Лекции по "Биофизике"

Изображающая точка – точка на фазовой плоскости, отражает состояние системы в определенный момент времени. Фазовый портрет – совокупность фазовых траекторий, отражающих качественные черты поведения системы во времени.

P(x;y)=0 –

Q(x;y)=0 –

стационарное состояние

Для нахождения особой (стационарной) точки, необходимо построить на фазовой плоскости кривые P(x;y)=0; Q(x;y)=0. Очевидно, особая точка будет находиться в месте пересечения этих кривых.

dx/dt=k1A – k1x+k2y-kx=P(x,y)

dy/dt=k2x-k-2y-k3y+k3B=Q(x,y)

y=-C1x+C2

y=C3x+C4

C – коэффициент пропорциональности

Графики могут пересекаться в нескольких точках (если это кривые), следовательно существует несколько стационарных состояний.

Фазовый портрет триггерной системы

 

Типы устойчивости особых точек

Важной задачей является определение устойчивости особых точек. Производится по виду правых частей исходной системы уравнений. Об устойчивости стационарного состояния системы судят по поведению системы в случае небольшого отклонения от стационарной точки.

e=x-xст

h=у-уст

Для определения характера устойчивости необходимо одновременно учитывать поведение во времени отклонений e и h. Существуют специальные уравнений, описывающие e и h.

e(t)=C11el1t+C12el2t

h(t)=C21el1t+ C22el2t

Особый смысл имеют l1 и l2 – это экспоненциальные показатели

l1,2 =

a,b,c,d – значения частных производных в точке (хстац;устац). От вида l1,2 зависит поведение отклонений e и h соответствующих поведению х и у в особой точке (окресностях). l1,2 это либо действительные числа, либо комплексно-сопряженные (если под знаком корня дробь).

1. l1 и l2 < 0  то есть они являются действительными отрицательными числами,  значение e и h будут со временем снижаться, то есть отклонение системы от особых точек со временем будет . В этом случае стационарное состояние является устойчивым, а особая точка называется устойчивый узел, такой точке соотвествует особый тип фазового портрета.

Рисунок. Система будет возвращаться по какой-то траектории в стационарное состояние.

 

 

2. l1 и l2 > 0, действительные положительные числа e и h будут увеличиваться со временем, следовательно первоначальное состояние было неустойчиво и система все дальше будет отклоняться от состояния равновесия.

Неустойчивый узел. Фазовый портрет такой же, но стрелки на периферию.

3. l1 и l2 действительные числа разных знаков.

Рисунок. Тогда на фазовом портрете системы будет существовать особая точка типа "седла". Сопаратиссы.

 

 

 

 

 

 

Из любого начального положения на фазовой плоскости кроме особой точки сепаратисс система будет удаляться из стационарного состояния. Если l1 и l2 комплексно-сопряженные числа, то изменения во времени e и h носят колебательный характер. Частные случаи:

1. Действительные l1 и l2 < 0,

Рисунок. Re<0, то колебания ситемы носят затухающий характер. Особая точка на фазовом портрете будет называться устойчивый фокус.

 

 

 

2. Действит l1 и l2 > 0,

Рисунок. Cтрелки на фазовом портрете направлены наружу, неустойчивый фокус

 

 

 

3. Re l1 и l2 = 0,

Рисунок. В этом случае l1 и l2 превращаеются в мнимые числа, фазовые траектории будут представлять собой эллипсы, не проходящие через начало координат. В начале координат находится неустойчивая точка (центр). Необольшие возмущения в системе переводят ее с одной траектории на другую, то есть изменяется амплитуда колебания.

Первые пять типов состояния равновесия являются грубыми, так как их характер не изменяется существенно при небольших изменениях правых частей исходного уравнения, а так же из проиводных первого порядка. Эти типы устойчивости характерны для био систем, так как они должны определенным запасом грубости. Такой запас позволяет им сохранить основные динамические свойства при умеренных внешних воздействиях.

 

Биологические триггеры

(Триггер – спусковой крючок  у оружия)

Любая триггерная система способна переключаться с одного режима на другой. Ф.п. стриггер системы характризуются  как минимум двумя стационарными точками (А и С)

 Рисунок. 2 вида переключения.

1) силовое переключение осуществляется  при значительном изменении переменных х или у.

