Прогнозирование временной структуры процентных ставок

С развитием  рынка активов с фиксированным  доходом и теории их оценки, а  также с увеличением роли процентных ставок в макроэкономической политике, временная структура процентных ставок, пути ее определения и управления становятся все более важными  вопросами в экономической теории и финансах.

Временная структура процентных ставок – это последовательность значений процентных ставок, упорядоченная по сроку погашения в определенный момент времени.

Для анализа  временной структуры процентных ставок необходимо определить различные  ставки, а также другие понятия  и обозначения, используемые в дальнейшем в работе.

1. Спот ставка r(0, t) - представляет собой ставку, под которую можно инвестировать средства в нулевой период времени на срок t . Спот ставки наблюдаемы и, например, для бескупонных облигаций равны доходностям к погашению. [9 с. 416]

 

Через спот ставку может быть определена непрерывно начисляемая форвардная ставка:

                                                        (1)

Форвардная ставка-  это ставка по займам, которые осуществляются в будущем периоде t на срок T − t . Также может быть определена мгновенная форвардная ставка:

                                                       (2)

Между ставкой  спот и мгновенной форвардной ставкой  существует следующая зависимость:

                                      (3)

То есть спот ставка равна средней мгновенной форвардной ставке. Кривая мгновенной форвардной ставки пересекает кривую спот ставок в точке максимума  последней. Из-за отсутствия развитых форвардных рынков   форвардные ставки являются ненаблюдаемыми, и возможна лишь оценка подразумеваемых форвардных ставок на основе данных по существующим финансовым инструментам, например по спот ставкам облигаций.

Далее будут  использованы обозначения r(t) = r(0,t) для спот ставки и f (t) = f (0,t) для мгновенной форвардной ставки, которые будут определяться в текущий (нулевой) момент времени.

Цена  облигации равна сумме дисконтированных по спот ставке денежных потоков от облигации – купонных выплат и  номинала:

                                                                  (4)

где N - количество купонов,

C i - i-ый  купон, выплачиваемый в момент  времени t i,

P - номинал  облигации, выплачиваемый на дату  погашения tM .

Как правило tN = tM.

Бескупонная доходность (zero-coupon yield, ZCY)- доходность к погашению бескупонной облигации, по которой предусмотрена только одна выплата в дату погашения облигации. Она может быть вычислена по формуле:

                                                                           (5)

Дюрация облигации- средний срок выплат по облигации, взвешенный по величине платежа:

                                (6)

Дюрация бескупонной облигации равна сроку до ее погашения.

Значение  кривой безрисковой доходности и  временной структуры процентных ставок можно оценить с точки  зрения эмитента-государства, Центрального банка и участников финансового  рынка.[9 с.148]

Для государства  определение временной структуры  ставок позволяет определить стоимость  заимствований, эффективно управлять  структурой долга и оптимизировать стоимость его обслуживания.

Для центрального банка как органа денежного регулирования  временная структура ставок позволяет  оценить ожидания рынка относительно будущих процентных ставок и уровня инфляции.

Индикатором ожиданий среднесрочных процентных ставок могут быть форвардные ставки, которые определяются по спот ставкам. Долгосрочный сегмент кривой доходности может служить индикатором инфляционных ожиданий. Кривая доходности отражает номинальные ставки, которые разбиваются (уравнение Фишера) на реальные ставки и инфляцию. Используя прогноз  реальных процентных ставок или предположение  об их неизменном значении, можно оценить  долгосрочные прогнозы рынка относительно инфляции.

Участниками финансового рынка кривая доходности может быть использована для анализа  рынка облигаций и оценки стоимости  активов.

Безрисковый характер ставок кривой доходности позволяет  оценить специфические премии (за риск, ликвидность, структуру выплат) по корпоративным облигациям и провести сравнительный анализ спрэдов доходностей  этих бумаг к кривой доходности. Такой анализ позволяет выявить  недооцененные или переоцененные  облигации и использовать арбитражные  возможности (например, при значительной разнице спрэдов бумаг с одинаковым кредитным качеством). Также анализ спрэдов позволяет оценить планируемую  доходность размещаемых облигаций, что помогает корпоративным эмитентам  определить оптимальную структуру  купонных выплат для привлечения  желаемого объема средств.

