Контрольная работа по "Экономической теории"

 

 

Таблица 3.4            

			0	2	4	6	8	10		План
			0	10	19	28	33	38
0	0		0	10	19	28	33	38	0	(0,0,0,0)
2	5		5	15	24	33	38		10	(0,0,2,0)
4	11		11	21	30	39			19	(0,2,2,0)
6	15		15	25	34				28	(2,2,2,0)
8	22		22	32					33	(2,2,2,2) (2,2,4,0) (4,2,2,0)
10	26		26						39	(2,2,2,4)

 

Таким образом, оптимальная  программа распределения средств  между 4-мя предприятиями представлена в последнем столбце таблицы 3.4. Наибольший прирост при вложении 10 д. ед. составит 39 д.ед., при вложении 4 д.ед. в 4-е предприятие и по 2-е д.ед. в 1,2 и 3 предприятие.

 

Задача 4

Состояния банка s_1, s₂ , s₃ характеризуются соответственно процентными ставками 5%, 8%, 11%, которые устанавливаются в начале года и не меняются до следующего года. Переходные вероятности постоянны. Спрогнозируйте, какая ставка будет в 2004 году, если в 2000 году процентная ставка была 5%, а размеченный граф состояний представлен на рисунке.

Рисунок 4.1 Граф состояний  банка

Решение

По размеченному графу  на рис. 4.1 выпишем значения переходных вероятностей: р₂₁ = 0,4; р₂₃ = 0,6. Тогда при i = 1, р₂₂ = 1 – (р₂₁ + р₂₃) =  0. Аналогично р₃₁ = 0,1; р₃₂ = 0,3 и, следовательно, р₃₃ = 0,6. Наконец, р₁₂ = 0,2; р₁₃ = 0; р₁₁ = 0,8.

Составим матрицу переходных вероятностей:

 

Обратим внимание на то, что  сумма элементов каждой строки матрицы  Р равна (как и должно быть) единице.

Так как в конце предшествующего  года процентная ставка составляла 5 %, то можно считать, что в начальный момент времени t = 0 система S находилась в состоянии s₁. Поэтому начальное распределение вероятностей имеет вид:

 

Вероятность состояний банка  в конце года, т.е. по прошествии четырех кварталов, можно найти по формуле (p₁(k),…,p_n(k)) = (p₁(0),…,p_n(0))*P^k , при n = 3 и k = 4. Для этого подсчитаем сначала Р²:

 

Тогда

 

При n = 3 и k = 4 с имеем

 

Итак, р₁(4) = 0,6; р₂(4) = 0,18; р₃(4)) = 0,2, т.е. в конце года вероятности процентных ставок 5 %, 8 %, 11 % равны соответственно 0,6;  0,18;  0,2. Таким образом, вероятнее всего процентная ставка к концу года останется такой же, как и была в конце предшествующего года, т.е. 5 %

 

Задача 5

В ремонтной службе выполняется  наладка механизмов. На наладку поступает  в среднем 10 механизмов в час. Наладка  одного механизма занимает в среднем 15 мин. В ремонтной службе работают 3 наладчика. Найти

а) характеристики работы ремонтной  службы

б) вероятность того, что  количество механизмов ожидающих наладки  окажется свыше 5

в) найти характеристики СМО при 4 наладчиках.

 

Решение

а) Ремонтную службу можно  рассматривать как СМО типа М/М/3 без ограничений на очередь. В  этой СМО  механизмов/час = 0,167 механизма/мин, механизма/мин.

Найдем нагрузку на СМО: = 0.833.

Найдем вероятность простоя  по формуле:

 

 

Определим среднюю длину очереди (т.е. среднее количество механизмов, ожидающих наладки) по формуле:

 

Ремонтная служба выполняет  наладку всех поступающих механизмов. Поэтому P_отк=0, Р_обсл=1. Найдем остальные характеристики.

Коэффициент загрузки:

 

Среднее число заявок на обслуживание (среднее число занятых  каналов):

 

Среднее число заявок в  СМО:

 

Пропускная способность  СМО:

 механизма/мин

 

Среднее время пребывания заявки в очереди:

 мин.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 мин.

б) Найдем вероятность того, что количество механизмов, ожидающих  наладки, окажется свыше пяти. Такое  состояние означает, что количество механизмов, находящихся в ремонтной  службе, превышает восемь (три из них – на наладке, остальные –  в очереди). Вероятность такого состояния  находится по формуле:

 

Вероятности P₁, P₂, P₃ найдем по формуле:

 

P₁ = 0,115, P₂ = 0,144, P₃ = 0,12. Вероятности P₄, P₅, …, P₈ найдем по формуле:

 

P₄ = 0,1, P₅ = 0,083, P₆ = 0,069, P₇ = 0,058 , P₈ = 0,048.

Таким образом, P(j>8) = 0.218

 

в) Найдем характеристики СМО при m  = 4:

Найдем нагрузку на СМО: = 0.623.

Найдем вероятность простоя  по формуле:

 

Определим среднюю длину очереди (т.е. среднее количество механизмов, ожидающих наладки) по формуле:

 

Ремонтная служба выполняет  наладку всех поступающих механизмов. Поэтому P_отк=0, Р_обсл=1. Найдем остальные характеристики.

Коэффициент загрузки:

 

 

Среднее число заявок на обслуживание (среднее число занятых  каналов):

 

Среднее число заявок в  СМО:

 

Пропускная способность  СМО:

 механизма/мин

 

Среднее время пребывания заявки в очереди:

 мин.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 мин.

 

Задача 6

Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в  скобках указана пропускная способность  дуги), если начальный поток w_o = 8

 

 

 

 

Решение

Каждой дуге сети приписана  пара чисел (С_ij, j⁽⁰⁾_ij), первое из них соответствует пропускной способности дуги, второе — величине начального потока по данной дуге. В качестве источника выступает вершина    x_l = s, в качестве стока — вершина x₈ = t. Начальный поток w₀=8

Согласно свойствам потока, распределим начальный поток w₀=8 по дугам источника таким образом, чтобы он был распределен по сети с соблюдением всех свойств потока.

 

 

 

 

 

На рис. 6.1 представлено перераспределение потока w₁ = w₀+e_t = w₀+2 = 2+8=10, а также показано существование увеличивающей цепи из s в t          (s, x₃, x₂, x₅, t)

 

 

 

Рисунок 6.1

 

На рис. 6.2—6.3 представлено существование увеличивающей цепи из s в t и перераспределение потоков w₂=w₁+e_t и w₃=w₂+e_t.

 

 

 

 

 

Рисунок 6.2

 

 

 

Рисунок 6.3

 

 

 

 

Рисунок 6.4

Рис. 6.4 демонстрирует отсутствие увеличивающей цепи от s к t. Следовательно, поток w₄=14 является максимальным.