Неустановившееся движение газа в пористой среде (дифференциальные уравнения Л.С. Лейбензона)

Для нахождения составим уравнение материального баланса. Начальный запас газа (при р = р_k) в зоне пласта радиусом R(t):

 

     (34)

 

Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление :

 

    (35)

 

где определяется по формуле установившейся фильтрации

 

        (36)

Так как  отбор газа происходит с постоянным дебитом  , отобранная масса газа к моменту t равна . Таким образом,

 

 

или, с  использованием (34)-(35), найдем:

      (37)

 

Подставив в последнее соотношение выражение (36) для средневзвешенного давления и (32) для получим:

 

откуда

или

        (38)

Для значений времени, для которых  , имеем

 

.           (39)

 

Теперь, зная закон движения границы возмущенной  области в виде (38) или (39), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (33), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени

 

  ,      (40)

      (41)

 

Формулы (40) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного  открытого и закрытого пласта радиусом . В последнем случае они справедливы только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т. е. для

 

 

Изменение давления во второй фазе зависит от граничных условий пласта. Если пласт  закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая  границу. Если пласт открытый или ), т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией , где

 

 

 

§ 5. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ

 

Рассмотрим  еще один приближенный метод применительно  к задачам неустановившейся фильтрации газа метод усреднения временной  производной по пространству.

В качестве примера рассмотрим прямолинейно-параллельную фильтрацию реального газа. Соответствующее  этому случаю точное дифференциальное уравнение имеет вид

 

        (42)

 

Сделаем допущение, что коэффициент сверхсжимаемости z(p) можно заменить на , где -некоторое среднее давление в области фильтрации. Введем обозначение Тогда уравнение (42) примет вид

 

        (43)

 

Пусть имеется  первоначально невозмущенный газонасыщенный пласт шириной В, толщиной h, длиной L. С трех сторон пласт ограничен непроницаемыми поверхностями, а с четвертой стороны (x = 0) вскрыт галереей. В момент t = 0 через галерею начинает отбираться газ с постоянным массовым дебитом, который в соответствии с законом Дарси можно записать н виде

 

 

Требуется определить давление в пласте в любой  момент времени t >0. Для этого нужно найти решение уравнения (43) в области изменения , , удовлетворяющее начальному и граничным условиям

 

 при  ;          (44)

 при x=0, где ;      (45)

 при x=L.         (46)

 

Принимаем, что в каждый момент времени существует конечная возмущенная область l(t), на границе которой выполняются условия

 

, при x=l(t)        (47)

 

Центральным моментом в рассматриваемом методе, усреднения является принятие условия

 

,          (48)

 

равносильного предположению, что во всей части  пласта охваченной возмущением, давление изменяется с одинаковой скоростью, тогда уравнение (43) принимает вид

 

.         (49)

 

Проинтегрировав это уравнение дважды по х, получим:

 

.         (50)

Использовав граничные условия на галерее (45) и на границе возмущенной области (47), найдем константы интегрирования b и с, а также функцию F

 

, ,

 

В результате получим

 

, ,      (51)

 

Найдем  зависимость l(t). Для этого проделаем следующие преобразования: дважды проинтегрируем исходное уравнение (43) по координате и по времени

 

 

 

в результате, используя граничные условия (45) и (47) получим выражение для средневзвешенного  давления

 

         (52)

 

Примем  гипотезу, что средневзвешенное давление, которое находится по формуле

 

для данного  случая определяется из соотношения:

 

 (53)

 

Приведем  выражения для  (52) и (53) к безразмерному виду и приравняем их

 

       (54)

 

Уравнение (54) служит для определения функции  l(t). Однако можно получить очень простую приближенную искомую зависимость. Обозначим и разложим в ряд правую часть (54)

 

 

Удержав два первых члена ряда, получим

 

 

Тогда (54) примет вид

 

 

Откуда

 

.          (55)

 

Подставив полученное выражение в формулу (51), получим явную зависимость  давления от координаты и времени.

В момент Т, когда возмущенная зона достигнет непроницаемой границы пласта (l = L), закончится первая фаза.

Для определения  ее продолжительности положим в  уравнении (54) l = L и выразим время Т

 

       (56)

 

Можно найти  приближенное значение Т из формулы (55) и убедиться, что погрешность не превышает 3-4%.

В течение  второй фазы давление на границе х = L падает и выполняется условие (46). Соотношения для второй фазы истощения  газового пласта строятся аналогичным  образом. Проделав аналогичные выкладки, получим закон распределения  давления по пласту

 

         (57)

 

и закон  изменения давления на галерее

 

.        (58)

 

 

§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ К ЗАДАЧАМ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА

 

Для решения  линеаризованного уравнения неустановившейся фильтрации (15) используется метод суперпозиции (метод наложения потоков). Это  уравнение – линейное и однородное относительно р², поэтому если р₁(х, у, z, t), р₂(х, у, z, t) , ..., р_n(х, у, z, t) определяют распределения давления, вызванные работой первой, второй ... , n-й скважин, и являются решениями уравнения (15), то линейная комбинация их квадратов тоже будет решением уравнения (15).

При помощи метода суперпозиции можно решать различные  задачи, которые используются при  проектировании разработки газовых  месторождений,

Используя этот метод, выведем формулу для  восстановления забойного давления после остановки газовой скважины, и покажем, как по кривой восстановления давления определяются коллекторские свойства пласта.

