Инвестиционный портфель

Пусть формируется портфель из n ценных бумаг. Ожидаемое значение дохода по i-й ценной бумаге (Еi) рассчитывается как среднеарифметическое из отдельных возможных доходов Ri с весами Pij, приписанными им вероятностями наступления:

 

где сумма Pij = 1

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Таким образом, риск выражается отклонением значений доходов от наиболее вероятного значения. Мерой рассеивания является среднеквадратичное отклонение σi, и чем больше это значение, тем больше риск:

 
   В модели Марковица для измерения риска вместо среднеквадратичного отклонения используется дисперсия Di, равная квадрату σi,так как этот показатель имеет преимущества по технике расчетов:

 

Инвестора, желающего оптимально вложить капитал, интересует не столько сравнение отдельных видов ценных бумаг между собой, сколько сравнение всевозможных портфелей, так как это позволяет использовать эффект рассеивания риска, т.е. определяется ожидаемое значение дохода и дисперсия портфеля. Ожидаемое значение дохода E портфеля ценных бумаг определяется как сумма наиболее вероятных доходов Еi различных ценных бумаг n. При этом доходы взвешиваются с относительными долями Xi(i = 1...n), соответствующими вложениям капитала в каждую облигацию или акцию:

 

Так как изменение курса акций на рынке происходит не изолированно друг от друга, а охватывает весь рынок в целом, дисперсия зависит не только от степени рассеяния отдельных ценных бумаг, а также от того, как все они в совокупности одновременно понижаются или повышаются по курсу, т.е. от корреляции между изменениями курсов отдельных ценных бумаг. При сильной корреляции между отдельными курсами (если все акции одновременно повышаются или понижаются) риск за счет вкладов в различные ценные бумаги нельзя ни уменьшить, ни увеличить. Если же курсы акций абсолютно не коррелируют между собой, то в предельном случае (портфель содержит бесконечное число акций) риск можно было бы исключить полностью, так как колебания курсов в среднем были бы равны нулю.

В качестве показателя корреляции курсов акции Г. Марковиц использует ковариацию Сik между изменениями курсов отдельных ценных бумаг. Таким образом, дисперсия всего портфеля рассчитывается по следующей формуле:

 

По определению, при i = k Cij равно дисперсии акции. Это означает, что дисперсия, а значит, и риск данного портфеля зависят от риска данной акции, ковариации между отдельными акциями (систематического риска рынка) и долей Xi отдельных ценных бумаг в портфеле в целом.

Г. Марковиц разработал очень важное для современной теории портфеля ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны, это так называемый систематический риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой — специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей Xi в общем объеме должна равняться единице:

 

Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле (значений X), которые наиболее выгодны для владельца. Г. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т. е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые наиболее рискованные. Это портфели, содержащие при одинаковом доходе больший риск (дисперсию) по сравнению с другими, или портфели, приносящие меньший доход при одинаковом уровне риска.

При помощи разработанного Г. Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели, не удовлетворяющие ограничениям. В итоге остаются только эффективные портфели, т.е. имеющие минимальный риск при заданном доходе или приносящие максимально возможный доход при заданном максимальном уровне риска, на который может пойти инвестор.

Данный факт имеет очень большое значение в современной теории портфелей ценных бумаг. Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентном составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей. Выбор конкретного портфеля зависит от максимального риска, на который готов пойти инвестор.

На «Рисунке 1» представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели. Портфель является эффективным, если он удовлетворяет ограничениям, и, кроме того, для заданного дохода, например, E1 содержит меньший риск R1 по сравнению с другими портфелями, приносящими такой же доход E1, или при определенном риске R2 приносит более высокий доход Е2 по сравнению с другими комбинациями с R2.

Рисунок1 - Недопустимые, допустимые и эффективные портфели

Модель Шарпа. Главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. В 1963 г. американский экономист Уильям Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей. В модели Шарпа используется гораздо меньшее количество информации (ее можно считать упрощенной версией модели Марковица). Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют моделью единичного индекса (одноиндексная модель Шарпа).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины – независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста ВВП, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а норму отдачи rm – рыночной нормой отдачи.

