Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) широко используются в инженерных расчетах, в том числе по химической технологии и защите окружающей среды.

С одной стороны, это определяется тем, что уравнения материального  и теплового балансов, как правило, линейны или приводятся к линейным при некоторых ограничениях и  допущениях.

Тогда при расчете потоков в  сложных химико-технологических  системах, в балансовых тепловых расчетах, в математических моделях процессов, построенных на базе, например, ячеечной модели гидродинамической структуры  потоков возникает необходимость  решать системы линейных уравнений  высокого порядка.

С другой стороны, основным источником знаний о сложных процессах химической технологии по-прежнему является эксперимент, а потому велика доля эмпирико-статистических моделей в инженерных расчетах. Эти  модели, полученные на основе обработки  результатов наблюдений статистическими  методами, чаще всего строятся на базе линейной регрессии, оценка коэффициентов  которой также сводятся к решению  систем линейных алгебраических уравнений.

В курсовой работе рассматриваются  типовые методы поиска корней СЛАУ, их реализация в "ручном" расчете  и в среде системы Mathcad. Уделяется внимание и используемому в курсовой работе табличному способу преобразования систем линейных уравнений высокого порядка к стандартному виду, который позволяет сократить количество ошибок при работе с системами высокого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Способы решения систем линейных алгебраических уравнений в основном разделяются на две группы:

• точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы вычисления корней (матричный метод, правило Крамера, и др.);
• итерационные методы, позволяющие получать корни с заданной точностью путем сходящихся процессов.

Вследствие неизбежных округлений даже точные методы являются приближенными. При использовании итерационных процессов добавляется погрешность  метода, а эффективность применения методов зависит от удачного выбора начального приближения и скорости сходимости процесса.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Обратите внимание, что в стандартной  форме система линейных уравнений  слева содержит слагаемые, содержащие только неизвестные величины, причем порядок следования аргументов в  каждом уравнении должен быть строго одинаковым.

Совокупность чисел  (вектор x), обращающих систему (1) в тождество, называется решением этой системы, а сами числа  – ее корнями.

 

 

 

 

 

 

 

1. Матричный метод.

Если обозначить через A матрицу коэффициентов

через b – вектор-столбец свободных членов, x – вектор-столбец решений, то в общем виде решение системы в матричной форме

x = A^–1b,

где A^–1 – обратная матрица матрице A. Это решение возможно при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, т.е. detA = Δ ≠ 0.

Таким образом, для решения системы  необходимо вычислить обратную матрицу A^–1 и умножить ее слева на столбец свободных членов.

Результаты  решения системы

 

 

 

 

Правило Крамера.

Формулы Крамера для вычисления корней системы линейных алгебраических уравнений не требуют обращения матрицы A, а используют основной Δ и вспомогательные Δ₁,Δ₂, ..., Δ_n определители системы:

Здесь вспомогательный определитель Δ_j – это определитель матрицы коэффициентов, в которой j-й столбец заменен столбцом свободных членов, например

Для вычисления корней по формуле  Крамера требуется иметь процедуры для расчета определителя матрицы, так как трудоемкость ручного расчета при n > 4 весьма велика.

Одним из наиболее простых методов  вычисления определителя является алгоритм, в основе которого лежит приведение путем элементарных преобразований исходной матрицы A к треугольному виду A_Δ (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю). Для преобразованной треугольной матрицы определитель пропорционален произведению элементов главной диагонали. Знак определителя матрицы A зависит от числа перестановок строк l и столбцов s при преобразовании к треугольной матрице

 

где a_ij^Δ – элементы главной диагонали преобразованной матрицы; β_k– множители, использованные при преобразовании матрицы.

 

 

Решение системы  линейных алгебраических уравнений  с вводом данных через компонент "Таблица " по правилу Крамера''

 

Решение системы по правилу  Крамера:

 

 

 

 

Результаты решения системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Решение системы с помощью Find.

Приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений в Mathcad можно реализовать, например, с использованием функции Find.

Механизм аналитических  вычислений можно использовать для  аналитического решения уравнений  и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения  Given, в который помещаются уравнения и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

Find(х,у,...)

,

где в скобках приведен список искомых величин, а далее  следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо.

Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме.

В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Преобразование системы к стандартному виду

 

В системе линейных уравнений, приведенной к стандартному виду:

• все слагаемые, содержащие неизвестные (аргументы), перенесены налево, подобные члены сгруппированы, прочие слагаемые – направо и являются свободными членами или правыми частями;
• в каждом уравнении должны быть представлены все неизвестные, которые следуют в строго одинаковой последовательности, отсутствие какого-либо аргумента в уравнении эквивалентно наличию при нем нулевого числового коэффициента;
• все коэффициенты при неизвестных образуют квадратную матрицу с числовыми элементами; вектор правых частей тоже должен содержать числовые элементы.

Преобразование исходной системы  линейных уравнений высокого порядка  к стандартному виду удобно выполнять  путем построения таблицы коэффициентов  при неизвестных и правых частей. Выбрав произвольную последовательность аргументов в уравнении, в названия граф поместим имена аргументов, строки таблицы будут соответствовать  номеру уравнения, а в качестве содержимого  ячеек вычислим или запишем выражения  для коэффициентов при соответствующих  аргументах. Правый столбец отведем  под вектор свободных членов, полученных для каждого уравнения.

При таком подходе автоматически  получаем матрицу коэффициентов  при неизвестных А и вектор правых частей В, а после решения  любым методом в векторе корней аргументы будут следовать в  том порядке, как они были записаны в графах таблицы.

Рассмотрим преобразование системы  к стандартному виду с использованием таблицы на конкретном примере

Расчет материального баланса относительно неизвестных расходов по ячеечной модели . Примем материальный баланс относительно неизвестных расходов, число ячеек n = 9. Пусть даны:

 

 

 

 

Требуется найти материальный баланс относительно неизвестных расходов G12,G23,G30,G41,G45,G53,G56,G60,G63.

При использовании ячеечной модели материальный баланс относительно неизвестных расходов условно разбивается на n ячеек одинакового объема, в пределах которых предполагается полное мгновенное перемешивание среды. Следовательно, в пределах ячейки все параметры среды принимаются одинаковыми во всех точках объема, а в установившемся режиме неизменными.

Математическое описание по ячеечной модели может быть представлено в  виде системы линейных алгебраических уравнений материального баланса относительно неизвестных расходов, записанных для каждого расхода в каждой ячейке (неизвестные расходы в системе имеют индексы, соответствующие номеру расхода и номеру ячейки):

 

 

 

 

 

 

Примем, что при преобразовании системы линейных уравнений к  стандартному виду искомые расходы в каждом уравнении размещены в следующей последовательности: G12,G23,G30,G41,G45,G53,G56,G60,G63 . Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим следующую таблицу коэффициентов при неизвестных расходах:

Уравнение	G12	G23	G30	G41	G45	G53	G56	G60	G63	B
1	-1	0	0	1	0	0	0	0	0	-5000
2	1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	1	-1	0	0	1	0	0	1	0
4	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	-4000
5	0	0	0	0	1	-1	-1	0	0	-3000
6	0	0	0	0	0	0	1	-1	-1	0
7	0	0	0	0	1	0	0	0	0	2400
8	0	0	0	0	-0,3	1	0	0	0	900
9	0	0	0	0	0	0	-0,9	1	0	0