Экономический цикл. Модель Гудвина

Модель Гудвина.

Экономические циклы в  модели Гудвина возникают вследствии изменения и перераспределения национального дохода между трудом и капиталом.

Доля национального дохода, получаемого работником (доля труда  в национальном доходе), в зависимости  от времени t, измеряемого в годах, вычисляется по формуле [6]

 

где W(t) - средняя реальная заработная плата одного работника (ставка реальной заработной платы); L(t) - число занятых работников; Y(t) - национальных доход; - средняя производительность труда.

Приращение доли труда  в национальном доходе за интервал времени  выражается соотношением

 

Из этого соотношения  найдем темп прироста доли труда в  национальном доходе:

 

где W'(t) и q(t) - производные от ставки реальной заработной платы и средней производительности труда по времени.

Из приведенных в скобках  дробей рассмотрим отношение , которое запишем в виде:

 

Если в этой формуле  положить году, а функцию q(t) за этот срок можно представит в виде прямой линии, то можно считать:

 

где - годовой темп прироста производительности труда, причиной которого является технологический прогресс.

Другая дробь может  быть представлена годовым темпом прироста ставки реальной заработной платы:

 

В в общем случае головой темп прироста ставки реальной заработной платы является функцией от показателя занятости, определяемого по формуле

 

где - число занятых при нормальной загрузке производственных мощностей, когда объем предложения на рынке труда равен объему спроса. Если разложить функцию для годового темпа прироста ставки реальной заработной платы в ряд Тейлора и ограничиться линейным слагаемым, то эту функцию можно представить в виде:

 

где и постоянные коэффициенты.

Теперь темп прироста в  национальном доходе можно представить  в виде:

 

Приращение для показателя занятости запишем в виде:

 

Отсюда найдем темп прироста показателя занятости:

 

Так же, как и прежде, темп прироста показателя занятости можно  представить в виде:

 

где - годовой темп прироста числа занятых работников;

- годовой темп  прироста населения.

Из соотношения для  средней производительности труда  можно написать формулу

 

Отсюда находим темп прироста числа занятых работников:

 

Принимаем что темп прироста национального дохода равен тепу прироста капитала а приращение капитала равно инвестициям, т.е Таким образом на инвестиции идет часть национального дохода, оставшаяся после выплат работникам. Поэту инвестиции вычисляются по формуле

 

Используя эти данные, формулу  для темпа прироста капитала можно  записать в виде:

 

где - капиталоемкость национального дохода.

Окончательное выражение  для темпа прироста показателя занятости  можно записать в виде:

 

Соотношения (1) и (2) образуют модель Гудвина. Заменив в этих соотношениях приращения дифференциалами, получим  систему дифференциальных уравнений:

 

Такие системы дифференциальных уравнений решаются обычно приближенными числовыми методами [3].

Пример:

В экономике темп прироста производительности труда составляет капиталоемкость национального дохода темп прироста населения коэффициенты в формуле для темпа прироста ставки реальной заработной платы В начале рассматриваемого процесса имеем прирост показателя занятости а доля труда в национальном доходе

Решение.

Представим данные из примера в систему уравнений, получим:

  

Такую систему дифференциальных уравнений с высокой степенью точности можно решить практически  на любом современном компьютере. Для этих целей можно использовать метод Эйлера. Первым делом выбираются начальные точки интегральных кривых и . Из системы дифференциальных уравнений находят направления касательных к эти интегральным кривым в точке t=0. В положительном направлении идем с шагом до точек и , где , а , . В точках и повторяем тот же прием. То есть из системы дифференциальных уравнений находят направления касательных к интегральным кривым в точке t=h. В положительном направлении идем с шагом до точек и , где , а , и т.д. Используя приведенный прием, рассчитаны графики функций показателя занятости и доли труда в национальном доходе и построены графики этих функций. Результаты приведены ниже.

