Моделирование и оптимизация технологических процессов в отрасли

Анализ данных выдал следующий результат, представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 – Результат Анализа данных

Сравнивая значения статистических величин, рассчитанных с помощью Excel в Выводе итогов и рассчитанных нами ранее, видим, что полученные данные совпадают.

 

3 Планирование эксперимента

Задача 113. На влагосвязывающую способность мясного фарша оказывают влияние три фактора: Х₁ – количество белкового наполнителя в составе фарша (интервал варьирования от 5 до 20 %); Х₂  – продолжительность перемешивания фарша (интервал варьирования от 2 до 10 минут); Х₃ – концентрация соли (интервал варьирования от 0.5 до 2 %). Был проведен полный факторный эксперимент 2³ План проведения эксперимента и соответствующие значения влагосвязывающей способности приведены в таблице:

Номер опыта	План эксперимента			Водосвязывающая способность фарша, %
	X1	X2	X3		Y1	Y2
1	– 1	– 1	– 1		67.1	67.8
2	+ 1	– 1	– 1		68.1	68.7
3	– 1	+ 1	– 1		69.4	69.8
4	+ 1	+ 1	– 1		70	71.2
5	– 1	– 1	+ 1		72	72.3
6	+ 1	– 1	+ 1		71.6	71.9
7	– 1	+ 1	+ 1		70.2	70.7
8	+ 1	+ 1	+ 1		68	68.3

Требуется:

- определить воспроизводимость эксперимента;

- найти уравнение модели;

- проверить значимость параметров модели;

- проверить адекватность и работоспособность математической модели;

- построить поверхность отклика и карту линий уровня выходных параметров для комбинации факторов, используя пакет STATGRAPHICS PLUS;

- указать область изменения факторов, в которой исследуемый параметр принимает максимальное значение.

Решение

1. Определим воспроизводимость эксперимента. Эксперимент воспроизводим, если средние дисперсии опытов однородны. Однородность дисперсий определяется с помощью G-критерия Кохрена.

Результаты расчетов для удобства представим виде таблицы 12:

Номер опыта	yi1	yi2	yiср	(yi1-yiср)2	(yi2-yiср)2	S2iср
1	67.1	67.8	67.45	0.1225	0.1225	0.245
2	68.1	68.7	68.4	0.09	0.09	0.18
3	69.4	69.8	69.6	0.04	0.04	0.08
4	70	71.2	70.6	0.36	0.36	0.72
5	72	72.3	72.15	0.0225	0.0225	0.045
6	71.6	71.9	71.75	0.0225	0.0225	0.045
7	70.2	70.7	70.45	0.0625	0.0625	0.125
8	68	68.3	68.15	0.0225	0.0225	0.045

Средняя дисперсия  опыта определяется по формуле (25):

     (25)

где i – номер опыта; j – номер повторности; m – количество повторностей в каждом опыте; y_ij – экспериментальные значения у; y_iср – среднее значения y в i опыте.

Определяется  расчетный критерий Кохрена по формуле (26):

      (26)

Подставим данные в формулу (27)

Определим табличное  значение G-критерия Кохрена по таблицам Кохрена. Табличный критерий Кохрена определяется на основе трех параметров: α = 0,05 – фиксированная вероятность; и по двум степеням свободы: ν, κ. Число степеней свободы определяется на основе соотношений: ν = m – 1; κ = N.

Определяем число степеней свободы для нашего случая, где N = 8, а m = 2. Тогда ν = 2 – 1 =1; κ = 8. Тогда G_табл=0.6798.

Сравниваем G_эксп и G_табл. В нашем случае G_эксп < G_табл, т. к. 0.4848 < 0.6798. Следовательно дисперсии однородны и эксперимент воспроизводим, т.е. эксперимент можно повторить в идентичных условиях с получением тех же результатов.

2. Так как эксперимент воспроизводим, продолжим обработку полученных экспериментальных данных, т.е. определим коэффициенты математической модели методом наименьших квадратов.

В общем виде математическая модель ПФЭ 2³ линейная и выглядит следующим образом:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x₃ + b₂₃x₂x₃ + b₁₂₃x₁x₂x₃

Количество коэффициентов  математической модели равно количеству опытов, в нашем случае восемь коэффициентов. Например, коэффициент b₁₂ – это коэффициент при эффекте взаимодействия двух факторов х₁ и х₂. Для определения коэффициентов математической модели составляется расширенная матрица планирования, включающая в себя и эффекты взаимодействия факторов, определяющиеся простым перемножением значений соответствующих факторов между собой. Расширенная матрица для ПФЭ 2³ представлена в таблице 13:

 

 

 

 

 