При оценке активов, например справедливой цены компании, кривая доходности позволяет оценить  будущую стоимость заемного капитала. Предполагая постоянство спрэда между доходностями существующих выпусков облигаций компании и кривой доходности, или используя значения спрэда компаний с одинаковым кредитным качеством, можно оценить форвардные ставки для конкретной компании, которые  затем использовать как показатель стоимости заемного капитала.

1.3 Кривая доходности.

 

На протяжении более чем тридцати лет исследований структуры процентных ставок было предложено множество моделей ее оценки на основе рыночных данных. Всё множество подходов к построению кривой доходности можно  разделить на функциональные модели и модели, основанные на сплайнах, которые  отличаются различным соотношением между качеством приближения  к реальным данным и гладкостью.

Функциональный  подход предполагает представление  кривой доходности как единой функции  для всех сроков погашения. Вид функции  может быть получен из моделей  поведения процентных ставок и отвечать теоретическим предпосылкам экономических  моделей, или может использоваться класс аппроксимирующих функций, например экспоненциальные или полиноминальные  функции.

Кривая  доходности – это график, отражающий изменения доходности к погашению  казначейских ценных бумаг с различными сроками погашения в зависимости  от даты погашения. Кривая доходности дает представление о временной  зависимости процентных ставок обновляется ежедневно с изменением доходности к погашению иллюстрирует некоторые формы кривых доходности, наблюдавшиеся в прошлом.[20 с. 128]

Функция кривой доходности может быть получена из стохастических моделей процентных ставок, например из модели Васичека. В  этой модели изменение краткосрочных  процентных ставок задается уравнением:

                                        dr(t) = λ (r(∞) − r(t))dt +σdz(t) ,                                         (1)

где z(t) - стандартное броуновское движение. При отсутствии случайного члена, то есть σ = 0 , решением является экспоненциальная функция:

                                r(t) = r(∞) − (r(∞) − r(0))e^−tλ                                        (2)

Величины r(∞) и r(0) равны равновесной краткосрочной  ставке и некоторой начальной  краткосрочной ставке. Масштабирующий параметр λ характеризует скорость приближения текущего значения ставки к равновесному уровню.

Кривая доходности в  стохастической модели Васичека задается формулой:

          

                    (3)

Кривая доходности Васичека может  быть прямой линией, возрастающей или убывающей, однако данная функция не позволяет кривой доходности иметь S-форму, горб (среднесрочные ставки выше как краткосрочных, так и среднесрочных), или, наоборот, U-форму. [9 с. 217]

 

Кроме модели Васичека для получения функции  кривой доходности могут быть использованы другие стохастические модели краткосрочных  ставок, например модели Хала-Уайта, Кокса-Ингерсолла-Росса, Хо-Ли. Однако использование более сложных моделей, несмотря на свою теоретическую обоснованность, приводит к получению сложных многопараметрических функций кривой доходности, которые плохо приближаются к рыночным данным.

Модель Нельсона-Сигеля (Nelson-Siegel, 1987) является одной из наиболее часто применяемых моделей на практике. В их работе «Parsimonious Modeling of Yield Curve» («Простое моделирование кривой доходности») было отмечено, что класс функций, легко представляющий типичные формы кривой доходности, связан с решением дифференциальных Уравнений. Кроме того, «теория ожиданий временной структуры процентных ставок дает эвристическую мотивацию для исследования этого класса функций, так как если спот ставки задаются дифференциальным уравнением, то форвардные ставки, являясь прогнозами (ожиданий), будут решениями этих уравнений».

Эксперименты  с классом функций, являющихся решением линейного дифференциального уравнения  второго порядка с действительными  и неравными корнями характеристического  уравнения, показали плохое приближение  к реальным данным и отсутствие сходимости оценок, что является признаком избыточного  количества параметров. Авторами было сделано предположение о равенстве  корней характеристического уравнения, что дает более простое выражение  для мгновенной форвардной процентной ставки:

                              

                                  (4)

Кривая  доходности Нельсона-Сигеля может принимать  любые формы: монотонно возрастающую или убывающую, выпуклую (с горбом), U-форму и S-форму, которые встречаются  на практике. Кроме того, каждое слагаемое  в функции спот ставок оказывает  наибольшее влияние на кратко-, средне- и долгосрочный сегмент кривой доходности, что добавляет гибкости модели.

