Модели сетевого планирования и управления

Рисунок 6.2 – Изменение уровня запаса с учетом дефицита

Из рис. 6.2 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т.е. , где время, в течение которого производится потребление запаса, время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет ликвидирован в момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса в момент поступления каждой партии теперь не равен объему партии , а меньше его на величину дефицита  , накопившегося за время (рис. 6.2).

Легко установить, что

.

В данной модели в функцию суммарных затрат наряду с затратами (на пополнение запаса) и (на хранение запаса) необходимо ввести затраты штраф из-за дефицита, т.е

.                                                        (6.8)

Затраты , как и ранее, составляют величину

.

Затраты равны затратам на хранение среднего запаса

.

А затраты определяются следующим образом

,

где штраф за дефицит в единицу времени на каждую единицу продукта.

Таким образом, целевая функция (6.8) примет вид

.                                          (6.9)

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии и максимального уровня запаса , при которых функция (6.9) принимает минимальное значение.

В результате решения задачи можно получить формулы наиболее экономичного объема партии и максимального уровня запаса для модели с дефицитом:

,                                                                                    (6.10)

,                                                        (6.11)

где плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса и определяется по формуле

.                                                                      (6.12)

Из сравнения формул  (6.6) и (6.10) следует, что оптимальные объемы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

,                                                                      (6.13)

откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (), чем в задаче без дефицита.

6.4. Стохастические модели управления запасами

Предположим, что спрос за интервал времени является случайным и задан его закон распределения или плотность вероятностей (обычно функции и оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос ниже уровня запаса , то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат на единицу продукта; наоборот, если спрос выше уровня запаса , то это приводит к штрафу за дефицит на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе , имеющем закон распределения , математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

.                                          (6.14)

В выражении (6.14) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка единиц продукта (при ), а второе слагаемое – штраф за дефицит на единиц продукта (при ).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей , выражение принимает вид:

.                                           (6.15)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса , при котором математическое ожидание суммарных затрат (6.14) или (6.15) принимает минимальное значение.

Можно доказать, что при дискретном случайном спросе выражение (6.14) минимально при запасе , удовлетворяющем неравенствам

,                                                                       (6.16)

а при  непрерывном случайном спросе выражение (6.15) минимально при значении , определяемом из уравнения

,                                                         (6.17)

где

есть функция распределения спроса , и – ее значения; плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по формуле (6.12).