Оценка погрешностей результатов измерений

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Список принятых сокращений……………..……………………….3

 

Введение…………………………………………………………………4

 

1.Классификация погрешностей…………………………………...6

 

2. Случайные погрешности и их вероятностное описание..…10

 

3. Случайные погрешности результатов измерений ………….18

 

Заключение………………………………………………… ..…...….26

 

Список используемых источников и  литературы ……………..27

 

 

Список принятых сокращений

  СКО - среднеквадратическое отклонение 

  СКП - среднеквадратическая погрешность   

Введение

Данная работа имеет своей целью изучение физических основ измерений.

Задачи, рассматриваемые в реферате:

- дать описание понятия погрешностей измерений и классифицировать их;

- изучить способы оценки погрешностей;

- исследовать оценку погрешностей результатов измерений.

При практическом использовании  тех или иных измерений важно  оценить их точность. Термин "точность измерений", т. е. степень приближения  результатов измерения к некоторому действительному значению, не имеет  строгого определения и используется для качественного сравнения  измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие "погрешность  измерений" (чем меньше погрешность, тем выше точность). Понятие "погрешность" — одно из центральных в метрологии, где используются понятия "погрешность  результата измерения" и "погрешность  средства измерения". Она характеризует  точность результатов измерений, проводимых данным средством.

Оценка погрешности измерений  — одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений. Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация  погрешностей измерения в известной  мере условна, так как различные  погрешности в зависимости от условий измерительного процесса проявляются  в различных группах.

Оценивание погрешностей производится с целью получения  объективных данных о точности результата измерения. Погрешность измерения  описывается определенной математической моделью, выбор которой обуславливается  имеющимися априорными сведениями об источниках погрешности, а также  данными, полученными в ходе измерений. С помощью выбранной модели определяются характеристики и параметры погрешности, используемые для количественного  выражения тех или иных ее свойств.

 

 

1. Классификация погрешностей

Любое измерение есть процесс  сравнения. Процедура нахождения отношения  размера физической величины к размеру  той же величины, принятому за единицу, может быть записана в математической форме

,    (1)

где Q — размер измеряемой физической величины; |Q| — размер физической величины, принятый за единицу. Уравнение (1) называют уравнением измерения.

Значение физической величины, полученное в результате сравнения, является оценкой физической величины в принятых для измерения данной величины единицах.

Истинное значение физической величины — это значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в количественном и качественном отношении соответствующую физическую величину.

Действительное  значение физической величины — значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Результат измерения — значение величины, полученное путем ее измерения. Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины.

Погрешность результата измерения — это разница между результатом измерения Х и истинным (действительным) значением Q измеряемой величины:

D = Х – Q,    (2)

Погрешность указывает границы  неопределенности значения измеряемой величины. Истинное значение применяют  при решении теоретических задач  метрологии. На практике пользуются действительным значением величины.

Погрешность средства измерений — разность между показанием средства измерений (значением величины, полученным при помощи этого средства) и истинным (действительным) значением.

По способу выражения  различают абсолютную, относительную  и приведенную погрешность. Абсолютная погрешность — это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины и определяемая согласно выражения (2).

Относительная погрешность — это погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности к действительному значению. Относительную погрешность d находят из выражения:

 ,   (3)

и выражают в относительных  единицах или в процентах (в последнем случае в формуле (3) к правой части добавляется множитель 100 %).

Приведенная погрешность — это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерений отнесена к условно принятому значению Q_N, постоянному на всем диапазоне измерений или его части:

 ,   (4)

Условно принятое значение величины Q_N называют нормирующим значением.

Погрешность (как и результат сравнения в (1)) не является постоянной величиной. Установлено, что одна ее часть проявляется как постоянная величина, а другая изменяется непредсказуемо. Эти части назвали систематической и случайной погрешностями.

В упрощенном виде классификация  погрешностей по характеру их проявления приведена на рис. 1.

Рис. 1. Классификация погрешностей измерений по характеру их проявления

По характеру проявления следует также выделить грубые погрешности (промахи).

Грубые погрешности (промахи) — это такие погрешности, которые при исправных средствах измерений и корректных действиях экспериментатора (оператора) не должны появляться.