Данная  модель хорошо зарекомендовала себя на рынках как развитых, так и  развивающихся стран. Она хорошо подходит для описания временной  структуры ставок при малом количестве ценных бумаг, на основе доходностей  которых строится кривая доходности, а также позволяет получить гладкую  форму кривой, которую можно использовать в макроэкономических исследованиях  и оценке финансовых инструментов.

Модель Свенссона (Svensson, 1994) является модификацией модели Нельсона-Сигеля. В этой модели в формулу (4) добавляется еще одно слагаемое, которое позволяет получить еще один горб у кривой доходности:

                            

                            (5)

Исследуя  структуру форвардных ставок Швеции, Свенссон обнаружил недостаточную  гибкость модели Нельсона-Сигеля при  описании отдельных сегментов кривой доходности. Добавление слагаемого позволяет  более точно оценить специфическую  структуру ставок в отдельные  промежутки времени, как правило, на краткосрочном сегменте кривой доходности. При оценке параметров модели Свенссона иногда используют значения четырех коэффициентов, полученные при оценке модели Нельсона-Сигеля, а затем проверяют значимость дополнительного слагаемого. Если модификация приводит к значительному улучшению приближения оцененной кривой к рыночным данным, и коэффициент  a₂ оказывается значимым, то используют модель Свенссона, в противном случае используют базовую модель Нельсона-Сигеля. Такой метод используется в оценке кривой бескупонной доходности Национальным банком Бельгии.

Выбор модели для приближения кривой доходности на конкретном рынке определяется несколькими  факторами. Важным фактором является количество торгуемых облигаций, на основе данных по которым оценивается кривая доходности. Функциональные модели хорошо подходят для экстраполяции – они позволяют  достаточно точно оценить ставки для тех сроков погашения, близко к которым не погашается ни одна бумага. Также они позволяют получить адекватные оценки ставок между сроками  погашения торгуемых бумаг, если существуют большие разрывы данных.      Другим критерием, тесно связанным с первым, является ликвидность рынка. Большое число сделок и большие объемы торгов минимизируют возможность нерыночного ценообразования и появления случайных скачков цен и доходностей, связанных с единичными сделками. В таком случае выбор модели может зависеть от целей анализа. Если определение временной структуры ставок требуется для макроэкономического анализа, оценки ожиданий ставок и инфляции, то функциональные модели имеют преимущество за счет своей гладкости, экстраполирующих возможностей и простоты оценки. Если же определение структуры ставок требуется для оценки финансовых активов, например для определения стоимостей торгующихся облигаций, и выявления арбитражных возможностей, то сплайновые модели имеют преимущество. При выполнении первого ограничения на значительное количество одновременно торгуемых ценных бумаг, сплайновые модели позволяют оценить особенности каждого временного участка кривой доходности и получить более точные оценки справедливых стоимостей ценных бумаг. Если рынок низколиквидный, и по некоторым бумагам в день проходят единичные сделки, или сделки отсутствуют, то это чревато появлением значительных случайных выбросов данных, из-за чего сплайновые модели могут дать необоснованный изгиб на определенных участках. Функциональные модели благодаря своей сравнительной жесткости позволяют сгладить такие выбросы, добавляя кривым доходности преемственности, которая предполагает возможность сравнения кривых, построенных в разные моменты времени (торговые дни).

 

Глава 2. Гипотезы временной структуры процентных ставок.

1. Теория непредвзятых ожиданий.

 

Теория непредвзятых ожиданий, или теория чистых ожиданий предполагает, что форвардная ставка представляет собой усредненное ожидание значениях за рассматриваемый период. Таким образом, набор возрастающих спот-ставок может быть объяснен тем, что рынок (т.е. подавляющее большинство инвесторов) считает: спот-ставки в будущем будут возрастать. Наоборот, набор убывающих спот-ставок может быть объяснен рыночными ожиданиями убывания спот-ставок. Теория включает два основных положения: [20 с. 129]