Моделирование случайных процессов на ЭВМ

Популяция – это совокупность особей одного вида, существующих в  одно и то же время и занимающих определенную территорию. Сообщество – это совокупность совместно  сосуществующих популяций.

В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:

- взаимодействие организма  и окружающей среды;

- взаимодействие особей  внутри популяции;

- взаимодействие между  особями разных видов (между  популяциями).

В математической экологии при построении моделей используется опыт математического моделирования механических и физических систем с учетом разных специфических особенностей биологических систем, таких как:

- сложности внутреннего  строения каждой особи;

- зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;

- незамкнутости экологических  систем;

- огромного диапазона  внешних характеристик, при которых  сохраняется жизнеспособность систем  и др.

Привлечение компьютеров  существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой – возникли принципиально новые направления и, прежде всего, имитационное моделирование.

 

1.3. Случайные числа. Получение случайных чисел с заданным законом распределения

 

 

При компьютерном математическом моделировании  случайных процессов нельзя обойтись без наборов, так называемых, случайных  чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. На самом деле эти числа генерирует компьютер по определенному алгоритму, т.е. они не являются вполне случайными хотя бы потому, что при повторном запуске программы с теми же параметрами последовательность повторится; такие числа называют «псевдослучайными».

Процедура моделирования  предполагает следующее:

1.Выбирается случайное  равномерно-распределенное число  хk.

2.С помощью хк выбирается  интервал (аk,аk+1)

3.Берется следующее  равномерно-распределенное число  xi+1 и масштабируется с целью приведения к интервалу (аk,аk+1), т.е xi+1 становится случайной величиной равномерно-распределенной в интервале (аk,аk+1). Тогда случайное число yi находится по формуле: yi=ak+xi+1*(аk+1-аk)

Рассмотрим процесс  выборки интервала (аk,аk+1) с помощью xi: случайное число xi получается с помощью ПК в виде последовательности 0 и 1, если m –разрядность двоичного числа, то всего двоичных чисел будет равно 2m и каждому интервалу разумно поставить одно двоичное число.

Особенность приближенных методов: для реализации данного метода на ЭВМ требуется небольшое количество операций, причем число операций не зависит от точности уточнения значений, т.е. не зависит от числа интервалов. Она влияет только на размеры участка памяти, куда помещаются таблицы закодированных значений ак.

Различные типы датчиков случайных величин

Датчик СВ – это устройство, позволяющее по запросу получать реализацию a или несколько независимых реализаций a₁ ,… ,a_n   базовой случайной величины α .

Существует три типа датчиков: 1) табличные; 2) физические; 3) программные. Рассмотрим каждый из этих типов датчиков.

Табличный датчик СВ – это таблица случайных чисел, представляющая собой экспериментально полученную выборку реализаций равномерно распределенной в [0,1) случайной величины. Но применение табличных датчиков при имитационном моделировании ограниченно из-за следующих недостатков:

1) нехватки табличных  случайных чисел, т.к. для моделирования часто требуются миллионы случайных чисел;

2) большого расхода  оперативной памяти ЭВМ для хранения таблицы.

Физический  датчик СВ – это специальное радиоэлектронное устройство, являющееся приставкой к ЭВМ, выходной сигнал которого имитирует СВ. Он состоит из источника флуктуационного шума (например, «флуктуационно шумящей» радиолампы), значение которого в произвольный момент времени является случайной величиной  η ≥ 0 с плотностью p ( y), η и нелинейного преобразователя = Δ Δ α {η} / , (4.8) где { } = − Δ[ / Δ] Δ η η n – дробная часть числа η относительно заданного Δ > 0 ([z] – целая часть числа z). Выбирая Δ достаточно малой величиной, удается получить БСВ α . Отметим недостатки физического датчика СВ:

1) невозможность повторения  некоторой ранее полученной реализации a , т.к. P{α = a} = 0.

2) схемная нестабильность, приводящая к необходимости контроля  работы датчика при очередном его использовании. В силу этих недостатков на современных компьютерах физические датчики практически не используются.

Программный датчик СВ – это программа, служащая для имитации на ЭВМ реализаций базовой СВ. Рассмотрим работу датчика случайных чисел, встроенного в ЭВМ. Большинство программ - генераторов случайных чисел выдают последовательность, в которой предыдущее число используется для нахождения последующего. Первое из них - начальное значение. Все генераторы случайных чисел дают последовательности, повторяющиеся после некоторого количества членов, называемого периодом, что связано с конечной длиной машинного слова. Самый простой и наиболее распространенный метод - линейный конгруэнтный метод, в котором очередное случайное число x_n определяется по формуле:

где a, с, m - натуральные числа, mod - так называемая, функция деления по модулю (остаток от деления одного числа на другое по модулю). Наибольший возможный период датчика равен т; однако, он зависит от а и с. Ясно, что чем больше период, тем лучше; однако реально наибольшее m ограничено разрядной сеткой ЭВМ. В любом случае используемая в конкретной задаче выборка случайных чисел должна быть короче периода, иначе задача будет решена неверно. Заметим, что обычно генераторы выдают отношение , которое всегда меньше 1, т.е. генерируют последовательность псевдослучайных чисел на отрезке [0,1].

 

 

 

 

 

 

 

2 Моделирование простейших случайных воздействий

 

2.1. Тестирование генератора случайных чисел (ГСЧ)

 

Качество ГСЧ в значительной мере влияет на результаты работы программ, использующих случайные числа. Поэтому все применяемые генераторы случайных чисел должны пройти перед моделированием системы предварительное тестирование, которое представляет собой комплекс проверок по различным стохастическим критериям, включая в качестве основных тесты на равномерность, стохастичность и независимость (рассматриваются только ГСЧ с равномерным распределением).

Проверка равномерности  последовательностей псевдослучайных  равномерно распределенных чисел {x_i} может быть выполнена по гистограмме с присваиванием косвенных признаков. Суть проверки по гистограмме сводится к следующему. Выдвигается гипотеза о равномерности распределения чисел (0, 1). Затем интервал (0, 1) разбивается на m равных частей, тогда при генерации последовательности {x_i} каждое из чисел x_i c вероятностью , , попадет в один из подынтервалов. Всего в каждый j-й подынтервал попадает N_i чисел последовательности {x_i}, , причём . Относительная частота попадания случайных чисел из последовательности {x_i} в каждый из подынтервалов будет равна N_j/N. Очевидно, что если числа x_i принадлежат псевдослучайной квазиравномерно распределенной последовательности, то при достаточно больших N экспериментальная гистограмма (ломаная линия на гистограмме – Приложение В):

а) приближается к теоретической  прямой 1/m. Оценка степени приближения, т.е. равномерности последовательности {x_i}, может быть проведена с использованием критериев согласия.

Существуют и другие способы проверки равномерности  распределения. Проверка стохастичности последовательности псевдослучайных чисел {x_i} наиболее часто проводится методами комбинаций и серий.

2.2. Моделирование случайных событий.

 

 

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события.

Для моделирования случайного события А, вероятность которого = Р_с, достаточно сформировать одно число r, равномерно распределенного на интервале [0,1]. При попадании r в интервал [0,1] считаем, что событие А наступило, иначе – нет. Для моделирования полной группы N несовместимых соб А = {А₁, А₂,..., А_N} с вероятностями соответственно Р₁, Р₂, …, Р_N также достаточно одного значения r. Соб Аi считаем наступившим, если выполнилось условие. Если группа соб А не полна, то вводят фиктивное соб А_N+1 с вер-тью Р_N+1, т.е. дополняют выборку А. После этого генерируют число r и проверяют условие . При А = АN+1 считаем, что ни одно событий из исходной группы А не наступило.

Моделирование противоположных событий

Пусть имеются случайные числа ri т.е. возможные значения случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (0,1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р.

Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение ri случайной величины Х удовлетворяет неравенству ri ≤ p .

Противоположное событие A состоит в том, что ri›p. Тогда Р( A )=1–р. Процедура моделирования состоит в выборе значений ri и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А, иначе A .

Моделирование дискретной случайной величины.

Для того чтобы смоделировать (разыграть) дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения:

 

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

 

 

 

надо: 1) разбить интервал (0,1) на n частичных интервалов:

Δ1 – (0;р1),

Δ2 – (р1;р1+р2),

…

Δn – (р1+ р2+…+ рn-1;1).

2) выбрать случайное число rj.

Если случайное число rj попало в частичный интервал Δi, то разыгрываемая величина приняла возможное значение xi.

Моделирование полной группы событий.

Пусть A1, А2, ..., Аn, – полная группа событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., рn соответственно.

Моделирование полной группы несовместных событий можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения:

Х	1	2	…	n
р	р1	р2	…	рn

 

Правило: для того чтобы смоделировать испытание, в каждом из которых наступает одно из событий A1, А2, ..., Аn полной группы событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., рn соответственно, достаточно разыграть дискретную случайную величину с данным законом распределения. Если в испытании величина Х приняла возможное значение xi, то наступило событие Ai.

Моделирование независимых событий.

Пусть независимые события А и В наступают с вероятностями pA и pB. Возможными исходами совместных испытаний будут события:

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку условия (1);

2) определение одного из исходов по жребию с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия. Во втором варианте необходимо одно число xi,, но сравнений может потребоваться больше.

Моделирование зависимых событий.

Пусть события А и В являются зависимыми. События наступают с вероятностями pA и pB. Р(В/А) – условная вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел {xi} извлекается число хт, удовлетворяющее хт < рА. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности чисел {xi} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1 ≤ P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А B . Если условие хт < рА не выполняется, то наступило событие А . Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность:

Выберем из совокупности {xi} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1 ≤ P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания АВ или АВ .

Моделирование событий происходит по правилу: если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности, то событие не наступило.

 

3 Моделирование случайных векторов и процессов

 

3.1.Моделирование в рамках многомерных распределений

 

 

Задачи моделирования  на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале (0,Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N-мерных случайных векторов, где N=T/Δt.

Известны два основных метода моделирования на ЭВМ случайных  векторов с заданным многомерным  распределением: