Эконометрическое моделирование

 

7) Оценим качество построенной  модели множественной регрессии  по следующим направлениям:

1. Коэффициент детерминации R² =0,827 >0,6, значит, уравнение множественной регрессии может быть использовано для анализа и прогнозирования.

Коэффициент детерминации R² =0,827 показывает, что 82,7% вариации цены квартиры учтено в модели и обусловлено влиянием факторов, включенных в модель – Город области и Общая площадь квартиры.

2. Проверку статистической  значимости уравнения регрессии   проведем на основе F-критерия Фишера. Расчетное значение F-критерия Фишера F_расч.=88,489 (вторая таблица протокола выполнения регрессионного анализа).

Табличное значение  F-критерия Фишера F_кр., найденное с помощью функции F.ОБР.ПХ. при , m = 2, n – m -1 = 40 - 2 – 1 = 37, составляет 2,452. Поскольку _{, то уравнение регрессии следует признать зн}ачимым.

3. Оценим с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии. Из третьей таблицы протокола выполнения регрессионного анализа

.

Табличное значение t-критерия Стьюдента находим с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР. при , n – m -1 = 40 - 2 – 1 = 37, оно составляет 1,687.

Т.к. , то коэффициенты и соответствующие факторные признаки статистически значимы.

4. С помощью средней ошибки аппроксимации оценим точность модели по формуле:

 

Вывод остатка получаем из протокола выполнения регрессионного анализа при установке в поле Остатки диалогового окна Регрессия соответствующего флажка (рисунок 1.6). Получим:

 хороший  уровень точности.

Для сравнения качества парной и многофакторной моделей составим сравнительную таблицу:

Таблица 1.4

Вид регрессии	R2	F
Парная	0,715	95,313	28,26%
Множественная	0,827	88,489	19,6%

 

Т.к. наибольшим коэффициентом  детерминации обладает множественная регрессия, то ее следует выбрать в качестве лучшей.

Оценим влияние факторных  признаков на результативный признак  при помощи следующих показателей:

1. Коэффициент эластичности для коэффициентов :

;

.

Коэффициент эластичности показывает, цена квартиры в Подольске на 0,21% меньше цены такой же по общей площади квартиры, находящейся в Люберцах, а коэффициент эластичности показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1% цена квартиры увеличивается на 1,1%.

2. -коэффициент рассчитывается по формуле:

,

где - среднеквадратическое отклонение i-го фактора.

Значение среднеквадратического  отклонения получаем с помощью нахождения значений  функции ДИСП. MS Excel для факторов Х₁, Х₃ и результативного признака Y и извлечения корня квадратного из полученных значений, тогда получаем:

  

Отсюда

 

 

Коэффициент показывает, что

 

Коэффициент показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 28,225 м² цена квартиры увеличится на 0,60 51,492 = 30,9 тыс. долл.

3. -коэффициент показывает долю влияния каждого фактора в суммарном влиянии всех факторов и рассчитывается по формуле:

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 

Задача 2  Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой  компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Таблица 2.1

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2,…, 9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
7	20	27	30	41	45	51	51	55	61

 

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных  наблюдений.

2) Построить линейную  модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность  модели, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

4) Оценить точность на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

5) Осуществить прогноз  спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза =70%).

6) Фактическое значение  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования представить  графически.

Вычисления провести с  одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).  

 Решение

1) Проверка наличия аномальных наблюдений

Для диагностики аномальных наблюдений воспользуемся методом  Ирвина. Для наблюдений вычисляется  величина :

,

где , .

Результаты  расчетов по методу Ирвина представлены на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Вычисления для расчета

 

Т.к. рассчитанное значение не превышает табличное значение =1,5, то аномальных наблюдений в ряду нет.

 

2) Для построения линейной  модели  выбираем на вкладке Данные → Анализ данных. В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия, затем щелкаем на кнопке Ok.  В появившемся диалоговом окне Регрессия делаем установки в соответствии с рисунком 2.2. Нажимаем кнопку Ok.

Рисунок 2.2 – Диалоговое окно Регрессия, подготовленное для расчета      линейной модели

В результате перечисленных  действий на новом листе буде получен  протокол выполнения регрессионного анализа (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 –  Фрагмент протокола выполнения регрессионного анализа

Линейная модель спроса на кредитные ресурсы финансовой компании в течение девяти последовательных недель имеет вид:

 

 

3) Для оценки адекватности построенной модели исследуем свойство остаточной компоненты, т.е. расхождение уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений.

Для проверки независимости остаточной компоненты (отсутствия автокорреляции) определим отсутствие в ряде остатков систематической составляющей с помощью dw-критерия Дарбина- Уотсона по формуле:

 

Результаты вычислений по формуле dw-критерия Дарбина- Уотсона представлены на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Вычисления для проверки dw-критерия Дарбина- Уотсона

Используя полученные значения, имеем:

 

Т.к. попадает в интервал от d₂ = 1,36 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что модель по этому критерию адекватна.

Проверку  случайности уровня ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. Количество поворотных точек p при n = 9 равно 6 (рисунок 2.4):

 

 

Рисунок 2.4 – График остатков

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Соответствия  ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS-критерия:

 

 

где максимальный уровень  ряда остатков , минимальный уровень ряда остатков (рисунок 2.3), а среднеквадратическое отклонение   .

Получаем

.

Т.к. расчетное значение не попадает в интервал (2,7; 3,7), следовательно, свойство нормальности распределения не выполняется. Модель по этому критерию не адекватна.

Поскольку свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения не выполняется, модель не является адекватной и ее нецелесообразно использовать для  расчетов и прогнозирования.

 

4) Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации  (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Вычисления для расчета 

 средней относительной  ошибки аппроксимации 

 

 

Получаем

- хороший  уровень точности модели.

Т.к. ошибка модели составляет , следовательно, точность модели можно признать удовлетворительной, модель можно использовать для построения прогнозов.

 

5) Построение точечного и интервального прогнозов на два шага вперед

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель 
подставляем соответствующие значения фактора  :

;   .

Для построения интервального прогноза определим доверительный интервал.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина , которая для линейной модели имеет вид

  ,      ,

где – стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя;

  – число степеней свободы (для линейной модели количество параметров р = 2);

  – табличное значение -статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие  границы:

  (верхняя граница);

  (нижняя граница).

Стандартная ошибка (из протокола регрессионного анализа), , .

 

 

Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таблица 2.2).

Таблица 2.2

		Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10			73,5	61,1
11			78,8	65,8

 

6) График фактических значений показателя, результаты моделирования и прогнозирования представлены на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 – Фактические  значения,

результаты моделирования  и прогнозирования 

 

ВЫВОД: В исходном временном ряду аномальные наблюдения отсутствуют. Линейная модель имеет вид: . Построенная модель обладает свойством точности и не является адекватности (не выполняется свойство соответствия ряда остатков нормальному закону распределения). Прогнозируемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в следующие 2 недели составит 67,3 и 72,3 млн. руб.