Промахи возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора, вследствие резких кратковременных  изменений условий проведения измерений (сбой в работе аппаратуры, скачки напряжения в сети, вибрация и т. п.), других аналогичных причин. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают.

Случайная погрешность — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений физической величины постоянного размера, проведенных с одинаковой тщательностью в одинаковых условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они проявляются при повторных наблюдениях в виде некоторого разброса полученных результатов. Случайные погрешности неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения.

Систематическая погрешность — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях физической величины постоянного размера. Систематические погрешности могут быть предсказаны, обнаружены и исключены (уменьшены) из результата измерений введением поправок.

Особое место среди  погрешностей занимают прогрессирующие (дрейфовые) погрешности. Их особенностью является то, что они могут быть скорректированы и учтены только в данный момент времени, а в дальнейшем вновь непредсказуемо изменяются.

 

 

 

2. Случайные погрешности и их вероятностное описание

Случайной называют такую величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее — какое именно. Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными, или дискретными, случайными величинами. Величины, возможные значения которых не отделены друг от друга и непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Необходимо отметить, что  граница между дискретными и  непрерывными величинами далеко не так  четко определена, как это может  показаться на первый взгляд. Обычно при  измерении принимают допущение  о том, что измеряемые величины являются непрерывными. С другой стороны, непрерывные  величины иногда представляются искусственно как дискретные, то есть изменяющиеся равными ступенями, и измерения производят подсчетом этих ступеней.

Для полной характеристики дискретной случайной величины необходимо и  достаточно знать все возможные  ее значения и вероятность появления  каждого из этих значений.

Законом распределения (законом распределения вероятности) случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания  закона распределения является таблица, которая часто называется рядом распределения случайной величины Х.

 

Х	х1	х2	х3	х4	х5	…
Р	р1	р2	р3	р4	р5	…

При этом сумма вероятностей равна единице:

, (5)

Считается, что если сумма  какого-то набора чисел равна 1, то эти  числа нормированы. Поэтому выражение (5) называется условием нормировки.

Ряд распределения может  быть представлен в графическом  виде. На графике по оси абсцисс  откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений (рис. 2).

Рис. 2. График распределения дискретной случайной величины

Во многих случаях наряду с распределением случайной величины или вместо него информацию об этой величине могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик  случайной величины.

• Математическое ожидание, которое вычисляется как сумма произведений всех возможных ее значений на вероятность этих значений:

(6)

На практике при ограниченном числе наблюдений пользуются оценкой  математического ожидания, которой  является среднее арифметическое. Значения х_k получаются в результате измерительного эксперимента.

• Дисперсия, которая является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(7)

Как следует из (7), дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому вводят понятие среднего квадратического отклонения (СКО), под которым понимают квадратный корень из дисперсии. СКО имеет размерность самой случайной величины:

(8)

Дисперсия и СКО служат для оценки степени разброса случайной  величины относительно ее среднего значения.

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных  значений, поэтому ее нельзя задать тем же законом распределения, что  и дискретную случайную величину. Для количественной характеристики распределения вероятности в  этом случае пользуются не вероятностью события Х = х, а вероятностью события Х < х, где х — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от х и является некоторой функцией от  х. Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины Х и обозначается F(x):

(9)

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения вероятности является универсальной характеристикой.

Для непрерывной случайной  величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения вероятности F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, выражаемый как:

(10)

Эта функция иначе называется плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения. Она всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде:

В измерительной практике часто используется равномерный  закон, при котором возможные  значения непрерывной случайной  величины находятся в пределах некоторого конечного интервала, где все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности (рис. 3).

Рис.3. Равномерный закон распределения плотности вероятности

Другим законом, который  имеет большое значение в метрологической  практике, является нормальный закон  распределения случайной величины.

Результат измерений при  непрерывном отсчете зависит  от влияния многих возмущающих факторов (воздействий). В случае, когда независимых  возмущающих факторов много, но влияние  каждого из них в отдельности  мало и примерно одинаково, применимы  две аксиомы: