Модели сетевого планирования и управления

Свободный резерв присущ только данной работе, и его использование  никак не  повлияет на выполнение последующих работ. Только отдельные работы проекта обладают свободным резервом времени.

Независимый резерв времени работы (i,j) – это часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки:

.                                                         (5.11)

Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

5.4. Сетевое планирование в условиях неопределенности

При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Однако чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из диапазона возможных значений. Другими словами, продолжительность работы является случайной величиной, характеризующейся своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками – средним значением, или математическим ожиданием, и дисперсией .

Практически во всех системах сетевого планирования и управления априори принимается, что распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодельностью; в) функция, описывающая распределение, неотрицательна в области неотрицательных значения аргумента.

Кроме того, установлено, что распределение продолжительности работ обладает положительной асимметрией, т.е. максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, круто поднимается слева от максимального значения и полого опускается справа (рис. 5.2).

Простейшим распределением с подобными свойствами является известное в математической статистике распределение Релея:

.

Анализ большого количества статистических данных показывает, что это распределение можно использовать в качестве априорного для всех работ.

Рисунок 5.2 – Распределение Релея

Для определения числовых характеристик и этого распределения для работы используют реальные статистические данные о продолжительности работ.

Пусть известны случайные длительности работы . Оценку неизвестного параметра можно осуществить методом максимума правдоподобия. Для этого необходимо составить функцию правдоподобия

.

Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид

Максимизация полученного выражения по дает максимально правдоподобную оценку этого параметра. Для этого продифференцируем выражение по и приравняем производную к нулю

.

Отсюда

,

тогда

.                                                                                    (5.12)

Для распределения Релея известно соотношение между значениями математического ожидания и дисперсией :

.                                                                      (5.13)

Зная и , можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность. Но при этом необходимо учесть, что эти параметры являются средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события , средним значением полного резерва времени выполнения работы и т.п. Причем, чем больше суммарная дисперсия продолжительности работ критического пути, тем более вероятны значительные по абсолютной величине отклонения.

Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока . Такая вероятность будет равна

.

Если сетевой график включает в себя большое количество работ (более 20), то считают что – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения. В этом случае вероятность того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока , вычисляется следующим образом:

.                                                        (5.14)

Когда вероятность мала (например, меньше 0,3), то опасность срыва заданного срока выполнения комплекса велика, необходимо принятие дополнительных мер (перераспределения ресурсов по сети, пересмотр состава работ и событий и т.п.). Если значительна (например, более 0,8), то очевидно, с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.

6. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

6.1. Основные понятия

Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов позволяет высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что, в конечном счете, повышает эффективность используемых ресурсов.

Рассмотрим основные характеристики моделей управления запасами.

Спрос. Спрос на запасаемый продукт может быть детерминированным (в простейшем случае – постоянным во в времени) или случайным. Случайность спроса описывается либо случайным моментом спроса, либо случайным объемом спроса в детерминированные или случайные моменты времени.

Пополнение склада. Пополнение склада может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания запасов, т.е. снижения их до некоторого уровня.

Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном исчерпании запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня – так называемой точки заказа.

Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно. В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный или случайный интервал времени.

Стоимость поставки. Как правило, предполагается, что стоимость каждой поставки слагается из двух компонент – разовых затрат, не зависящих от объема заказываемой партии, и затрат, зависящих (чаще всего – линейно) от объема партии.

Издержки хранения. В большинстве моделей управления запасами объем склада считается практически неограниченным, а в качестве контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом полагается, что за хранение каждой денежной единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.

Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т.п. Эти убытки называются штрафом за дефицит.

Номенклатура запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многономенклатурный запас.

Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т.п.

В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т.п.) и затраты на штрафы.

Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и расхода запасами, при котором функция затрат принимает минимальное значение.

Рассмотрим простейшую модель управления запасами.

Пусть функции выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени . В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени , называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Если функции – не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер – стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае – динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические – в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решений с учетом происходящих изменений.

Уровень запаса в момент определяется основным уравнением запасов

,                                                         (6.1)

где начальный запас в момент .

Уравнение (6.1) чаще используется в интегральной форме:

.                                                        (6.2)

6.2. Статическая детерминированная модель без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций и . Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени продолжительности равно . Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. . Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

.                                                                                     (6.3)

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т.е. функция не является непрерывной: при всех , кроме моментов поставки продукта, когда , где объем партии. Так как интенсивность расхода равна , то вся партия будет использована за время

.                                                                                    (6.4)

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии , т.е. . Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис 6.1.

Рисунок 6.1 – Уровень запаса в зависимости от времени

На временном интервале уровень запаса уменьшается по прямой от значения до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения повторяется на каждом временном интервале продолжительностью (рис.6.1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии , при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными, т.е.

,                                                                      (6.5)

где затраты на создание запаса,

затраты на хранение запаса.

Найдем величины за весь промежуток времени .

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны , а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени - . Так как за время  необходимо запастись единицами продукта, который доставляется партиями объема , то число таких партий равно:

.

Тогда затраты на создание запаса составят:

,

а затраты на хранение запаса

.

Таким образом, целевая функция (6.5) примет вид

.

Для этой задачи Уилсоном была найдена формула наиболее экономичного объема партии

.                                                                                    (6.6)

Минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

.

Число оптимальных партий за время

.

Время расхода оптимальной партии равно

.                                                                      (6.7)

6.3. Статическая детерминированная модель с дефицитом

В рассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при спрос сохраняется с той же интенсивностью , но потребление запаса отсутствует - , вследствие чего накапливается дефицит со скоростью . График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 6.2. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 6.1 характеризует накопление дефицита.