Экономико-математические методы и прикладные модели

 

Рис 2.4

 

 

 

3)  Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

Подставим в  ограничения двойственной задачи оптимальные  значения вектора :              

        

     

    

   

Затраты на 3 изделия превышают цену ( ). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения (нормир. стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц; 
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 

Проанализировать  использование ресурсов в оптимальном  плане исходной задачи;

Запасы сырья  по первому и второму виду были использованы полностью, а по третьему виду – оборудование - было недоиспользовано 60.

Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц 

Из теоремы  об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению .  Оно определяется:

Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручка возрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600 единиц.

При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.

Решим систему уравнений:    

И получим           

                                                                                                                    Новый оптимальный план

Изменение общей  стоимости продукции на 600 ед. получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40 ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида  по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.)

Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.

, подставим  ,  ,

 т.к. 80>70, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.

 

 

 

 

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя  приведен в таблице.

Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
5	7	10	12	15	18	20	23	26

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%)
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

 

Решение

1). Наличие  аномальных наблюдений приводит  к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ( ) (таблица 4.1).

  ;     ,    

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются  больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

 

 

 

 

 

Таблица 4.1

	t	Y
	1	5	-4	16	-10,11	102,23	-	-
	2	7	-3	9	-8,11	65,79	2	0,28
	3	10	-2	4	-5,11	26,12	3	0,42
	4	12	-1	1	-3,11	9,68	2	0,28
	5	15	0	0	-0,11	0,01	3	0,42
	6	18	1	1	2,89	8,35	3	0,42
	7	20	2	4	4,89	23,90	2	0,28
	8	23	3	9	7,89	62,23	3	0,42
	9	26	4	16	10,89	118,57	3	0,42
Сумма	45	136	0	60	0	416,89
Среднее	5	15,11

    Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.

2) Построить  линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого воспользуемся  Анализом данных в Excel (рис. 4.2).

Рис 4.1

 

 

 

Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.2 и 4.3.

Таблица 4.2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение       а0	1,944	0,249	7,810
t                               a1	2,633	0,044	59,516

 

Во втором столбце  табл. 4.3 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии  зависимости  (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).

Таблица 4.3

Вывод остатков

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	4,58	0,42
2	7,21	-0,21
3	9,84	0,16
4	12,48	-0,48
5	15,11	-0,11
6	17,74	0,26
7	20,38	-0,38
8	23,01	-0,01
9	25,64	0,36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.4

 

3) Оценить  адекватность построенных моделей,  используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель  является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

3.1. Проверим  независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

 

 

 

 

Таблица 4.2

Наблюдение
1	0,42	0,18	-	-	-
2	-0,21	0,04	-0,63	0,42	0,18
3	0,16	0,02	0,37	-0,21	0,04
4	-0,48	0,23	-0,63	0,16	0,02
5	-0,11	0,01	0,37	-0,48	0,23
6	0,26	0,07	0,37	-0,11	0,01
7	-0,38	0,14	-0,63	0,26	0,07
8	-0,01	0,00	0,37	-0,38	0,14
9	0,36	0,13	0,37	-0,01	0,00
Сумма	0,00	0,82			0,70

 

,       

Т.к. расчетное  значение d попадает в интервал от 0 до d₁, т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.