Моделирование случайных процессов на ЭВМ

1. Метод условных распределений;
2. Метод Неймана.

Рассмотрим указанные  методы более подробно.

1. Метод условных распределений.

Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей N-мерной функцией плотности . Одномерная плотность распределения вероятности случайной величины имеет вид:

Используя описанные  выше способы моделирования случайных  величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию случайной величины с ω (1). Затем найдем условное распределение случайной величины :

Произведем выборку  случайной величины с функцией плотности и так далее. Полученная таким путем последовательность пар чисел ,будет иметь совместную плотность . Практическое использование этого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех сравнительно редких случаев, когда интегралы берутся в конечном виде.

2. Метод Неймана.

Пусть - N-мерная плотность распределения вероятностей случайного вектора с областью определения случайных координат . По аналогии с одномерным случаем для формирования реализаций вектора на ЭВМ вырабатывается N+1 случайных чисел , равномерно распределенных в интервалах соответственно,  -- максимальное значение функции .

В качестве реализаций случайного вектора  , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора , удовлетворяющие условию .

Реализации случайных  чисел , не удовлетворяющих этому условию, отбрасываются.

Здесь в отличии от одномерного случая имитируются  случайные точки не на плоскости  под кривой ω(y), а в (N+1)-мерном объеме под N-мерной поверхностью .

 

3.2. Моделирование случайных векторов в корреляционной теории

 

 

С практической точки  зрения способы получения возможных  значений составляющих случайного вектора  в рамках корреляционной теории сказываются  более приемлемыми, чем в рамках многомерных распределений. Корреляционные способы применимы в тех моделях, в которых достаточно обеспечить лишь заданную матрицу корреляционных моментов случайных векторов (или заданную корреляционную функцию при моделировании случайных процессов). Значение корреляционных способов возрастает в связи со следующими обстоятельствами.

Во-первых, нормальные случайные  векторы и процессы, играющие важную роль в приложениях, однозначно задаются матрицей корреляционных моментов.

Во-вторых, ненормальные случайные векторы часто появляются некоторых преобразований нормальных случайных векторов.

В-третьих, многомерные  законы распределения случайных  векторов, не являющихся нормальными, весьма трудно получить теоретически или экспериментально. Корреляционные же моменты определяются значительно  проще.

1.Метод линейного преобразования

Пусть задан N-мерный вектор -- матрица-столбец с элементами . Требуется получить N-мерный вектор с наперед заданной корреляционной матрицей  , где M{}—математическое ожидание

и средними .

Диагональные члены  - дисперсии, а остальные – ковариации координат вектора.

Известно, что производное  линейное преобразование А N-мерного вектора сводится к умножению его на некоторую матрицу N-мерного порядка . Матрица преобразования А выбирается верхнетреугольной   . Элементы матрицы найдем из условий (*):

.

Таким образом  .

Рассмотренный процесс  моделирования позволяет получить лишь необходимые корреляционные связи  между координатами случайного вектора. Закон распределения может быть любым. Требуется только. чтобы случайные координаты   удовлетворяли условию (*).

При больших N метод труднореализуем, так как для заполнения элементов матриц требуется большой объем оперативной памяти N(N+1)/2.

Метод канонических разложений

- каноническое разложение случайного  процесса; -случайный коэффициент с параметрами (некоррелированные); - система координатных функций.

Корреляционная функция .

Дискретные реализации ξ[n] непосредственно вычисляются по формуле.

В качестве используются выборочные значения некоррелированных случайных величин с параметром . Бесконечный ряд заменяется усеченным конечным.

Как выбрать систему  координат функций и найти  дисперсии  ? Часто в качестве выбирают систему ортонормированных функций .

При этом дисперсии –  собственные значения, -собственные функции интегрального уравнения .

Практически, нет простого способа решения таких уравнений. Существует приближенные способы получения  канонических разложений.

 Способ канонических  разложений случайных функций в дискретном ряде.

Пусть задан случайный  процесс ξ(t) с корреляционной функцией ; последовательность точек . Аппроксимировать случайный процесс ξ(t) случайным процессом ξ*(t), представленным в виде канонического разложения, таким что,

Позволяет получить каноническое разложение с помощью обычных  алгебраических операций.

Пусть требуется формировать  значения ξ(t) только в заданных N точках, вектор с корреляционной матрицей

Метод  разложения в  ряд Фурье

Для стационарных случайных  процессов наиболее простой частный  случай ортогонального разложения на конечном интервале (0,1) – разложение в ряд Фурье. - случайные амплитуды.

При реализации случайного процесса является периодическими функциями с периодом . -нужно выбрать.

-дисперсии коэффициентов  .

Заключение

 

Роль, которую играет математическое моделирование, безусловно, зависит от характера рассматриваемой  задачи, мастерства экспериментатора, располагаемого времени и отпущенных средств, а также от выбранной  модели. Необходимо постоянно иметь в виду первоначальную задачу. Самая распространенная ошибка связана с тем, что теряется из виду основная цель. Другой ошибкой является переход к моделированию при отсутствии достаточного количества данных о поведении системы в прошлом.

