Формирование и анализ оптимальной производственной программы предприятия

Федеральное Агентство по Образованию

Орловский Государственный Технический Университет

Кафедра «Информационные системы»

Лабораторная  работа

по  дисциплине "Экономико—математические методы"

на  тему" Формирование и анализ оптимальной  производственной программы предприятия".

Вариант 7.

Выполнили Федорченко А. Ю.

студенты: Полушкина Е. А.

группы 21-М

Проверил 

преподаватель: Терентьев С.В.

1. Цель  работы 

1. Изучить методику  применения математического аппарата  линейного программирования для  задач формирования и анализа оптимальной производственной программы.

2. Рассчитать  конкретный пример, заданный преподавателем.

2. Порядок  выполнения работы 

1. Изучить методы  решения задач линейного программирования, правила построения двойственной  задачи, свойства двойственных оценок.

2. Получить исходные  данные у преподавателя. 

3. Выполнить  расчет (расчеты рекомендуется проводить  при помощи ППП Microsoft Excel).

4. Оформить отчет,  включающий выводы по проделанной  работе.

3. Содержание  отчета 

1. Исходные данные.

2. Результаты расчета с анализом полученных данных.

3. Выводы.

1. Предприятие выпускает три вида изделий, используя при этом три вида сырья (данные представлены в таблице).

Тип сырья	Нормы затрат на единицу продукции, кг			Запасы сырья, кг
	A	Б	В
I	18	15	12	360
II	6	4	8	192
III	5	3	3	180
Цена изделия, $	9	10	16

а).Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости, составьте оптимальную производственную программу.

б)1).Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптимальный план.

2).Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.

в).Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II - уменьшить на 9 кг?

г).Целесообразно ли включение в производственную программу изделия "Г" ценой $11, если нормы затрат сырья составляют 9, 4 и 6 кг, соответственно?

2. а). По данному условию сформулируем задачу линейного программирования.

Обозначим: x₁ - количество выпускаемых единиц товара А, x₂ - количество выпускаемых единиц товара Б и х₃ - количество выпускаемых единиц товара В.

· целевая функция:

= x₁*9+x₂*10+x₃*16max;

· ограничения:

· требование неотрицательности:

x₁ ≥ 0,   x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0.

При помощи ППП Microsoft Excel найдём оптимальную производственную программу:

x₁^*=0, x₂^*=8, x₃^*=20,=400. То есть предприятие будет выпускать только товар Б (в количестве 8 единиц) и товар В ( в количестве 20 единиц), а товар А выпускаться не будет. При этом в производстве будет задействовано: 360 единиц сырья I вида, 192 единицы сырья II вида и 84 единицы сырья вида III. 

б)1). Сформулируем двойственную задачу и найдём её оптимальный план:

=360y₁+192y₂+180y₃min;

y₁ ≥ 0,   y₂≥ 0, y₃ ≥ 0

В результате решения получим  следующие оптимальные планы:

y₁^*=2/9,y₂^*=5/3, y₃^*=0,=400.

2). Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность факторов производства. Чем выше величина оценки , тем выше дефицитность i-го ресурса. Факторы, получившие нулевые оценки, не являются дефицитными и не ограничивают производство.

В нашем примере нулевую  оценку получил третий ресурс ( = 0), поэтому он не является дефицитным, т.е., с точки зрения задачи, сырьё III не ограничивает производство. Напротив, сырьё первого и второго видов являются дефицитными, причем ограничивают производство в различной степени — значение y₂^*=1,67, что более чем в 8 раз превышает значение y₁^*=2/9. Следовательно сырьё II — наиболее дефицитное.

в). Величина двойственной оценки какого-либо ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу. В связи с этим значение объективно обусловленной оценки иногда называют теневой ценой ресурса. Теневая цена - это стоимость единицы ресурса в оптимальном решении.

Однако нужно  учитывать, что двойственные оценки позволяют измерить эффективность  лишь незначительного изменения  объема ресурсов. При значительных изменениях может быть получен новый  оптимальный план и новые двойственные оценки.

Для нашего примера  увеличение запаса сырья I вида на 45 кг, и уменьшение II на 9 кг должно приводить к уменьшению максимальной прибыли на $5(1,67х9 - 0,(2)х45).

Для нахождения изменений в плане выпуска  составим новую прямую оптимизационную  задачу на максимум общей стоимости, учитывая изменения в количестве имеющегося сырья. При помощи ППП Microsoft Excel получим оптимальную производственную программу:

x₁^*=0, x₂^*=15, x₃^*=15. То есть соответствующее изменение количества ресурсов приведёт к увеличению выпуска товара Б на 7 единиц и снижению выпуска товара В на 5 единиц. Товар А вновь не выпускается.

г). С помощью двойственных оценок можно определить выгодность выпуска новых изделий, эффективность новых технологических способов производства. При этом эффективным может считаться тот вариант производства, для которого сумма прибыли, недополученной из-за отвлечения дефицитных ресурсов, будет меньше прибыли получаемой. Разница между этими величинами (Δ_j) вычисляется как:  

 

В том случае, если Δ_j ≤ 0, вариант производства является выгодным, если Δ_j > 0 — вариант невыгоден.

Вернемся к  нашему примеру. Предприятие планирует  к выпуску новый вид изделий  Г ценой $11, нормы затрат сырья  составляют 9, 4 и 6 кг, соответственно. Для  ответа на вопрос рассчитаем Δ_j.

Δ_j = 9ּ + 4ּ + 6ּ - 11 = 9ּ0,(2) + 4ּ1,67 + 6ּ0 - 11 = -2,32,

Δ_j < 0, значит производить изделие Г выгодно.

3.Выводы:

При помощи ППП Microsoft Excel нашли оптимальную производственную программу: предприятие будет выпускать только товар Б (в количестве 8 единиц) и товар В ( в количестве 20 единиц), а товар А выпускаться не будет. При этом в производстве будет задействовано: 360 единиц сырья I вида, 192 единицы сырья II вида и 84 единицы сырья вида III.

Двойственные  оценки отражают сравнительную дефицитность факторов производства. В нашем примере нулевую оценку получил третий ресурс ( = 0), поэтому он не является дефицитным, т.е., с точки зрения задачи, сырьё III не ограничивает производство. Напротив, сырьё первого и второго видов являются дефицитными, причем ограничивают производство в различной степени — значение y₂^*=1,67, что более чем в 8 раз превышает значение y₁^*=2/9. Следовательно сырьё II — наиболее дефицитное.

Последнее утверждение  легко подтвердить, взглянув на оптимальный  производственный план составленный для  исходной задачи: откуда видно, что при реализации оптимального плана сырьё I и II видов расходуются полностью, а сырьё III ,действительно, расходуется не полностью, а менее чем на 50%.

Величина двойственной оценки какого-либо ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу. Для нашего примера увеличение запаса сырья I вида на 45 кг, и уменьшение II на 9 кг должно приводить к уменьшению максимальной прибыли на $5(5/3х9 — 2/9х45).

В результате расчётов получили, что соответствующее изменение количества ресурсов приведёт к увеличению выпуска товара Б на 7 единиц и снижению выпуска товара В на 5 единиц. Товар А вновь не выпускается. Расчёты при помощи ЭВМ позволяют более точно определить изменение получаемой прибыли — она снизится на $10 и составит $390.

Предприятие планирует  к выпуску новый вид изделий  Г ценой $11, нормы затрат сырья  составляют 9, 4 и 6 кг, соответственно. Δ_j < 0, значит целесообразно включение в производственную программу изделия Г.