Пусть норма отдачи rm принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = αi + βirm,t + εi,t

где ri,t - доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

αi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

βi - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

εi,t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру βi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности. В общем случае, если βi>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при βj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом β > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с β < 1 - менее рискованными.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

 

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для ri из формулы (8):

 

 

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (10) можно представить в виде:

 

 

 

При этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: . Выражение (11a) представляет собой сумму взвешенных величин “беты” (βi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) и называется портфельной бетой (βn). С учетом выражений (10) и (11) формулу (9) можно записать так:

 

а поскольку E(εi) = 0, то окончательно имеем:

 

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров αi каждой ценной бумаги –

W1α1 + W2α2 + .... + Wnαn, что отражает вклад в E(rn) самих ценных бумаг;

 
 
то есть произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

 

При этом только необходимо иметь в виду, что , то есть (Wn+1)2=(W1β1 + W2β2 + ... + Wnβn)2, а Значит дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат Wi, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (специфический, несистематический риск);

б) βn2 σm2 - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя σm2, где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (неспецифический, систематический риск).

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:  необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля (14) при следующих условиях:    

 

 

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1) Выбрать  n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri,t каждой ценной бумаги.

2) По  рыночному индексу (например, AK&M) вычислить рыночные доходности rm,t для того же промежутка времени.

3) Определить  величину дисперсии рыночного показателя σm2 , а также значения ковариаций σi,m доходностей каждой ценной бумаги с рыночной нормой отдачи и найти величины βi:

βi =

4) Найти  ожидаемые доходности каждой  ценной бумаги E(ri) и рыночной доходности E(rm) и вычислить параметр αi:

αi = E(ri) - βiE(rm)

5) Вычислить  дисперсии σε,і2  ошибок регрессионной модели.

6) Подставить  эти значения в соответствующие  уравнения.

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

Модель выравненной цены (арбитражного ценообразования).

Целью арбитражных стратегий является использование различий в цене на ценные бумаги одного или родственного типа на различных рынках или сегментах рынков с целью получения прибыли (как правило, без риска). Тем самым при помощи арбитража удается избежать неравновесия  на рынках наличных денег и в отношениях между рынками наличных денег и фьючерсными рынками. Арбитраж является выравнивающим элементом для образования наиболее эффективных рынков капитала.

В качестве основных данных в модели используются общие факторы риска, например показатели развития экономики, инфляции и т.д. Проводятся специальные исследования, как курс определенной акции в прошлом реагировал на изменение подобных факторов риска. При помощи полученных соотношений предполагается, что можно рассчитать поведение акций в будущем. Естественно, для этого используют прогнозы факторов риска. Если рассчитанный таким образом курс акций выше настоящего курса, это свидетельствует о выгодности покупки акции.

В данной модели ожидаемый доход акции зависит не только от одного β-фактора, как в предыдущей модели, а определяется множеством факторов. Вместо дохода по всему рынку рассчитывается доля по каждому фактору в отдельности. Исходным моментом является то, что средняя чувствительность соответствующего фактора равна единице. В зависимости от восприимчивости каждой акции к различным факторам изменяются соответствующие доли дохода. В совокупности они определяют общий доход акции. Согласно модели, в условиях равновесия, обеспечиваемого при помощи арбитражных стратегий, ожидаемый доход, например Еi, складывается из процентов по вкладу без риска λ0 и определенного количества воздействующих факторов, проявляющихся на всем рынке в целом с соответствующими премиями за риск (λ1…k), которые имеют чувствительность (b1…k) относительно различных ценных бумаг:

Ei = λ0 + λ1bi1 + λ2bi2 + … + λkbik.

На практике ни одна модель не даёт 100% прогноз. Рассмотрим достоинства и недостатки основных моделей.

Достоинство модели Марковица – простота и долгий, уже полувековой, срок применения. Этот срок позволил накопить гигантские статистические массивы по каждому котирующемуся на фондовых рынках активу; обработка этих массивов позволяет достаточно точно, по крайней мере, на ближнюю перспективу, оценивать доходность и риск в том смысле, который и закладывался основателями теории. Основной недостаток модели Марковица – ожидаемая доходность ценных бумаг принимается равной средней доходности по данным прошлых периодов. Поэтому модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка.