Оценка погрешностей результатов измерений

1.Аксиома симметрии: при очень большом числе отсчетов случайные отклонения от среднего значения, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто.

2.Аксиома монотонного убывания плотности вероятностей: чаще всего встречаются меньшие отклонения, а большие отклонения встречаются тем реже, чем они больше.

Если эти аксиомы соблюдаются, то при неограниченном увеличении числа  независимых влияющих факторов закон  распределения плотности вероятности  можно представить как:

(11)

где   — среднее значение;   — среднее квадратическое отклонение. Такой закон носит название нормального закона распределения случайной величины. Общий вид дифференциальной p(x) и интегральной F(x) функций распределения для нормального закона приведен на рис. 4 и 5 соответственно.

Рис.4 Дифференциальная функция             Рис.5 Интегральная функция

распределения для нормального                распределения для нормального 

закона                                                           закона 

Для оценки того или иного свойства законов распределения случайной величины в теории вероятностей используют числовые характеристики, называемые моментами. Все они представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются значения, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения — центральными.

Общее правило образования  начальных моментов:

где k — номер момента. Важнейшим начальным моментом является первый — среднее значение:

(12)

Первый центральный момент называется математическим ожиданием  и обозначается символом М(х) (как и для дискретной случайной величины).

Математическое ожидание служит для определения положения  случайной величины на числовой оси — ее среднего значения, определяющего положение области, в которой группируются значения случайной величины.

Если начало координат  перенесено в центр закона распределения  вероятности, то такое распределение  называется центрированным. Общее правило образования центральных моментов записывается следующим образом:

Из формулы видно, что  первый центральный момент равен нулю.

Второй центральный момент называется дисперсией:

(13)

Чем больше дисперсия, тем  значительнее рассеяние результатов  сравнения относительно среднего значения (рис. 6).

Рис.6. Графики плотности распределения вероятности при различных значениях дисперсии

Третий центральный момент служит для оценки асимметрии распределения  плотности вероятности, четвертый  центральный момент используется для  оценки заостренности дифференциальной функции распределения вероятности.

 

 

3. Случайные погрешности результатов измерений

Математические модели эмпирических законов распределения вероятности  отдельных показаний, полученных при  измерении, — дифференциальная и интегральная функции распределения вероятности, а также все их моменты любого порядка обладают важным качеством: будучи характеристиками случайной величины, сами они не являются случайными. Описание с их помощью результатов измерений было бы удобным, если бы эти характеристики можно было получить. На практике невозможно получить бесконечное множество показаний при сохранении неизменности условий, при которых выполняются измерения. Поэтому в процессе обработки результатов измерений могут быть получены только оценки этих числовых характеристик.

Оценки, получаемые по статистическим данным, являются случайными величинами, и их значения зависят от объема экспериментальных данных.

Оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.

В том случае, когда можно  найти несколько несмещенных  оценок, лучшей из них считается  та, которая имеет наименьшую дисперсию. Такая оценка называется эффективной.

Рассмотрим n независимых наблюдений Q_i, полученных при измерении физической величины постоянного размера. Пусть каждое из них отличается от среднего значения Q (истинного значения) на δ_i:

Q₁ = Q + δ₁;

Q₂ = Q + δ₂;

Q₃ = Q + δ₃;

… … … … …

Q_n = Q + δ_n

где случайная величина δ(отклонение от среднего значения) подчиняется центрированному симметричному закону распределения вероятности. Суммируя правые и левые части уравнений и разделив полученные суммы на n, получим:

Теория вероятностей устанавливает, что при n→ ∞ алгебраическая сумма отклонений при симметричном законе распределения вероятности стремится к нулю:

Значение:

(14)

является приближением к  истинному значению и называется средним арифметическим значением. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой  истинного значения (среднего значения или математического ожидания). Для  нормального закона распределения  оценку СКО отдельных результатов измерений, входящих в серию из n независимых равноточных измерений, вычисляют по формуле:

(15)

Величину, определяемую согласно выражению (15), называют средней квадратической погрешностью (СКП) результатов единичных показаний в ряду измерений. На практике и в ряде нормативных документов в области метрологии широко используется термин «среднее квадратическое отклонение», при этом опускается слово «оценка». Величина S называется также стандартным отклонением.

Среднее арифметическое, как  и результат единичного измерения, является случайной величиной. В  серии измерений существует зависимость  между СКП единичного измерения  и СКП среднего арифметического :

(16)

СКП среднего арифметического  в   раз меньше, чем СКП результата единичного измерения. При этом если результаты единичного измерения подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то и среднее арифметическое подчиняется нормальному закону с тем же математическим ожиданием:

(17)

а среднее квадратическое отклонение —

(18)

В случаях, когда закон  равномерного распределения вероятности  не может быть получен экспериментально, его статистический смысл теряется, а сам закон распределения  используется как математическая модель для учета дефицита информации при  оценке погрешности результата измерения. Величину, вычисляемую согласно выражению (18), называют аналогом СКП.

Для количественной оценки и  установления границ случайной погрешности  результата измерения используются предельная погрешность, интервальная оценка, оценки числовых характеристик  закона распределения. Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений об источниках погрешности, назначением  измерений и характером использования  их результатов.

Предельная погрешность — это максимальная погрешность, которая может появиться в конкретном измерительном эксперименте. Теоретически такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение  , которое ограничивает возможные значения случайной погрешности с двух сторон от центра распределения (например, равномерного). Такая оценка не содержит информации о характере закона распределения, часто бывает завышенной и в настоящее время применяется редко.

Более информативными являются квантильные оценки. Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения вероятности, по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют квантилями(рис. 7).

Рис. 7. Квантильные оценки

Q₁ есть 25 %-ная квантиль, так как площадь под кривой p(Q) слева от нее составляет 25 % всей площади. Абсцисса Q₂ соответствует 75 %-ной квантили. Между Q₁ и Q₂ заключено 50 % всех возможных значений случайной величины (результатов единичных измерений). Квантильная оценка результата измерений позволяет найти вероятность, с которой значение случайной величины (результата измерения) находится в интервале от Q₁ до Q₂. Такой интервал называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность — доверительной вероятностью. Принято границы доверительного интервала указывать симметрично относительно среднего арифметического значения, а половину доверительного интервала устанавливать кратной СКП (tS) и принимать за оценку случайной погрешности результата измерения (рис. 8).

Рис.8. Доверительный интервал

Принято также применять  термин «доверительные границы случайной  погрешности». Доверительные границы  случайной погрешности находят  по формуле:

(19)

где t — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и формы закона распределения.

Квантили, ограничивающие доверительный  интервал, могут быть выбраны различными, поэтому при интервальном оценивании случайной погрешности необходимо указывать значение принятой доверительной  вероятности, например U = (3,0 +/- 0,2)В при Р = 0,95.

В общем случае можно вычислить  вероятность Р того, что искомое значение измеряемой величины лежит в пределах  для любого положительного числа t. В табл. 2 приведены доверительные вероятности при различных значениях t для нормального закона распределения при числе независимых наблюдений n >50 (при n < 50 используются коэффициенты Стьюдента). Более точные таблицы для значений t приводятся в специальной литературе по метрологии.

Таблица 2.

Зависимость коэффициента t от доверительной вероятности Р для нормального закона распределения

t	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,50	3,00	4,00
P, %	38	55	68	79	87	92	95,4	98,8	99,7	99,99

В целях единообразия оценивания случайных погрешностей интервальными  оценками при технических измерениях доверительная вероятность принимается  равной 0,95. В случаях особо точных и/или ответственных измерений допускается применять другую доверительную вероятность.

Согласно третьему свойству дисперсии, при суммировании нескольких статистически независимых случайных величин, которыми могут являться несколько случайных погрешностей, суммируют дисперсии, а не доверительные интервалы. Соответственно при необходимости оценить погрешность суммированием ее составляющих сложение числовых оценок дисперсии производят по формуле:

(20)

Таким образом, для того чтобы  отдельные составляющие случайной  погрешности можно было суммировать  расчетным путем, они должны быть представлены своим СКП, а не предельными  или доверительными границами. При  необходимости дальнейшей обработки  результатов измерений и оценки суммарного значения случайной погрешности  используют информацию о числовых характеристиках  законов распределения.

Формула (20) правомерна только для некоррелированных случайных величин. В том случае, когда суммируемые составляющие погрешности коррелированы, расчетные соотношения усложняются, так как требуется учитывать коррелированные связи. Методы выявления коррелированных связей и их учет являются предметом изучения в теории вероятностей и рассматриваются в специальной литературе по метрологии.

Необходимо отметить, что  форма закона распределения при  суммировании случайных величин  сохраняется лишь для небольшого числа законов распределения (например, нормального, закона Пуассона и некоторых  других). Этим во многом объясняется  значительная роль нормального закона распределения в метрологии, которую  он играет до настоящего времени. В  общем случае при суммировании случайных  величин законы их распределения  деформируются и закон распределения суммы оказывается отличным от закона распределения слагаемых. Соответственно усложняется проблема определения доверительного интервала по отношению к конечному результату.

 

Заключение

В результате проделанной работы по изучению оценки погрешностей результатов измерения можно сделать следующие выводы.

  В основу выбора оценок погрешностей положен ряд принципов. Во-первых, оцениваются отдельные характеристики и параметры выбранной модели погрешности. Это связано с тем, что модели погрешностей, как правило, сложны и описываются многими параметрами. Определение их всех весьма затруднительно, а иногда и невозможно. Кроме этого, в большинстве практических случаев полное описание модели погрешности содержит избыточную информацию, в то время как знание отдельных ее характеристик вполне достаточно для достижения цели измерения. Во-вторых, оценки погрешности определяют приближенно, с точностью, согласованной с целью измерения. Это обусловлено тем, что погрешности определяют лишь зону неопределенности результата измерения и их не требуется знать очень точно. В-третьих, погрешности оцениваются сверху, поэтому погрешность лучше преувеличить, чем преуменьшить, так как в первом случае снижается качество измерений, а во втором — возможно полное обесценивание результатов всего измерения. В-четвертых, поскольку стремятся получить реалистические значения оценки погрешности результата измерения, т.е. не слишком завышенные и не слишком заниженные, точность измерений должна соответствовать цели измерения. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств и времени. Недостаточная точность в зависимости от цели измерения может привести к признанию годным в действительности негодного изделия, к принятию ошибочного решения и т. п.