Предположим, что газовая скважина в бесконечном  пласте эксплуатировалась в течение  длительного промежутка времени Т с постоянным дебитом и в момент Т внезапно остановлена, т.е. приток газа к забою мгновенно прекратился.

Используя принцип суперпозиции, будем считать, что в момент t = Т

в дополнение к добывающей скважине, работающей с дебитом Q,_ат, начала работать нагнетательная скважина с тем же дебитом.

Тогда

 

     (59)

 

Кроме того, в момент остановки скважины Т выполняется равенство

 

       (60)

 

Вычитая почленно (59) из (60), получим

 

 

Если  скважина работала до остановки в течение длительного времени Т и t – Т<< Т, то

 

 

и членом ln(t/Т) можно пренебречь. Тогда имеем

 

      (61)

 

Примем  момент остановки Т за новое начало отсчета времени:

t'=t-T, тогда формула (61) запишется в виде: 

 

      (62)

 

Кривая  восстановления забойного давления приведена на рис. 2. Легко видеть из последней формулы, что зависимость  от In t' – линейная (рис. 3). Выделим в правой части формулы (62) член, содержащий In t^’:

    (63)

 

Очевидно, что i= представляет собой тангенс угла наклона прямой АВ к оси абсцисс, а ОА - отрезок, отсекаемый прямой АВ на оси ординат, равен

 

      (64)

 

При исследовании тазовых скважин на неустановившихся режимах, которые проводятся с целью  определения коллекторских свойств пластов, получают значения в разные моменты времени t' после остановки скважины.

 

Рис.2. Кривая восстановления забойного давления после остановки скважины

 

Рис.3. Зависимость от In t'

Эти данные обрабатывают в координатах  от In t' (или Ig t').

Экспериментальные точки показаны на рис. 3. Обычно на опытной  кривой можно выделить прямолинейный  участок, по которому определяют значения i= и ОА. Зная эти величины, а также дебит скважины до остановки , можно определить коэффициент гидропроводности пласта

 

          (65)

и комплексный  параметр

.          (66)

 

Отметим, что на участке АС опытные точки  отклоняются от прямой за счет притока газа в скважину после ее закрытия, который не учитывается в соотношениях (59)-(61), а также за счет некоторых других факторов.

Зависимость (59) можно записать также в виде

 

        (67)

 

Кривые  восстановления давления после остановки  газовых скважин обрабатывают также  по методу Хорнера в координатах , . Уравнение (67) в этих координатах представляет собой прямую. По углу наклона прямой можно определить коэффициент гидропроводности по формуле (65); экстраполируя ее до оси ординат = 0 получают пластовое давление , которое, как правило, неизвестно.

 

 

§ 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОБ ОТБОРЕ ГАЗА ИЗ ЗАМКНУТОГО ПЛАСТА ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЯ  МАТЕРИАЛЬНОГО БАЛАНСА

 

Рассмотрим  несколько задач об отборе газа из замкнутой круговой газовой залежи радиусом R_к.

В центре належи находится скважина радиусом . До вскрытия пласта скважиной давление по всей залежи постоянно и равно р_н.

Будет рассмотрено  два простейших случая: а) отбор производится с постоянным дебитом Q_ат, б) забойное давление р_с сохраняется постоянным.

В случае а) нас будет интересовать падение  давления на границе пласта и на забое скважины , в случае б) – падение давления на границе и падения дебита .

Обе задачи решаются методом последовательной смены стационарных состояний, т.е. с использованием законов стационарной фильтрации газа и уравнения истощения  газовой залежи. Это последнее  уравнение – уравнение материального  баланса – заключается в том, что количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежуток времени, равно уменьшению запасов  газа в пласте. Так как пласт  замкнут, то запасы ограничены и не пополняются извне.

Если  -плотность газа, соответствующая средневзвешенному давлению в пласте , а -объем порового пространства, принимаемый постоянным, то уменьшение запасов газа за бесконечно малый промежуток времени dt запишется в виде

 

       (68)

 

Отобранная  масса газа за тот же промежуток времени

        (69)

 

Приравняв выражения (68) а (69), получим дифференциальное уравнение истощения газовой  залежи

 

         (70)

 

Рис. 4. динамика давления на границе замкнутого газового пласта и забойного давления при отборе газа с постоянным дебитом

 

Б. Б. Лапуком было установлено, что при одинаковых граничные условиях кривая распределения давления в пласте в случае неустановившейся фильтрации располагается несколько выше соответствующей кривой для установившейся фильтрации. Поэтому мы примем условие к заменим s уравнении (70) величину на .

 

         (71)

 

Рассмотрим  случай а), когда Q_ат = const. При этом

 

          (72)

 

Проинтегрировав это уравнение, учтя, что  при t = 0, получим

 

          (73)

 

т.е. давление на границе пласта падает по линейному  закону с течением времени (рис.4). Чтобы  найти закон изменения забойного  давления с течением времени, запишем  формулу для дебита скважины

 

         (74)

 

и выразим  из нее забойное давление

 

.         (75)

 

Отсюда  с учетом выражения (73) для р_k найдем:

 

       (76)

 

График  изменения  приведен на рис. 4.

 

Рис. 5. Динамика давления на границе замкнутого газового пласта и дебита  при постоянном забойном давлении

 

В случае б), когда р_с = const, для определения зависимости р_k от t, подставим выражение для дебита (74) в уравнение (72) и разделим переменные