3. связан с наличием управляющего параметра. Он оказывает влияние на величину обеих переменных х и у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После этого можно восстановить значение управляющего парметра, что приведет к восстановлению исходного вида фазового портрета, однако система при этом остается в устойчивой точке С.

 

Колебательные процессы

характерная черта био систем. Частые колебания промежуточных продуктов био-хим реакций, численности видов, потенциала мембраны и т.д.

В любом организме существует набор био-хим процессов, в их основе лежат внутренние свойства системы. Причины колебаний во внутренних динамических свойствах системы. Автоколебательные процессы. Тип фазового портрета – устойчивый предельный цикл. Замкнутая траектория, не проходящая через начало координат. С наружной и внутренней стороны подходят спиральные траектории. Система работает в устойчивом колебательном режиме. Если система в силу внешних воздействий выйдет из такого режима, то в силу своих свойств она вернется на замкнутую траекторию. Возвращение будет осуществляться по спиральной траектории. Переход движения вдоль траектории предельного цикла в автоколебательной системе не зависит от начальных условий.

 

Распределение биологической системы

В био кинетике предполагается изменение переменных не только во времени но и в пространстве, в биохимии важнее изменения во времени. В отличие от точечные, такие модели, которые учитывают измениения переменных во времени и в пространстве, называются распределенными. Таким образом, в распределенных системах будут 2 параллельных процесса – хим превращения в отдельных точках пространства и процесс диффузии веществ из области высокой в область низкой концентрации. То есть происходит перенос вещества между соседними элементарными отсеками. В реальных био системах часто существует пространственное распределение источников энергии. Эти системы называются активные распределенные системы.

Анализ распределенной системы:

Состояние системы уравнений, отражающих хим реакцию и диффузию реагента. Max простой пример распределенной системы – система, в которой имеется одна переменная Х, одновременно участвующая в хим процессе и диффунцирующая вдоль узкой трубки. r – учитывается размер трубки. Диффузионный поток вещества – масса вещества, проходящего через единицу площади перпендикулярной к направлению диффузии (ось х), пропорционален градиенту вещества, взятому с обратным знаком.

I = –D*ds(r,t)/dr,

D – коэффициент диффузии, t – время, C – концентрация, изменение концентрации во времени за счет диффузии в элементарном объеме трубки, заключенном между точками r и r+Dr, зависит от разности потоков в точках r и r+Dr. Если D const, то изменение С во времени (скорость изменения С) =

dc/dt=D*d2c(r,t)/dr2,

уравнение диффузии, оно описывает скорость изменения С в системе, в которой происходит только диффузия вещества. Но по условию, в распределенной системе параллельно происходит и хим превращение вещества. Величиной, отражающей хим превращение в системе, является величина точечных членов, которая обозначается, как функция концентрации.

dc/dt=f(c)+D*d2c(r,t)/dr2,

выражение отражает химическое превращение и изменение концентрации. В этой системе изменения происходят только по оси Х. В системах, в которых происходят колебательные процессы невозможно отразить их поведение с помощью одного уравнения, поэтому в данном случае используются базовые модели с двумя переменными:

dx/dt=P(x,y)+Dx*d2x/dr2,

dy/dt=Q(x,y)+Dy*d2y/dr2

Такая базовая модель позволяет качественно описать процессы самопроизвольного возникновения волн и структур в распределенных системах. В общем, они называются самоорганизацией, она возникает, когда в системе появляется неустойчивость, приводящая к потере исходного распределения веществ во времени и пространстве. Вместо этого устанавливается новое распределение вещство во времени и пространстве. Характер самоорганизации зависит от функции f (P,Q) (точечных членов) и D, в частности существуют следующие виды самоорганизации:

1. Распределение возмущения в виде бегущего импульса (нервный импульс).
2. Стоячие волны.
3. Синхронные автоколебания разных элементов во всем пространстве системы.
4. Стационарные неоднородные распределения переменных в пространстве (диссипативные структуры).
5. Генерация волн автономными источниками импульсной активности (локальные кратковременные флуктуации переменных).

Общим условием возникновения процессов самоорганизации всегда является появление неустойчивости в исходной распределенной системе.

 

 

 

 

 

 

 

Молекулярная биофизика

Предмет молекулярной биофизики

Изучает строение и физ хим свойства биофункциональных молекул (прежде всего биополимеров). Основной задачей мол биофизики является вскрытие физических механизмов, ответственных за био функциональность этих молекул (напимер, ферментативная активность белков).

Методы: ЭПР, ЯМР, рентгеноструктурный анализ, биохимические технологии.

Стремится выяснить основные детали структуры и функции молекул. Основное свойсто – хиральность биомолекул. Большинство молекул, содержащих больше 3х атомов, не имеют ни центра, ни плоскости симметрии. Их можно назвать диссиметричные, или хиральные. В био молекулах связи С могут быть заняты, как одинаковыми, так и разными группами.

СХ2НZ молекула будет иметь плоскость симметрии. Рисунок

 

 

 

 

 

 

Из 20 а-к хиральность свойственна 19, ей не обладает глицин. В процессе хим синтеза из исходных симметричных молекул хиральное вещество образуется всегда в виде рацимической смеси, которое содержит по 50% молекул D, L – форм хирального вещества. Состояние с максимальной энтропией.

В живой природе имеется фиксация в био структурах какой-либо одной формы хиральных веществ (например в ДНК и РНК всегда D-форма углеводов). С позиции биофизики это объясняется фиксацией информации, то есть выбор одного антипода равнозначен информации в 1 бит.

L-аспарагиновая кислота не имеет вкуса, D-аспарагиновая кислота сладкая. Существуют некоторые яды, вызывающие токсический эффект в одной форме и безвредные в другой. Это свойство открыто в 1848 г. Л. Пастером.

 

Виды взаимодействий биологических молекул

Основой структуры биологических молекул являются сильные связи – химические ковалентные связи. Биомолекулы отличаются высоким содержанием С, между С–С сильная связь, энергия разрыва равна 328,9 кДж/моль. Сильные связи присутствуют там, где содержатся мономерные звенья. Сильные связи образуются внешними электронами атомов, поэтому для исследования их особенностей используется раздел Квантовая Химия. Но есть важный недостаток сильной связи, они создают жесткий каркас.

Слабые связи основаны на действии невалентных слабых сил, и на их базе формируются биомолекулы. Различаются взаимодействия белковых молекул с другими видами молекул. На базе слабых связей осуществляется тонкая регуляция химических взаимодействий, компартментализация, градиент.

Слабые связи характеризуются преобладанием сил притяжения на больших расстояниях и преобладанием сил отталкивания на близких расстояниях.

Рисунок 1

График зависимости потенциальной энергии слабого взаимодействия от расстояния между двумя взаимодействующими частицами молекулярной природы.

R0 – минимальный потенциал энергии взаимодействия. В точке, соответствующей R0 силы притяжения равны силам отталкивания. Если расстояние меньше R0 , то преобладают силы отталкивания. Если расстояние больше R0, то преобладают силы притяжения. R0 оптимальное расстояние, на котором и будут находиться взаимодействующие частицы.

Вторичная структура биомолекул зависит от различных видов слабых связей.

1. Ионное взаимодействие.

взаимодействие между двумя ионами с зарядами l1 и l2 . Потенциальная энергия в данном случае находится по формуле:

Uион=(l1 + l2)/e*R,

R – расстояние между ионами,

e – диэлектрическая проницаемость среды,

l1 и l2 – заряды ионов.

Величина Uион зависит от зарядов ионов. Если заряды противоположны, то Uион<0 – притяжение, если заряды имеют одинаковый знак – силы отталкивания преобладают.

Ионные взаимодействия: между ионогенными группами белков, малыми противоионами, фосф группами нуклеиновых кислот и катионами.

2. Ион-дипольные взаимодействия.

взаимодействия между ионами и полярными группами молекул.

Энтропия этого взаимодействия определяется зарядом иона, дипольным моментом взаимодействующей с ним атомной группы, а так же расстоянием между ними.

P = e*l   →   U = e*P/ε*R

P – дипольный момент,

l – расстояние между центрами диполя.

3. Ориентационное взаимодействие

взаимодействие между двумя диполями или группой диполей, присутствующих в некоем участке пространства Рисунок

a) между двумя диполями:

P1 = e1*l1,

P2 = e2*l2,

e – заряд электрона, l – расстояние м/д центрами диполя.

Uориент= 2P1*P2/R3.

б) группа диполей не может выстроиться в антипараллельное положение, будет наблюдаться некоторое усреднение взаимодействия между ними.