Шпаргалка по "Экономико-математическому моделированию"

В случае неадекватности линейной модели (или желания сразу  получить более сложную квадратичную модель) можно без изменения плана  эксперимента построить неполную квадратичную модель, содержащую помимо линейных членов парные взаимодействия:

Y= b0 +b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3+b23x2x3

Для получения коэффициентов  при произведениях переменных можно  в план эксперимента ввести фиктивные  переменные, например: х4 = х1х2 и х5 = х2х3

(табл. 3.7)

Таблица 3.7 Расширенный план эксперимента с введенными фиктивными переменными x4 и х5

 

№	X1	X2	X3	X4	x5
1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	+1	-1
3	+1	-1	+1	-1	-1
4	+1	-1	-1	-1	+1
5	-1	+1	+1	-1	+1
6	-1	+1	-]	-1	-1
7	-1	-1	+1	+1	-1
8	-1	-1	-1	+1	+1

Тогда все расчетные  формулы (соответственно b4 — для  произведения Ь12, Ь5 — для произведения b23) сохранятся без изменения. Дополнительных экспериментов проводить не нужно.

Фиктивные переменные нужны  только для обработки данных, в  процессе эксперимента они не участвуют. Можно вставить и тройное произведение х6 = х1x2x3, но следует помнить, что общее количество искомых коэффициентов должно быть меньше числа экспериментов на 1.

 

14.При проверке значимости коэффициентов дисперсии коэффициентов Sb2 находят следующим образом:

Sb2=S2y/N

Доверительный интервал для коэффициентов модели находится, как и в общем случае, по формуле: ▲b = tSb, (t— критерий Стьюдента выбирается из таблиц  для заданной вероятности  р и числа степеней свободы f= т  — 1), интервальная оценка коэффициента определяется из выражения bист = b ± ▲b. Коэффициенты будут статистически значимыми, если | b |  < ▲b.

После обработки результатов  эксперимента мы получим коэффициенты для модели, в которую переменные входят в нормированном виде, т.е. при прогнозе Y аргументы xi надо подставлять в нормированном виде. При желании, пользуясь формулой нормировки, можно вернуться к размерным переменным. Но в этом новом уравнении уже нельзя отбрасывать тот или иной член вследствие его малости, потому что коэффициенты оказываются взаимосвязанными. К недостаткам ПФЭ относится быстрый рост числа экспериментов с увеличением размерности задачи (табл. 3.8).

 

Таблица 3.8 Связь числа  экспериментов и числа переменных в ПФЭ

n	N
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128

 

Поэтому план ПФЭ применяют в задачах невысокой размерности до 4... 5. Для задач более высокой размерности предпочтительны планы дробного факторного эксперимента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Проверка  адекватности модели

Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квадратов. Неудобство состоит в том, что она зависит от числа коэффициентов в уравнении.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией, или  дисперсией адекватности Sад.

Разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F-критерием Фишера и определяется следующей формулой:

 – это дисперсия воспроизводимости  со своим числом степеней свободы.

Удобство использования критерия Фишера состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением.

Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то, с соответствующей доверительной  вероятностью, модель можно считать  адекватной. При превышении табличного значения эту приятную гипотезу приходится отвергать.

Этот способ расчета  дисперсии адекватности, подходит, если опыты в матрице планирования не дублируются.

 

 

 

16,17,18.ДРОБНЫЙ  ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ (ДФЭ)

 

Дробный факторный эксперимент позволяет снизить количество экспериментов при высокой размерности задачи.

Полную матрицу экспериментов  в ПФЭ называют репликой. ДФЭ представляет собой часть этой реплики: половина — полуреплика, четвертая часть — четвертьреплика.

Общее число экспериментов в ДФЭ определяется по следующей формуле:

N=2n-p,

где р — показатель дробности реплики.

Если: р = О, то получаем план ПФЭ, р=1 — полуреплика от ПФЭ; р = 2 — четвертьреплика от ПФЭ; р = 3 — 1/8 реплики от ПФЭ.

Если, например, число  переменных п = 5, дробность реплики — четвертьреплика р — 2, общее число экспериментов будет N = 25-2 = 8.

Затем строится план ПФЭ  для числа переменных, соответствующего числу экспериментов. В данном случае для числа экспериментов N = 8 число  переменных и = 3, так как 23 = 8.

17.Для формирования столбиков оставшихся переменных вводят генерирующие соотношения (ГС), которые формируют значения переменных на основе эффектов взаимодействия высокого порядка, которые в реальных объектах практически отсутствуют.

Пусть ГС1: х4 = х1х2х3 — эффект взаимодействия третьего порядка. Считаем, что в реальной ситуации он отсутствует. Столбик х4 сохраняет ортогональность по отношению ко всем другим.

ГС2: х5 = х1х2. Чтобы иметь  право его ввести, мы должны быть уверены в следующем: выбираемый парный эффект отсутствует (в модели коэффициент при х,х2 статистически незначим). Это можно сделать лишь при тщательном предварительном изучении объекта исследования.