Можно предложить метод последовательного решения задачи, состоящий из следующих этапов:

1) формулировка задачи;

2) накопление экспериментальных  данных (в том числе, анализ  возможных ошибок в системе  регистрации данных, а в некоторых  случаях разработка новой системы регистрации, которая будет давать соответствующие данные);

3) определение влияния  рабочих параметров системы или  процесса (анализ случайных колебаний  процесса с целью выяснения  статистической зависимости результатов  от соответствующих параметров);

4) составление методики  эксперимента (например, изменение  параметров с целью определения фактического воздействия на результат);

5) уменьшение числа  «рабочих» параметров (оставление  лишь тех параметров, к изменению которых результаты наиболее чувствительны);

6) выяснение ограничений,  свойственных методу.

Одной из основных ошибок при математическом  моделировании является стремление к искажению реальных условий, т.е. условий, наблюдаемых в естественной или технической системе. Эти искажения часто делаются для того, чтобы воспользоваться определенной, уже созданной для другой цели моделью. Такой порядок неразумен, даже если он кажется целесообразным.

Задача экспериментатора не ограничивается построением модели. После разработки модели в нее  необходимо ввести определенную информацию, чтобы проверить, насколько приближаются воспроизводимые ею данные к ранее зарегистрированным экспериментальным данным, которые соответствуют введенной информации. Лишь в том случае, когда воспроизводимые данные достаточно близки к исходной информации, можно будет гарантировать определенный успех при использовании модели для экспериментирования.

Существует довольно большое количество методов моделирования  СВ. В данной курсовой работе были изложены некоторые из них. При этом преследовалась цель изучить алгоритмы для моделирования СВ с тем, чтобы использовать в своей профессиональной деятельности при решении прикладных инженерных задач.

В тех случаях, когда  требуется высокая точность воспроизведения  законов распределения СВ, целесообразно использовать методы моделирования, не обладающие методической погрешностью. Другим достоинством таких алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования закона в требуемый закон распределения даются в виде готовых аналитических зависимостей. Такие алгоритмы, кроме того, позволяют легко изменять форму закона распределения в процессе моделирования СВ

Основным недостатком  этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, так как выполнение на ЭВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций.

B задачах, не предъявляющих  высоких требований к качеству  СВ, для сокращения количества  элементарных операций рекомендуется  использовать более экономичные  приближённые методы.  

Таким образом, задача компьютерного моделирования формулируется как задача нахождения алгоритмов (по возможности наиболее  простых), позволяющих получать на ЭВМ дискретные реализации моделируемых процессов.

Глоссарий

№ п/п	Понятие	Определение
1	Закон распределения  СВХ	Соответствие между  отдельными возможными значениями СВХ  и их вероятностями
2	Математическое  моделирование	метод исследования процессов  и явлений на их математических моделях
3	Моделирование	представление различных  характеристик поведения физической или абстрактной системы с  помощью другой системы
4	Модель	материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта
5	Параметры имитационной модели	величины, которые исследователь (пользователь модели) может выбирать произвольно, т.е. управлять ими
6	Случайная величина	величина, которая в зависимости  от случайного исхода опыта принимает  то или иное значение
7	Случайное событие	Событие, которое достоверно непредсказуемо
8	Стохастическое  математическое моделирование	метод отражения случайности в закономерности, исследую-щий решения экстремальных задач при неполной информации о параметрах
9	Экзогенные  переменные	переменные, являющиеся для модели входными и порождаемые вне системы
10	Эндогенные  переменные	переменные, возникающие в системе в результате воздействия внутренних причин

 

Список использованных источников

1	Благовещенская, М. М. Информационные технологии систем управления технологическими процессами [Текст] : учеб. пособие для вузов / М. М. Благовещенская, Л. А. Злобин. – М. : Высшая школа, 2009.
2	Еременко, Ю. А. Современные информационные технологии [Текст] / Ю. А. Еременко, С. М. Штангей. – М. : ТНТ ООО, 2008.
3	Избачков Ю.С. Петров В.Н. Информационные системы. – СПб.: Питер, 2008 (Гриф Министерства образования и науки РФ).
4	Информатика и информационные технологии [Текст] / И. Г. Лесничая [и др.]. – М. : ЭКСМО, 2006.
5	Информационные системы  и технологии управления [Текст] / Под  ред. Г. А. Титоренко. – Юнити-Дана, 2010 г.
6	Информационные технологии [Текст] / Г. С. Гохберг [и др.]. – М. : Академия, 2007.
7	Коноплева, И. А. Информационные технологии [Текст] / И. А. Коноплева. – М. : Проспект, 2007.
8	Максимей, И. В. Имитационное моделирование сложных систем [Текст] / И. В. Максимей. – БГУ, 2009 г.
9	Михеева Е. В. Информационные технологии. Вычислительная техника. Связь [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е. В. Михеева, А. Н. Герасимов. – М. : Академия, 2005. – Электронная библиотека "Мир книг" (www.mirknig.su)
10	Советов, Б. Я. Информационные технологии [Электронный ресурс] : учебник для вузов / Б. Я. Советов. – М. : Высшая школа, 2003. Электронная библиотека IT-книга.

Приложения

Здесь разместите порядковую букву  приложения. Нумерация приложений должна быть сквозная, за исключением букв Ё, З, Й, О, Ч, Ь, Ы, Ъ. Порядковый номер может проставляться как вручную, так и автоматически. Количество строк в таблице  должно строго соответствовать количеству приложений. Пустых строк в таблице  быть не должно.

Здесь разместите файл приложения.