Таблица 12

№ опыта	План эксперимента
	Х0	Х1	Х2	Х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	yi cp
1	1	– 1	– 1	– 1	+ 1	+ 1	+ 1	– 1	67.45
2	1	+ 1	– 1	– 1	– 1	– 1	+ 1	+ 1	68.4
3	1	– 1	+ 1	– 1	– 1	+ 1	– 1	+ 1	69.6
4	1	+ 1	+ 1	– 1	+ 1	– 1	– 1	– 1	70.6
5	1	– 1	– 1	+ 1	+ 1	– 1	– 1	+ 1	72.15
6	1	+ 1	– 1	+ 1	– 1	+ 1	– 1	– 1	71.75
7	1	– 1	+ 1	+ 1	– 1	– 1	+ 1	– 1	70.45
8	1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	68.15
Сумма									558.55

Коэффициенты  математической модели определим методом  наименьших квадратов по следующим  формулам:

Подставляем значения из таблицы 13 в формулы (27), и в  итоге получаем следующие значения коэффициентов модели:

b₀ = 69.81875, b₁ = 0.09375, b₂ = 0.11875, b₃ = 0.80625, b₁₂ = 0.23125, b₁₃ = 0.58125, b₂₃ = 1.20625, b₁₂₃ = 0.24375.

Математическая  модель ПФЭ 2³ имеет вид:

y = 69.82 + 0.094x₁ + 0.12x₂ + 0.81x₃ + 0.23x₁x₂ + 0.58x₁x₃ + 1.21x₂x₃ + 0.24x₁x₂x₃

3. Определим значимость коэффициентов найденной математической модели. Значимость коэффициентов математической модели определяется при помощи доверительного интервала, который рассчитывается по формуле (28):

      (28)

где S_bi – дисперсия точечных оценок; t_табл – табличное значение критерия Стьюдента.

Рассчитаем  доверительный интервал. Для этого определяется дисперсия эксперимента по формуле (29):

      (29)

В нашем случае:

Определим дисперсию  точечных оценок по формуле (30):

       (30)

В нашем случае:

Извлекаем квадратный корень и получаем S_bi = 0.107711. Определим табличный критерий Стьюдента с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы). В нашем случае имеет вид СТЬЮДРАСПОБР (0.05; 8) = 2.31.

Определим доверительный  интервал по формуле (28):

Теперь сравним полученное значение доверительного интервала со значениями коэффициентов математической модели и если доверительный интервал меньше значения коэффициента по модулю , то коэффициент модели значим.

Определяем значимость коэффициента модели:

b₀ = 69.81875 > 0.0268 – коэффициент значим

b₁ = │-0.09375│ > 0.0268 – коэффициент значим

b₂ = │-0.11875│ > 0.0268 – коэффициент значим

b₃ = 0.80625 > 0.0268 – коэффициент значим

b₁₂ = │-0.23125│ > 0.0268 – коэффициент значим

b₁₃ = │-0.58125│ > 0.0268 – коэффициент значим

b₂₃ = │-1.20625│ > 0.0268 – коэффициент значим

b₁₂₃ = │-0.24375│ > 0.0268 – коэффициент значим

Все коэффициенты значимы, поэтому математическая модель не изменится с учетом незначимых коэффициентов.

 

4. Оптимизация технологических процессов

Задача 145 Исходя из специализации, колбасный цех может выпускать колбасы вареные 1 сорта. Нормы расхода в килограммах на 100 кг, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице:

	«Подольская»	«Степная»	«Угличская»	«Южная»	знак	наличие, т
Прибыль, ден. ед.	200	190	210	220	≤	-
Говядина дилованная	50	34	46	35	≤	11
Свинина жилованная	20	48	50	32	≤	10
Пектин яблочный	0.3	-	-	-	≤	0.2
Жир-сырец	6	-	-	-	≤	3
Белок соевый	-	4	-	6	≤	4
Натрия казеинат	4.5	-	-	-	≤	5
Мука или  крахмал	-	2	4	3	≤	2
Вода	19.2	12	-	24	≤	7
Специи	2.93	2.96	2.2	3.55	≤	4

Требуется:

• построить математическую модель задачи, привести ее к каноническому виду;
• найти оптимальный план производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль предприятию с помощью симплексного метода;
• сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель;
• дать экономический анализ основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач;
• найти оптимальный план производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль предприятию с помощью Поиска решения в электронных таблицах EXCEL.
• используя исходные данные из таблицы, построить математическую модель, привести ее к каноническому виду; найти оптимальный план производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль предприятию с помощью Поиска решения в электронных таблицах EXCEL; определить, сколько дополнительно ресурсов каждого вида необходимо взять, чтобы обеспечить выпуск следующего плана продукции: «Подольская» – 15 т, «Степная» - 20 т, «Южная» - 25 т., «Угличская» - 21 т.