Очевидно, что ДФЭ резко  сокращает количество экспериментов, но за это приходится платить. Оказывается, при использовании ДФЭ многие коэффициенты нельзя найти независимо друг от друга, они тесно взаимосвязаны.

Обратим внимание на принципиальную разницу в планах ДФЭ и ПФЭ (табл. 3.9). При внешней схожести у  них есть принципиальные различия: в плане ПФЭ переменные х4, х4 и х5 — фиктивные, они не существуют в реальности и введены только для удобства расчетов, а в плане ДФЭ это реальные переменные, которые при проведении экспериментов должны принимать определенные значения.

Таблица 3.9 План эксперимента ДФЭ (четвертьреплика для 5 переменных)

 

№	Х1	Х2	Х3	Х4	х5
1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	-1
4	+1	-1	-1	+1	-1
5	-1	+1	+1	-1	-1
6	-1	+1	-1	+1	-1
7	-1	-1	+1	+1	+1
8	-1	—1	-1	-1	+1

Перед проведением эксперимента необходимо найти систему связей оценок коэффициентов, которая имеет место вследствие сокращения количества экспериментов, и, если она нас устраивает, приступать к реализации плана.

Для выявления связи  вводится понятие определяющего  контраста ОК, который формируется  для каждого ГС путем умножения его левой и правой частей на задаваемую переменную: х1*х1=1=х1х2х3х4

так как переменные принимают  значения только +1 и -1 и поэтому:

ОК1 : 1 = х1х2х3х4

ОК2 : 1 = х1х2х5

18.Для объединения их вводится обобщающий определяющий контраст ООК: ООК : 1 = х1х2х5= х1х2х3х4

Если мы хотим узнать, с какими коэффициентами связан тот  или иной искомый коэффициент, то должны все части ООК умножить на этот фактор.

х1= х2х5= х2х3х4=> b1=b1+b2b5+b2b3b4

В данном случае b1, можно  найти отдельно только тогда, когда заранее известно, что b2b5 = 0 и b2b3b4= 0.

Аналогично получим:

x1 = х1x5 = x1х3х4 -> Ь2 = Ь2 + b1b5 + b1b3b4

Коэффициент при парном произведении:

x1х2 = х5 = х3х4 => b12 = b12 + b5 + b3b4

Практически всегда при  реализации ДФЭ в четвертьреплике оказываются связанными линейные и парные эффекты, а также парные между собой. Поэтому нужно тщательно выбирать генерирующее соотношение, с тем чтобы получить нужную систему оценок.

Всегда приходится получать предварительную информацию о тех  эффектах, которыми можно пренебречь (проводить специальные эксперименты, изучать теоретические основы процесса), и использовать их при формировании генерирующих отношений.

Чаще всего в задачах  сравнительно невысокой размерности  ДФЭ применяется для построения моделей линейных и нелинейных с отдельными парными эффектами. В задачах с более высокой размерностью можно получить неполные квадратичные модели, содержащие все парные взаимодействия.

 

 

 

19.ОСНОВЫ  ПЛАНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

Как в ПФЭ, так и в ДФЭ варьирование переменных осуществляется только на двух уровнях, поэтому квадратичные эффекты (члены с х²) найти нельзя (параболу можно провести минимум по трем точкам).

Для получения полных квадратичных моделей  используют специальные планы второго порядка. Это прежде всего трехуровневые планы полного факторного эксперимента для малого числа переменных (переменные принимают значения -1, О, 1). Общее число экспериментов будет ЛГ= 3ⁿ.

Главный их недостаток — быстрый рост числа экспериментов N при увеличении п.

На практике часто применяются композиционные планы, которые достраивают ПФЭ или ДФЭ до планов второго порядка. Существуют также и специальные многоуровневые планы (например, планы Хартли).

Среди композиционных планов второго порядка распространение  получили ортогональные планы — ОЦКП(центральный композиционный план) и ротатабельные — РЦКП. По технике проведения эксперимента, по содержанию основных этапов они полностью аналогичны рассмотренным ранее ПФЭ и ДФЭ. Отличие кроме собственно плана эксперимента заключается в расчетных формулах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.ОРТОГОНАЛЬНЫЙ  ЦЕНТРАЛЬНЫЙ КОМПОЗИЦИОННЫЙ ПЛАН (ОЦКП)

 

Ортогональный — основное свойство, позволяющее находить коэффициенты независимо друг от друга.

Центральный — центр плана находится в центральной базовой точке. Композиционный — свойство плана, позволяющее получать его путем достраивания (композиции) уже реализованного базового плана ПФЭ или ДФЭ. ОЦКП базируется на расширении ПФЭ или ДФЭ, используемых в качестве ядра плана, до плана второго порядка. Применяется, как правиле, в случае неадекватности линейной или неполной квадратичной модели в целях получения полной квадратичной модели.