Регрессионные модели анализа и прогнозирования стоимости основных средств в РБ

При исследовании на стационарность наиболее часто используются следующие  тесты:

В тесте Дики-Фуллера [6] нулевой (альтернативной) гипотезой является тот факт, что исследуемый В.р. нестационарен (стационарен) и описывается одной из трех моделей авторегрессии первого порядка с поправкой на линейный тренд:

1. если В.р. имеет детерминированный линейный тренд, то оценивается модель    

                                                                  

∆ = φ + α + βt + , t = 2, …, T;

 

2. если В.р. не имеет детерминированного тренда и его математическое ожидание не равно нулю, то берется модель

 

∆ = φ + α + , t = 2, …, T;

 

3. если у В.р. нет детерминированного тренда и его математическое ожидание равно нулю, то выбирается модель

 

∆ = φ + , t = 2, …, T;

 

Здесь и далее  – независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием, а φ, α и β – оцениваемые параметры.

Методом наименьших квадратов  оцениваются параметры модели φ, α, β и вычисляется значение t-статистики для проверки нулевой гипотезы     φ = 0. Полученное значение сравнивается с критическим уровнем . Гипотеза о нестационарности В.р. отвергается, если < . Критические уровни, соответствующие выбранным уровням значимости, берутся из таблиц, приведенных в [6], если В.р. наблюдается на интервалах длины T{25, 50, 250, 500}. Если количество наблюдений T другое, то критические значения статистики вычисляются с использованием формул из [7].

Мощность теста Дики-Фуллера существенно зависит от оцениваемой модели. С одной стороны, неправильный выбор оцениваемой модели может значительно отразиться на мощности этого теста. Так, если В.р. порождается моделью случайного блуждания со сносом, а статистические выводы проводятся по результатам оценивания модели без включения трендовой составляющей, то мощность критерия стремится к нулю с возрастанием количества наблюдений [9]. С другой стороны, уменьшение мощности критерия может быть вызвано и избыточностью оцениваемой модели.

Если же В.р. описывается  моделью более высокого порядка  p>1 и характеристического многочлена не более одного единичного корня, то для анализа данного ряда применяется расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест) [6], в котором в правые части каждой из трех рассмотренных для теста Дики-Фуллера моделей добавлены запаздывающие разности ∆,        t = 2, …, p–1. Полученные при оценивании моделей с добавленными запаздывающими разностями значения t-статистик для проверки нулевой гипотезы  φ = 0 сравниваются с теми же критическими значениями , что и для теста Дики-Фуллера. Гипотеза о нестационарности В.р. отвергается, если < . ADF-тест может использоваться и в том случае, когда В.р. описывается смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего.

В тесте Филлипса-Перрона (PP-тест) [8] проверка нулевой гипотезы о нестационарности В.р. сводится к проверке гипотезы φ = 0 на основе статистической модели

∆ = φ + α + βt + , t = 2, …, T,

где E ≤ C < ∞ для некоторого δ > 2, где E – математическое ожидание случайной величины . В отличие от теста Дики-Фуллера, случайные составляющие могут быть автокоррелированными, иметь различные дисперсии и необязательно нормальные распределения.

 PP основывается на t-статистике, скорректированной на возможную автокоррелированность и гетероскедастичность В.р. (обозначается ). При вычислении статистики приходится оценивать так называемую «долговременную» дисперсию ряда , которая определяется следующим образом:

 

= E .

 

Для можно взять оценку из [14]:

 

= + 2 ,

 

где = - j-ая выборочная автоковариация В.р. , l – количество используемых лагов, - остатки оцененной модели PP-теста.

Важным вопросом в PP-тесте является выбор количества используемых лагов l (параметр l называют «шириной окна» - window size). С одной стороны, недостаточная ширина окна ведет к отклонениям от номинального размера критерия (уровня значимости). В то же время увеличение ширины окна во избежание отклонений от номинального размера критерия может привести к падению мощности критерия. Исследования в этом направлении не привели к какому-либо простому правилу выбора значения l [6].

Тест Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS-тест) [7] в качестве нулевой рассматривает гипотезу о принадлежности В.р. к классу стационарных. Рассмотрение ведется в рамках следующей модели: = δt + + , где - стационарный процесс, а - случайное блуждание, определяемое как = + , где - нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и дисперсией, равной .

Нулевая гипотеза о стационарности формулируется следующим образом:

 

: = 0 или – константа.

 

Альтернативная гипотеза соответствует предположению о  том, что дисперсия отлична от нуля и анализируемый временной  ряд принадлежит к  классу нестационарных. В такой форме предложенный критерий является LM-критерием для проверки указанной нулевой гипотезы: LM = , где - дисперсия остатков регрессии, = , – остатки регрессии на константу и тренд t. Если ошибки нормально распределены, то величина сходится к = E() .

И в PP-тесте, и в KPSS-тесте требования на ошибки менее строгие, чем в критерии Дики-Фуллера. Поэтому, если ошибки не являются нормально распределенными, апроксимируется посредством

 

= + 2 + ,

 

где - весовая функция для выбора спектрального окна, l – ширина окна. При применении KPSS-теста также возникает проблема выбора ширины окна  l, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению l.

В данном тесте обычно берется  = 1 - .

В случае, когда на периоде  наблюдений имеются структурные  изменения В.р. в некоторый момент времени  либо в форме сдвига уровня, либо в форме изменения наклона тренда, либо в форме сочетаний этих двух изменений Перроном [10] предложена процедура проверки нулевой гипотезы о принадлежности В.р. к классу нестационарных рядов. Необходимость использования такой процедуры связана с тем, что критерий принадлежности В.р. к классу нестационарных не допускает возможности изменения структуры модели, и если такое изменение в действительности произошло, то он имеет очень низкую мощность, т.е. практически всегда не отвергает нулевую гипотезу. Поэтому Перрон предложил оценивать следующую модель:

 

= α + μDU + βt + υDT + φ + δD + + ,

 

где α, μ, β, υ, φ, δ, - оцениваемые параметры. Тем самым процедура проверки В.р. на стационарность сводится к проверке на стационарность ряда остатков .

На практике приведенные  тесты не всегда дают однозначный  результат, поэтому используются и  другие: Дики-Фуллера с GLS исключенным трендом (DFGLS-тренд), Эллиота-Ротенберга-Стока (ERS-тест), Нг-Перрона (NP-тест) и др [11].  

Оценивание качества моделей и точности прогнозов. Для оценки качества построенных эконометрических моделей, как правило, используется стандартная техника [12-13]: коэффициент детерминации , скорректированный коэффициент детерминации , стандартная ошибка регрессии (SER), статистика Дарбина-Уотсона (DW), LM-критерий автокоррелированности ошибок Бройша-Годфри, F-статистика, p-значение (F-статистики), информационные критерии Акаике (AIK) и Шварца (SIK). Оценка статистической значимости коэффициентов в построенных моделях производится с помощью p-значения (t-статистики). Наличие структурных изменений оценивается с помощью теста Чоу. При использовании таблиц критических значений статистических оценок, в частности статистики DW, F-статистики, а также для оценки p-значения (F-статистики) и p-значения (t-статистики), выбран уровень значимости, наиболее распространенный в эконометрическом анализе, равный 0,05. Для уравнений, содержащих лаговые значения объясняющей переменной, вместо статистики DW приводятся значения LM-критерия Бройша-Годфри.

Для оценки прогнозов используется среднеабсолютная процентная ошибка (MAPE), определяемая по формуле:

 

MAPE = ,

 

где и - соответственно фактическое и прогнозное значение показателя в момент времени t; τ – период прогнозирования.

В заключение можно сказать, что эконометрический анализ позволяет не только выявить особенности В.р., но и повысить как качество разрабатываемых моделей, так и точность получаемых по ним прогнозов.

 

 

3. Годовая регрессионная  модель

 

С целью анализа прогнозных свойств и устойчивости коэффициентов  регрессионной зависимости оценивания модели проводилось на статистических данных Республики Беларусь [15].

За основу была взята годовая  регрессионная модель оценки стоимости  основных средств оцененная на данных с 1990 г. по 2005 г., которая имеет следующий  вид:

 

= 1,009 + 0,023 – 0,017;          (1)

 

Условные обозначения  и единицы измерения представлены в табл. 1.

 

Таблица 1 – Обозначения  и единицы измерения

Условное обозначение  В.р.	Показатель, единицы измерения
	Стоимость основных средств  в сопоставимых ценах 2000 г., млрд. руб.
	Инвестиции в основной капитал в сопоставимых ценах 200 г., млрд. руб.
	Коэффициент выбытия основных средств, %

 

Примечания – Источник: [15].

 

Как следует из уравнения (1), стоимость основных средств в  текущем периоде в наибольшей степени определяется их стоимостью в предыдущем периоде (коэффициент  эластичности равен примерно 1.01), объемом  инвестиций в основной капитал, осуществленных в предыдущем периоде, за вычетом  выбывших основных средств.

Чтобы переоценить данную модель необходимо было прежде всего  наработать информационную базу, которая  представлена в табл. 3.

 

Таблица 2 – Показатели для оценки годовой модели

Год	Стоимость основных средств, млрд. руб.	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб.	Коэффициент выбытия (от общей  стоимости основных средств на начало года), %
2000	76799,3	1809,0	2,6
2001	100633,1	3049,3	2,4
2002	130752,6	4484,6	2,3
2003	163313,7	7131,2	2,1
2004	201138,3	10783,4	1,9
2005	207512,9	15095,8	1,6
2006	250136,3	20374,1	1,3
2007	285236,7	26053,3	1,2
2008	319400,9	37202,3	1,1
2009	360860,6	43377,6	1,0
2010	431561,2	55380,8	1,0
2011	865672,2	98664,9	1,0

 

Примечание – Источник: [16].

 

Для того чтобы переоценить  данную модель на промежутке с 2000 г. по 2011 г., необходимо вначале перейти  от степенной зависимости к линейной. Для этого показатели стоимости  основных средств, выбывших основных средств  и инвестиций в основной капитал  необходимо прологарифмировать. Данные после логарифмирования представлены в табл. 4.

 

Таблица 3 – Приведенные  данные по годовой модели

Год	Стоимость основных средств, ln	Инвестиции в основной капитал, ln	Коэффициент выбытия средств, %
2000	11,25	7,50	2,6
2001	11,52	8,02	2,4
2002	11,78	8,41	2,3
2003	12,00	8,87	2,1
2004	12,21	9,29	1,9
2005	12,24	9,62	1,6
2006	12,43	9,92	1,3
2007	12,56	10,17	1,2
2008	12,67	10,52	1,1
2009	12,80	10,68	1,0
2010	13,00	10,92	1,0
2011	13,67	11,50	1,0

 

Примечание – Источник: собственная разработка.

 

После переоценки на промежутке с 2000 г. по 2011 г., была получена следующая  модель:

 

= 0,984 + 0,042 – 0,011;         (2)

              (0,000)                        (0,000)                             (0,000)

 

Коэффициенты исследуемых  параметров показывают степень зависимости  изменения стоимости основных средств  от изменений значений параметров. Например, увеличение инвестиций на 1% приводит к росту стоимости основных средств на 0,043%. Под коэффициентами приведены p-значения t-статистики.