поясов. Будем считать, что пункт принадлежит k-му поясу, если из него попасть в конечный пункт ровно за k шагов, т. е. с заездом ровно в (k – 1)-й промежуточный пункт. Таким образом, пункты 7, 8 и 9 принадлежат к первому поясу, 5 и 6 – ко второму, 2, 3 и 4 – к третьему и 1 – к четвертому. Тогда на k-м шаге будем находить оптимальные маршруты перевозки груза из пунктов k-го пояса до конечного пункта. Оптимизацию будем производить с конца процесса, и потому, дойдя до k-го шага, неизвестно, в каком из пунктов k-го пояса окажется груз, перевозимый из первого пункта.

Введем обозначения:

k – номер шага (k = 1, 2, 3, 4);

i – пункт, из которого осуществляются перевозки (i = 1, 2, ..., 9);

j – пункт, в который доставляется груз (j = 2, 3 , .., 10);

сi,j – стоимость перевозки груза из пункта i в пункт j.

Fk(i) – минимальные затраты на перевозку груза на k-м шаге решения задачи из пункта i до конечного пункта.

Очевидно, что минимум затрат на перевозку груза из пунктов k-го пояса до пункта 10 будет зависеть от того, в каком пункте этого пояса мы оказались. Номер i пункта, принадлежащего k-му поясу, будет являться переменной состояния системы на k-м шаге. Поскольку оптимизация осуществляется с конца процесса, то, находясь в некотором пункте i k-го пояса, принимается решение о перемещении груза в один из пунктов (k – 1)-го пояса, а направление дальнейшего движения известно из предыдущих шагов. Номер j пункта (k – 1)-го пояса будет переменной управления на k-м шаге. [17, с. 54].

Для первого шага управления (k = 1) функция Беллмана представляет собой минимальные затраты на перевозку груза из пунктов 1-го пояса в конечный пункт, т. е. F1(i) = Сi,10. Для последующих шагов затраты складываются из двух слагаемых – стоимости перевозки груза Сi,j из пункта i k-го пояса в пункт у (k – 1)-го пояса и минимально возможных затрат на перевозку из пункта j до конечного пункта, т. е. Fk-1(j). Таким образом, функциональное уравнение Беллмана будет иметь вид:

                                (6.8)

Минимум затрат достигается на некотором значении j*, которое является оптимальным направлением движения из пункта i в конечный пункт.

На четвертом шаге попадаем на 4-й пояс и состояние системы становится определенным i = 1. Функция F4(l) представляет собой минимально возможные затраты по перемещению груза из 1-го пункта в 10-й. Оптимальный маршрут определяется в результате анализа всех шагов в обратном порядке, а выбор некоторого управления у на k-м шаге приводит к тому, что состояние системы на (k – 1)-м шаге становится определенным.

Таким образом, мы рассмотрели некоторые типичные случаи применения математических методов для решения круга задач присущих любому предприятию. Применение математического моделирования позволяет грамотно распределять ресурсы предприятия, выбирать оптимальные пути при решении разного рода проблем. Позволяет просчитать риски , прибыль при выборе варианта развития ситуации что в конечном итоге позволяет предприятию продумывать свою политику, искать наилучшие пути развития, сохранять стабильность.

 

Заключение

 

Для управленческой деятельности, особенно в процессе принятия решений, наиболее полезны модели, которые выражаются словами или формулами, алгоритмами и иными математическими средствами. Математические методы управления можно разделить на несколько групп:

• методы оптимизации;
• методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические;
• методы построения и анализа имитационных моделей;
• методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр);

Математическое моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования:

1. От исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи;

2. Внутриматематическое изучение и решение этой задачи;

3. Переход от математических выводов обратно к практической проблеме.

 

Список использованных источников

 

1. Спицнадель В.Н. Основы системного анализа: Учеб. пособие. М.: Бизнес-пресса, 2000.
2. Сурмин Ю.П. Теория систем и системный анализ: Учеб. пособие. / Межрегиональная академия управления персоналом. Киев, 2003.
3. Анфилатов B.C. и др. Системный анализ в управлении: Учебное пособие/ Под ред. А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2002.
4. Ван Гиг Дж. Прикладная теория систем: в 2 кн. М.: Мир, 1981.
5. Введение в системный анализ: Учеб. пособие для студ. агроном. спец. / А.М. Гатаулин; Московская с.-х. академия им. К.А. Тимирязева. М.: МСХА, 2005.
6. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 2006.
7. Гатаулин А.М. Система прикладных статистико-математических методов обработки экспериментальных данных. М., Изд-во МСХА, 2002.
8. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В. и др. Математическое моделирование экономических процессов . М. , 2000.
9. Исаев В.В. Общая теория систем: Учеб. пособие. СПб.: СПбГИЭУ, 2001.
10. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. М.: Мир, 2001.
11. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М., 2008.
12. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1999.
13. Применение искусственного интеллекта в информационных технологиях : учеб. пособие для студентов экон. специальностей / Н.М. Светлов, Г.Н. Светлова. М. : Изд-во МСХА, 2004.
14. Светлов Н.М. Альбом наглядных пособий по теории систем и системному анализу: Учеб. пособие для студ. бакалавриата по направлениям «Прикладная информатика в экономике» и «Математические методы в экономике». М.: Изд-во РГАУ-МСХА им. К.А. Тимирязева, 2008.
15. 1. Вершигора, Е. Е. Менеджмент: учебное пособие / Е.Е. Вершигора. – М.: ИНФРА-М, 2006. - 364 с.
16. 2. Виханский, О.С., Наумов, А.И. Менеджмент: учебник / О.С. Виханский, А.И. Наумов. - М.: Гардарики, 2007. – 267 с.
17. 3. Глухов, В.В. Менеджмент: учебник / В.В. Глухов. - СПб.: Издательство «Лано», 2006. – 284 с.
18. 4. Егоршин, А.П. Управление персоналом / А.П. Егоршин - Н. Новгород: НИБМ, 2008. – 294 с.
19. 5. Зуб, А.Т. Лидерство в менеджменте / А. Т. Зуб, С. Г. Смирнов. - М.: Принт-Ателье, 2009. - 216 с.
20. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика). – М.: Изд-во Российского университета дружбы народов, 1999.
21. Большаков А.С. Моделирование в менеджменте. Учебное пособие. - М.: Филинъ, 2000.
22. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б., Математические методы и модели для менеджмента. 2-е изд., испр. и доп.-СПб.: «Лань», 2005.
23. Замков О.О.,  Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. Под общей ред. Сидоровича А.В. 2-ое издание. – М.: Дело и сервис, 1999.
24. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь 4-е издание – М.: Наука, 2006.