Таблица 1. Расчет показателя занятости  и доли труда в национальном доходе .

t	δ	υ	t	δ	υ	t	δ	υ
0	0,5	0,96	21	0,426313	0,792143	42	0,455194	0,455055
1	0,479	0,9888	22	0,365472	0,827581	43	0,298167	0,472785
2	0,46715912	1,022617	23	0,321085	0,874675	44	0,198481	0,506053
3	0,465089687	1,060012	24	0,291162	0,932214	45	0,136085	0,551751
4	0,473464705	1,099214	25	0,274079	0,999117	46	0,097035	0,608462
5	0,493126833	1,138024	26	0,269	1,074235	47	0,072493	0,675754
6	0,525088445	1,173729	27	0,27614	1,156091	48	0,057085	0,753804
7	0,570370616	1,203051	28	0,297031	1,242535	49	0,047625	0,843193
8	0,629592595	1,222211	29	0,334908	1,33025	50	0,042287	0,944776
9	0,702201297	1,227199	30	0,395242	1,41408	51	0,040125	1,059607
10	0,785285434	1,214387	31	0,486325	1,48613	52	0,040837	1,188852
11	0,872163271	1,181529	32	0,619421	1,534778	53	0,04473	1,333693
12	0,951458186	1,129031	33	0,807024	1,544164	54	0,05288	1,495142
13	1,007992334	1,06096	34	1,055989	1,49567	55	0,067638	1,673698
14	1,026716558	0,984997	35	1,351035	1,374225	56	0,093761	1,868638
15	0,998993067	0,910784	36	1,630071	1,181549	57	0,14094	2,07652
16	0,927535265	0,847212	37	1,778293	0,949949	58	0,229438	2,287934
17	0,825809979	0,800186	38	1,69288	0,735585	59	0,402609	2,480378
18	0,711940329	0,77205	39	1,393834	0,582159	60	0,75297	2,603103
19	0,601753239	0,762486	40	1,019305	0,495553
20	0,505166644	0,769843	41	0,692446	0,458951

 
 График 1. Динамика занятости  и доли труда в национальном доходе 

Таким образом, если доля труда  в национальном доходе будет равна , то оставшейся доли капитала ( будет достаточно для того, чтобы за счет инвестиций постоянно поддерживать занятость на уровне , несмотря на рост предложения труда. Это свидетельствует о совпадении интересов труда и капитала в длинном периоде. Но в коротком периоде рабочие и предприниматели могут «перетягивать одеяло на себя», тогда вместе с колебанием доли каждой из сторон в национальном доходе будут изменяться уровень занятости и величина национального дохода.

Все множество сочетаний и при которых одновременно соблюдаются равенства системы (Т) образует в пространстве , эллипс (интегральную кривую) с центром равновесной комбинации ,

 

 

 

График 2. Равновесное и неравновесные сочетания υ и δ

 

Только комбинация, представленная точкой E, обеспечивает монотонный рост экономики. Но в таком состоянии экономика может оказаться лишь случайно. Динамическое равновесие в рассматриваемой модели неустойчиво. Отклонение от равновесного сочетания , приводит к круговому движению по интегральной кривой ABCD, обусловливая циклические колебания экономической конъюнктуры. В цикле выделяются четыре фазы.

Экспансия (А→В). В состоянии, представленном точкой A, доля капитала в национальном доходе максимальна при равновесной занятости. Такая ситуация стимулирует рост инвестиций, вследствие которых возрастет спрос на труд. Образуется избыточная занятость, которая в точке B достигает максимума.

Рецессия (В→С). Точка В представляет конъюнктуру с максимальной занятостью и равновесной долей труда в национальном доходе. Вследствие перегрева экономики, происшедшего в предыдущей фазе, возникает спад производства. Несмотря на снижение занятости и цены труда, доля труда в национальном доходе продолжает увеличиваться вследствие опережающего сокращения прибыли.

Депрессия (С→D). В точка С доля предпринимателей в национальном доходе достигает минимума при равновесном уровне занятости. Такая ситуация долго продержаться не может и занятость будет снижаться далее до минимального уровня; одновременно начнет расти доля предпринимателей в национальном доходе.

Оживление (D→А). Рост прибыли сопровождается ростом инвестиций, увеличением занятости, создавая благоприятные условия для очередного бума.

Происходящие в ходе циклического развития экономики несинхронные колебания  уровня занятости и доли труда  в национальном доходе представлены на графике 2.

Обратим внимание на то, что  изменения экзогенных параметров - роста населения, производительности труда, капиталоемкости национального  дохода - не влияют на циклические колебания  конъюнктуры; они определяют только линии тренда, около которых колеблются значения  и .