Задача на одномерные массивы

,

где мантисса числа A; q – основание системы счисления; порядок числа A, причем мантисса  должна отвечать условию:

.

Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась правильной  дробью, ограничение  слева – чтобы после запятой присутствовала значащая цифра (не 0). Так, число 125,25 представляется в нормальной форме как 0,12525×10 ³.

Значения  вещественных типов позволяют определить произвольное число лишь с некоторой точностью, зависящей от внутреннего формата вещественного числа. В таблице представления вещественных типов указано количество знаков в мантиссе, что определяет точность представления числа, и диапазон десятичного порядка, который определяет диапазон чисел, охватываемых данным типом.

 

 

Длина в байтах	Название типа в языке  Паскаль	Мантисса, значащие цифры	Диапазон десятичного  порядка
4	single	7…8	–45…+38
6	real	11…12	–39…+38
8	double	15…16	–324…+308
10	extended	19…20	–4951…+4932

 

Для представления чисел  в нормальной форме используются  фиксированные форматы разной длины. Например, для типа длиной в 4 байта в разрядной сетке форматов отводятся места для знака мантиссы (нулевой разряд), знака порядка (первый разряд), значения порядка (6 разрядов, со 2-го по 7-ой), в остальные разряды  записывается мантисса числа. В других форматах первый байт не изменяется, а увеличивается область под мантиссу. На рисунке представлена разрядная сетка в формате 4 байта.

 

Знак	Знак
mA	PA		PA					mA
0	1	2	. .	7	8	9		…		30	31

 

Формат числа в нормальной форме

 

Диапазон представления  чисел  можно оценить по максимальному  значению: ,  где

При  двоичном представлении  числа:

Представление нормальной формы в ЭВМ имеет следующие особенности:

1. В нормальных форматах 7 разрядов отводится под значение порядка и его знак. Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне или . Для облегчения действий над порядками делается смещение числовой оси порядков в область положительных значений, где не требуется учитывать знаки порядков. Это смещение равно +2⁶ = 64 = 40₁₆. Смещенный порядок называется характеристикой и обозначается Р_х. Характеристика числа не имеет знака и определяется: .

Теперь характеристика может принимать значения в диапазоне  =7F₁₆ и под ее значение отводятся 7 разрядов (2⁷ -1 =127). Очевидно, если Р_х= 40₁₆, то Р_А = 0, если Р_х< 40₁₆, то порядок отрицательный (Р_А < 0), при Р_х > 40₁₆ - порядок положительный (Р_А > 0). Если Р_х < 0 или Р_х > 7F₁₆, то значение характеристики пропадает, и результаты искажаются.

2. Мантиссы и порядки чисел выражаются в шестнадцатеричной системе счисления в двоичном виде. Такое представление обеспечивает увеличение диапазона представляемых чисел, т.к. изменение характеристики на 1 приводит к сдвигу мантиссы на одну шестнадцатеричную цифру, т.е. сразу на одну двоичную тетраду (четыре двоичных разряда).

Действительно, если в  формулу подставить q = 16, то Таким образом значение порядка увеличилось в 4 раза.

Представим в разрядной сетке  формата в 4 байта два числа: А₁₀ = 41006,5 = А₁₆ = А02Е,8 и В₁₀ = –41006,5 = В₁₆ = –А02Е,8. Для этого найдем нормализованные мантиссы и характеристики: m_A = 0, А02Е8, Р_{х A} = 40 + 4 = 44; m_B = –0,А02Е8, Р_{х B} = = 40 + 4 = 44.

 

 

0	100	0100	1010	0000	0010	1110	1000	0000	A16=44А02Е80>0
1	100	0100	1010	0000	0010	1110	1000	0000	B16=C4А02Е80<0
0	1							31

Представление чисел  в формате в 4 байта.

 

 Знак числа определяется  по первой шестнадцатеричной  цифре кода числа.

 

Машинные  коды чисел и действия над ними.  В ЭВМ используются специальные машинные коды чисел. Благодаря такому представлению чисел все арифметические операции над числами сводятся к операциям арифметического сложения и сдвигу их кодов вправо или влево. При этом учитываются знаки чисел, автоматически определяется знак результата и признаки возможного переполнения разрядной сетки заданных форматов. В ЭВМ применяются прямой, обратный и дополнительный коды. Замена операции вычитания на сложение может осуществляться с помощью обратного и дополнительного кодов. Сущность их заключается в том, что вычитаемое B, как отрицательное число, представляется в виде дополнения до некоторой константы K, при которой выполняется условие Обратный и дополнительный коды отличаются выбором значения константы K.

Пусть K = . Следовательно, операцию C = A – B, где A и B – целые положительные числа в любой системе счисления, можно представить в виде:

,     

где  10 – основание любой системы счисления;

       – константа образования дополнительного кода;

       – константа образования обратного кода.

       n – количество разрядов представления целых чисел в выбранной системе счисления; для дробных чисел n = 0.

Из выражения следует, что из полученной суммы нужно  исключить добавленную константу.

 

Пример 1. Пусть A = 46, B = 38. Найти C = A – B.

Константа для дополнительного  кода для обратного кода Тогда  ,  .

 

 

 

 

Из примера следует, что операция вычитания заменяется операцией сложения с дополнениями. Из полученной суммы константа дополнительного кода компенсируется просто ликвидацией единицы переноса из старшего разряда суммы. Константа обратного кода компенсируется путем исключения единицы переноса из старшего разряда суммы и добавления ее к младшему разряду суммы, т.е. требуется дополнительная операция сложения. Поэтому в ЭВМ для выполнения действий используется дополнительный код, а обратный для образования дополнительного кода.

