Моделі парної регресії та їх дослідження

1. Моделі парної  регресії та їх дослідження.

2. Метод найменших  квадратів 

 

1. Моделі парної  регресії та їх дослідження.

Приклади парних зв‘язків в економіці.

Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих i стабільних зв’язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено залежності споживання від рівня доходу, попиту - від цін на товари, залежність між процентною ставкою та інвестиціями, обмінним курсом валюти та обсягом чистого експорту, мiж рiвнями безробiття та iнфляції, залежнiсть обсягу виробництва вiд окремих факторів (розмiру основних фондiв, їх віку, пiдготовки персоналу тощо); залежнiсть мiж продуктивнiстю працi та piвнем механiзації, а також 6агато iнших залежностей.           

 Зде6iльшого залежність  між показниками можна відобразити за допомогою лінійних співвідношень.

Наприклад, для  моделювання залежності індивідуального  споживання С від наявного прибутку У Кейнс запропонував лінійне рівняння 

де с_о - величина автономного споживання; b - гранична схильнiсть до споживання (0<b£1).

Однак припущення щодо лiнiйної залежностi мiж певними  показниками економiчного явища чи процесу може не пiдтверджуватися даними спостережень цих показникiв. І це природно, оскiльки в деяких випадках залежність є суттєво нелiнiйною. Наприклад, залежність між рівнем безробіття х i рівнем інфляції у відображається так званою кривою Фiлiпса:

де а > 0, b > 0 - параметри моделi, а змiннi х i у вимiрюються у процентах.

При незмінний  річний дисконтній (обліковій) ставці r i початковому внеску а через х років у банку наявна сума грошей обчислюватиметься за формулою

де а, у - параметри моделі.

При маркетингових i ринкових дослiдженнях, при дослiдженнi збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву  Гомперця:

де параметри а та с можуть набувати будь-яких значень, а b перебуває: в таких межах: 0 < b < 1.

Зв'язок мiж обсягом  виробленої продукцiї у та основними виробничими ресурсами, а саме обсягом витраченого капiталу С i обсягом витрат працi L, також має нелiнiйний характер:

а, b, с, d - числовi параметри; с, d > 0, а, b³ 0.

Нелiнiйнi зв'язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду  або апроксимують (наближують) лiнiними функцiями.

Отже, модель лiнійної perpeciї (лiнiйне рiвняння) є найпоширенiшим (i найпростiшим) видом залежностi мiж економiними змiнними. Kpiм того, побудоване лiнiйне рiвняння може слугувати початковою точкою в разi складних (суттєво нелiнiйних) залежностей.

У загальному випадку nарна лінійна регресія є лінійною функцією мiж залежною змінною У i однiєю пояснюючою змінною Х:

Це спiввiдношення називається теоретичною лінійною регресiйною моделлю а₀ i а₁ - теоретичні параметри (теоретичні коефіцієнти) peгpeciї.

Зазначимо, що принциповою  в цьому разі є лiнiйнicть за параметрами  а₀ i а₁ .

Щоб визначити значення теоретичних  коефiцiєнтiв регресії, необхідно  знати й використовувати вci значення змінних Х i У генеральної сукупності, що практично неможливо. Тому за вибiркою обмеженого обсягу будують так зване емпіричне рівняння peгpecii, у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефiцiєнтiв регресії:

де  —оцінки невідомих параметрів а₁ i а₀ .

Рис.2

Через розбіжність  статистичної бази для генеральної  сукупності та вибірки оцінки практично завжди відрізняються від дійсних значень коефiцiєнтiв а₁ i а_{0 ,} що призводить до розбіжності емпіричної та теоретичної ліній регресії.

Рiзнi вибiрки  з однiєї й тієї самої генеральної сукупнoстi звичайно зумовлюють рiзнi оцiнки.

Можливе спiввiдношення мiж теоретичним i емпiричним рiвняннями регресії схематично зображено на рис. 2.

Задачі лінійного  регресiйного аналізу полягають  у тому, щоб за наявними  статистичними даними для змiнних Х i У:

а) отримати найкращі оцінки невідомих параметрів а₁ i а_{0 ;}

б) перевірити статистичні  гіпотези про параметри моделі;

в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зi статистичними даними (адекватність моделі даним спостережень).

Для відображення того факту, що кожне індивідуальне  значення y_i  відхиляється від відповідного умовного математичного  сподівання, у модель уводять випадковий доданок u_i:

Отже, iндивiдуальнi значення y_i; подають у вигляді суми двох компонент - систематичної (а_о+а₁х_i;) i випадкової (и_i).

Таким чином, регресiйне  рівняння набуває вигляду

Завдання полягає  в тому, щоб за конкретною вибiркою  знайти такі значення оцiнок невiдомих пapaметрів а₁ i а₀, щоб побудована лiнiя регресiї була найкращою в певному розумiнні серед ycix iнших прямих. Іншими словами, побудована пряма має бути "найближчою" до точок спостережень за ix сукупнiстю.

Мiрою якостi знайдених оцiнок можуть бути визначені  композиції вiдхилень . Наприклад, коефіцієнти а₁ i а₀ рiвняння регресії можуть бути оцінені за умови мiнiмiзації однієї з таких сум:

1).

2).

3). .

Однак перша  сума не може бути мірою якостi знайдених  оцінок через те, що існує безліч прямих (зокрема, ), для яких .        

Метод визначення оцінок коефiцiєнтiв за умови мiнiмiзацiї  другої суми називається методом найменших модулів (МНМ).

Найпоширенішим i теоретично обґрунтованим є метод  визначення коефiцiєнтiв, при якому  мiнiмiзується третя сума. Biн дістав назву методу найменших квадратів (МНК).

Останнiй метод  оцiнювання параметрiв найпростiший  з обчислювальної точки зору. Kpiм того, оцiнки коефiцiєнтiв регресії, знайденi за МНК при визначених передумовах, мають ряд оптимальних властивостей (незмiщенiсть, ефективнiсть, обгрунтовaнicть).

Серед iнших. методiв  визначення оцiнок коефiцiєнтiв регресії виокремимо метод моментiв (ММ) i метод максимальної правдоподiбностi (ММП). 

 

 

 

2. Метод найменших квадратів

Нехай проводиться  експеримент по дослiдженню залежностi однiєї величини у вiд iншої величини х (наприклад, залежностi роздрібного товарообігу від доходів населення; продуктивності праці від вартості капітальних активів i т. і.).

Припускається, що величини х i у пов`язанi деякою функцiональною залежнiстю y = f(x) i необхiдно визначити її вигляд експериментально.

Проведемо серiю  з n експериментiв, в результатi яких для кожного фiксованого значення x_i, i=1,2,...,n, визначається (вимiрюється приладом) значення величини y. Детермiнована залежнiсть y=f(x) має вигляд:  

 

x1	x2	x3	. . .	xn-1	xn
y1	y2	y3	. . .	yn-1	yn

 

 

Якби значення y_i, i=1,2,...,n було істинним (справжнiм) значенням функції y = f(x) при х = x_i, то ця схема була б табличним значенням функцiї. Але справа в тому, що величини y_i, отриманi в результатi іспиту, несуть в собi деякий елемент випадковостi, що визначається похибками при повтореннi іспиту, похибками, обумовленими неможливiстю абсолютно точно повторити умови іспиту i т.і.

Нехай за цією вибіркою треба визначити оцінки  емпіричного рівняння регресії, тобто підібрати такі значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною (Рис.3).

 

Рис.3

Тоді 

Необхідною  умовою існування мінімуму неперервно диференційованої функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних. Так як

то маємо

Звідки маємо

Якщо у цій  системі  ліву і праву частини поділити на n, то одержимо:

Позначимо: ,  ,

, , тоді одержимо

, звідки маємо

Неважко помітити, що можна обчислити за формулою: 

 

, де 

—вибірковий кореляційний момент випадкових величин X і Y;

—вибіркова дисперсія X ;

—стандартне відхилення X.

Тоді 

, отже коефіцієнт регресії  пропорційний коефіцієнту кореляції, а коефіцієнт пропорційності використовують для зіставлення різних величин X і Y.

—вибірковий коефіцієнт кореляції; —стандартне відхилення Y.

Отже  .

Якщо окрім  рівняння регресії Yна X ( ) для тих самих емпіричних даних знайдено рівняння регресії X на Y ( ), то добуток коефіцієнтів  дорівнює:

Коефіцієнти обчислюються за формулами:

Приклад. Зробити аналіз залежності обсягу споживання Y (у.о.) домогосподарства від наявного прибутку Х (у.о.) за вибіркою обсягом n=12, результати якої наведено у таблиці. Визначити вид залежності, оцінити параметри рівняння регресії, оцінити силу лінійної залежності між Х та Y, а також спрогнозувати споживання  прибутку Х=160

Побудуємо кореляційне  поле:

За розміщенням точок  на кореляційному полі припускаємо, що залежність між Х та Y лінійна: .

Знайдемо оцінки невідомих  параметрів моделі:

Отже рівняння парної лінійної регресії: . За наведеним рівнянням розрахуємо , а також .

Для аналізу сили лінійної залежності обчислимо коефіцієнт кореляції:

Отримане значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити висновок про сильну (пряму) лінійну залежність між Х та Y .

Прогнозоване споживання при доступному доході Х=160 за допомогою  моделі становить  .

Коефіцієнт  показує на яку величину зміниться обсяг споживання. Якщо доступний дохід збільшиться на одиницю. Він також визначає тангенс кута нахилу прямої регресії відносно додатного напрямку осі абсцис. Вільний член визначає прогнозоване значення Y при величині наявного прибутку Х, що дорівнює нулю.