Основные виды производственных функций. Линейная функция, функция Кобба-Дугласа и Солоу. Кусочно-линейная функция. Теорема Эйлера

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФГБОУ ВПО «УдГУ»

 

 

РЕФЕРАТ

 

По экономико-математическим методам  и моделям

 

по теме: «Основные виды производственных функций. Линейная функция, функция Кобба-Дугласа и Солоу. Кусочно-линейная функция. Теорема Эйлера»

 

 

 

 

Выполнил:

студент  гр.608-31

А.Н.Перевощикова

 

Проверил:

к.э.н.,доцент

А.Ф.Гольман

 

 

 

Ижевск,2012

Содержание

Введение

1. Понятие производственной функции
2. Содержание производственной функции
3. Основные виды производственных функций
1. Производственная функция Кобба-Дугласа
2. Функция Леонтьева
3. Линейная производственная функция
4. Модель Солоу
5. Кусочно-линейная функция
6. Теорема Эйлера

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Рассмотрим такие свойства производственной деятельности предприятия  в целом, которые необходимо отражать в математических моделях производства.

Эти свойства  выявлены в  результате многочисленных эмпирических исследований экономики в рыночных условиях. Для изготовления продукции  требуются производственные ресурсы. В процессе производства можно установить зависимость выпуска продукции от необходимых для этого ресурсов. Выпуск продукции может быть измерен в натуральных или денежных единицах (объем реализации, доход). Продукцию продают на товарном рынке. Объем выпускаемой продукции зависит от количества ресурсов, востребованных для производства. Ресурсы производства также могут быть измерены либо в натуральных, либо  в денежных единицах.

Ресурсы покупают на рынках факторов производства, а объемы использования  ресурсов зависят от меняющейся на каждый из них цены. В рыночных условиях происходит динамичное изменение цен  на продукцию и на ресурсы производства.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие производственной функции

Математическая модель в  виде формулы зависимости выпуска  продукции (дохода) от вектора затрачиваемых  или используемых в производстве ресурсов (затрат на их покупку) получила название производственной функции (ПФ).

Применяемое для выпуска  продукции количество ресурсов или  их оплата являются факторами производства. Конкретная формула и параметры  этой модели определяются типом производства, существующим уровнем технологий и  управления, техническими и экономическими знаниями персонала, умением предпринимателей организовать бизнес и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Содержание производственной функции

Сформулируем  свойства реального  производства, которые должны быть отражены в производственной функции.

Предприниматели заинтересованы в максимальном эффекте от использования ресурсов. Неэффективное использование ресурсов предприниматели и менеджеры предприятия, как правило, не допускают. Поэтому ПФ отражает зависимость  максимально возможного выпуска продукции от ресурсов, введенных в производство.  Это  закон эффективного ведения хозяйства. В  микроэкономической теории принято считать, что ПФ определены принципиальные границы максимально возможного выпуска продукции.  В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно, при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – это статистически устойчивая связь между затратами и выпуском.

ПФ должна отражать зависимость  выпуска продукции от использования  ресурсов при наиболее эффективном  их применении. Отсюда следует, что  она должна быть  однозначной  детерминированной функцией (не случайной) выпуска продукции от факторов производства. Сам факт зависимости выпуска продукции y от факторов производства  x формализуют в виде формулы

y = f(x),

где x =col{x1,  …, xn}, xi – количество  или стоимость используемых ресурсов производства i-го вида, i = 1, 2, ..., n,  n – число ресурсов.

При отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е. выпуск отсутствует. Увеличение количества любого ресурса не может приводить  к снижению объема выпуска продукции.

Увеличение масштабов  производства путем дополнительного  привлечения всех ресурсов может  происходить с различной степенью эффективности. При увеличении масштаба производства отдача ресурсов у одних  предприятий может увеличиваться, у других  – сокращаться, у  третьих  – оставаться без изменения.

ПФ  связывает выпуск продукции  с использованием  взаимозаменяемых ресурсов. При фиксированном объеме выпуска продукции характер замещения  одного ресурса другими имеет  свои особенности, он зависит от типа моделируемого производства.

Одновременно с замещением ресурсов может происходить изменение  выпуска продукции. Поэтому конкретная формула ПФ должна правильно отражать специфику  увеличения выпуска и  замещения ресурсов для каждого  типа производства.

Факторами воздействия на производство являются только такие  ресурсы, которые необходимо оплачивать. Фактор времени при этом в ПФ в  явном виде отсутствует. Однако он очень  важен, так как при помощи применяемых  в настоящее время технологий за год можно выпустить одно количество продукции, а после введения новых  технологий и организации производства при тех же затратах на оплату ресурсов можно произвести значительно больше продукции.

Поэтому различают ПФ, которые  отражают производство  в краткосрочном  или  в долгосрочном периоде. В  краткосрочном периоде возможно замещение только особо «подвижных»  ресурсов. К числу наиболее динамичных ресурсов можно отнести различные  виды сырья и материалов. В долгосрочном периоде может происходить обновление всех ресурсов, в том числе замена технологических способов производства под воздействием научно-технического прогресса (НТП).  Как правило, изменение  технологических способов связано  с реконструкцией предприятия и  требует значительного времени. При этом ярко проявляется тенденция замещения трудовых ресурсов более производительным оборудованием, живого труда овеществленным.

ПФ могут иметь разные  области использования. Принцип  «затраты  –выпуск» может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическомуровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ  у =  f(x) может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого вектора ресурсов x =  col{x1, … ,xn} в течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую  ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее хозяйственная система региона или страны)  – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую  ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

 

 

 

 

3. Основные виды производственных функций

Основные виды производственных функций:

1. Неоклассическая производственная функция (ПФ Кобба-Дугласа);
2. Производственная функция “затраты-выпуск” (функция Леонтьева);
3. Линейная производственная функция.

Рассмотрим их подробнее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. Производственная функция Кобба-Дугласа

Предприятие может  производить  некоторый набор видов продукции.  Однако ПФ отражает зависимость выпуска  в целом от факторов производства, как правило, по их укрупненным группам. Примером неоклассической модели производства является двухфакторная производственная функция Кобба  –Дугласа.

Производственная функция  Кобба  – Дугласа отражает зависимость объема производства чистой продукции (чистого дохода) от  количества используемых ресурсов труда и капитала  (затрат на их использование) и имеет мультипликативную форму. Она записывается в виде формулы

y=a*K^α * L^β,

где а – постоянный коэффициент, соответствующий совокупной эффективности  факторов K и L в производстве (а > 0);

α,  β – постоянные коэффициенты, которые характеризуют эффективность каждого ресурса отдельно (α,  β > 0, α + β  = 1);

K – количество используемого  капитала или плата за капитал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Функция Леонтьева

Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление  затрат факторов производства для осуществления  выпуска одной единицы продукции. Величины a₁,a₂,…,a_m представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Линейная производственная функция

Данное семейство функций  полезности описывает ситуацию, когда  факторы производства являются полностью  взаимозаменяемыми. Коэффициенты a₁,a₂,…,a_m представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Модель Солоу

Неоклассическая модель экономического роста Роберта Солоу основывается на производственной функции Кобба-Дугласа.

Основное отличие модели Солоу от производственной функции заключается в том, что автор вводит технический прогресс как фактор экономического роста наравне с такими факторами производства как труд и капитал. Модель описывает влияние трех вышеупомянутых факторов на экономический рост и описывается мультипликативной производственной функцией, составляющую основу модели, и рядом условий и ограничений.

,

•  — выпуск продукции
•  — многофакторная производительность труда (технический прогресс)
•  — объем используемого капитала
•  — затраты живого труда

Под техническим прогрессом в данной модели подразумевается вся совокупность качественных изменений труда и капитала. Таким образом, показатель технического прогресса является показателем времени. Технический прогресс называется нейтральным, так как он одинаково влияет на все задействованные для выпуска продукции ресурсы

Условия модели:

1. При отсутствии одного из факторов выпуск является нулевым.
2. Предельные продуктивности факторов являются положительными.
3. При увеличении объёмов ресурсов выпуск возрастает.
4. При увеличении объёмов ресурсов предельная производительность уменьшается.
5. При неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск также неограниченно увеличивается.
6. Норма сбережения капитала (инвестиции) является постоянной.
7. Норма выбывания капитала является постоянной.
8. Производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба (единичным эффектом масштаба).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Кусочно-линейная функция

Кусочно-линейная функция — функция, определённая на множестве вещественных чисел, линейная на каждом из интервалов, составляющих область определения.

Пусть заданы   — точки смены формул.

Как и все кусочно-заданные функции, кусочно-линейную функцию обычно задают на каждом из интервалов   отдельной формулой. Записывают это в виде: 

Если к тому же выполнены условия согласования

 при  ,

то кусочно-линейная функция  будет непрерывной. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Теорема Эйлера

Для однородной производственной функции k-й степени, k – любое действительное число, выполняется следующее равенство:

 

 

Продифференцируем равенство  по : левую часть – по правилу дифференцирования сложной функции, правую – как степенную функцию. В

результате получим

 

 

Так как

 

 

для любого   . При   = 1 придем к требуемому равенству.Разделив это равенство на f(x1 ,..., хn), получим

 

 

Левая часть равенства, очевидно, представляет собой сумму частных

коэффициентов эластичности функции f. Таким образом, суммарный

коэффициент эластичностей  факторов производства равен степени