По результатам действий над числами с дополнениями легко  определить знак суммы и наличие  переполнения разрядной сетки. Переполнение разрядной сетки происходит, если сумма равна или больше по модулю константы образования дополнительного кода.

 

Пример 2. Пусть A = 46, B = 38.  Найти С₁ = В – А,  С₂ = А + В,  С₃ = –А – В.

Определим (–А)_ДОП = 10² – 46 = 54:      (–В)_ДОП = 10² – 38 = 62.

 

 

 

 

 

 

Из примеров 1 и 2 следует, что при сложении чисел с разными знаками (С и С₁), наличие единицы переноса из старшего разряда является признаком положительного результата (С), отсутствие переноса (С₁) - признаком отрицательного результата, при этом константа образования дополнительного кода не скомпенсирована и осталась в сумме.

При сложении  чисел  с одинаковыми знаками признаки противоположны: отсутствие переноса единицы из старшего разряда при  положительных слагаемых (С₂) является признаком положительного результата, наличие переноса при отрицательных слагаемых (С₃) – признаком отрицательного, при этом одна константа компенсируется переносом, а вторая сохраняется в сумме. Эти же признаки в суммах (С₂ и С₃) указывают на отсутствие переполнения разрядной сетки для записи результатов (результаты имеют два десятичных разряда).

 

Пример 3.  Пусть A = 61, B = 72.  Найти С₄ = А + В,  С₅ = –А – В.

Определим (–А) _ДОП = 10² - 61 = 39:      (–В) _ДОП= 10² – 72 = 28.

 

Здесь в обоих случаях  при сложении чисел с одинаковыми  знаками происходит переполнение разрядной сетки, признаками которого являются: наличие переноса из старшего разряда при положительных слагаемых (С₄) и отсутствие переноса при отрицательных (С₅). При получении суммы С₅ перенос отсутствует, т.е. обе константы 100 остались в полученном результате. Следовательно, результат  67-100 = -33,  -33 - 100 = - 133 по модулю больше константы и в отведенные два разряда не умещается.

Рассмотрим образование  кодов в двоичной системе счисления  на примере А=±27. Знак числа, как было указано выше, кодируется 0 или 1, записывается перед старшим разрядом и отделяется для наглядности точкой, которая не является частью кода и в разрядной сетке не отражается. Для простоты примем, что задана разрядная сетка в один байт, т.е. 8 двоичных разрядов, из которых один отводится под знак, а 7 для записи числа.

А₁₀ = ± 27 = А₁₆ = ± 1B = А₂ = ±11011.

Примем константу для  дополнительного кода: К₁₀ = 2⁸ = К₂ = 10¹⁰⁰⁰ = 100000000 и константу для обратного кода: К₁₀ = 2⁸ - 1 = К₂ = 10¹⁰⁰⁰ - 1 = 11111111.

В таблице приведены прямой, обратный и дополнительные коды для чисел 27 и  -27.

Число	[A]ПК	[A]ОК	[A]ДК
11011	0.0011011	0.0011011	0.0011011
		11111111	100000000
		00011011	00011011
- 11011	1.0011011	1.1100100	1.1100101

 

Приведем правила образования  машинных кодов:

1. Прямой код положительного и отрицательного чисел отличаются только знаковыми разрядами, модуль числа не изменяется.
2. Положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах имеет одинаковое изображение.
3. Обратный код отрицательного двоичного числа образуется из прямого кода положительного числа путем замены всех единиц на нули, а нулей на единицы, включая знаковый разряд.
4. Дополнительный код отрицательного числа образуется путем добавления единицы к младшему разряду обратного кода этого же числа или заменой в коде положительного числа всех нулей на единицы, а единиц на нули, исключая последнюю единицу и следующие за ней нули.

Определение прямого  кода отрицательного числа по его  обратному и дополнительному коду производится по тем же правилам.

Числа, представленные в естественной форме, в памяти ЭВМ представлены в дополнительном коде, числа в нормальной форме хранятся в прямом коде. Действия в ЭВМ выполняются в прямом и дополнительном коде, обратный код используется для получения дополнительного кода.

Действия  над числами, представленными в  естественной форме. При сложении кодов чисел в естественной форме следует учитывать следующие положения:

1. числа хранятся в дополнительном коде;
2. в сумматоре числа складываются вместе со знаками, при этом образуется знак результата;
3. при сложении чисел с разными знаками единица переноса из знакового разряда стирается, т.е. компенсируется одна константа образования дополнительного кода;
4. признаками переполнения разрядной сетки при сложении кодов чисел с одинаковыми знаками могут служить:

1. знак суммы не соответствует знакам слагаемых;
2. переносы из старшего разряда суммы в знаковый и из знакового не согласуются, т.е. один из них присутствует, а другой отсутствует.

Очевидно, что если переносы согласуются, т.е. оба отсутствуют  или оба присутствуют, то переполнение разрядной сетки не происходит.

 

Пример 4. Дано: А = 267,  В = 186.  Найти сумму чисел при разных знаках слагаемых в 16-ти разрядном формате.

Решение.

1. представим исходные числа в двоичной системе счисления:

                 А₁₀ = 267 = А₁₆ = 10B = A₂ = 100001011