Золотое сечение

Введение

 

Человек различает  окружающие его предметы по форме. Интерес  к форме какого-либо предмета может  быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой  лежат сочетание симметрии и  золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей. Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и возрождения.

Золотое сечение - основа структурной гармонии природных  и искусственных систем. Человек  различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. Бесконечный ряд после запятой — 1,6180339887... Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

 

 

1. Золотое сечение

 

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в  крайнем и среднем отношении) — делнеие величины (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. (рис. 1).

 

 

(Рис.1) Cхема пропорциональных  отрезков золотого сечения

Золотое сечение (отношение) — иррациональное число, приблизительно равное 1.6180339887.

Т. е. равенство  вида (a + b):a = a : b, или, в других обозначениях, равенство (часто читается как: «(a + b) относится к a так же, как a относится к b»). Если (a + b):a = a : b, то (a + b) и b называют крайними, а a — средними членами пропорции.

Где:

• (a + b) — весь отрезок (крайний член)
• a — большая её часть(средний)
• b — меньшая её часть(крайний)

Практическое  знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

(Рис. 2) Деление отрезка прямой  по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки  В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка  С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции  выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0.

Решение этого  уравнения:

Обычно названия золотого сечения (отношения), часто  встречается как золотое сечение (латинский: sectio aurea) и золотая середина . Другие описания, с которыми часто сталкиваются, применяют выражения как необычное или как среднее сечение, как божественная пропорция, что на (латинском: sectio divina); также как золотая пропорция, золотое сокращение, золотое число, а также как среднее из Phidias.Золотое сечение часто обозначается греческой буквой —  .

 

 

(Рис.3) Построение золотого  прямоугольника

Фигура на рисунке 3 иллюстрирует геометрические отношения, которые определяют эту константу:

По крайней  мере со времён Ренессанса, много художников и архитекторов строили свои работы так, чтобы приблизить золотое сечение (отношение) к правилам золотого прямоугольника, в котором отношение более  длинной стороны к короткой было золотым отношением, равной золотой пропорции, удовлетворяющее эстетические восприятия.

Алгебраически нахождение золотого сечения (см. Рис.3) отрезка длины     сводится к решению уравнения:

, где  = 1.6180339887 (для сравнения (см. Рис.1) ),

откуда:

Отношение может быть также выражено приближенно дробями

где — числа Фибоначчи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Числа Фибоначчи

 

В математике хорошо известна последовательность чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,..., называемая числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи) и образуемая по рекуррентной формуле:

где n - натуральное  число и начальные члены равны 1 и 1.

Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен  сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение - 0,618 : 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Ярким примером проявления чисел Фибоначчи в  живой природе является филлотаксис Французский математик Бине показал, как связаны числа Фибоначчи и основание золотой пропорции:

Эта формула  интересна тем, что справа находятся  иррациональные числа α и  , а слева всегда целое. Нужно отметить асимметричность знаменателя правой части формулы 5. Из последней формулы легко получить следующее соотношение :

которое вместе с формулами показывает глубокую связь между числами Фибоначчи  и основанием золотой пропорции. В этих можно заметить почти «мистическое»  присутствие числа 5.

Если в рекурсивной  последовательности, образуемой по формуле 4, задать произвольные начальные члены, то предел отношения двух соседних членов этого ряда все равно будет  стремиться к α (формула 6). Даже некоторое  количество арифметических ошибок в вычислении φi при 1<i<<n, не повлияют на этот результат.

Основание золотой  пропорции является инвариантом  рекурсивных соотношений 4 и 6. В этом проявляется «устойчивость» золотого сечения, одного из принципов организации  живой материи.

Так же, основание золотой пропорции является решением двух экзотических рекурсивных последовательностей (рис 4.)

 

(Рис. 4) Рекурсивных последовательности

Фибоначчи так  же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно  взвесить товар? Фибоначчи доказал, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2....

Ряд Фибоначчи  мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Присутствие золотой  пропорции и чисел Фибоначчи  в живой природе позволяют  говорить о некотором едином механизме их возникновения. Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. На микроуровне (целочисленном) количественная характеристика этого процесса проявляется как числа Фибоначчи, а на макроуровне (статистическом) как основание золотой пропорции - число α. Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека и животных, а также явление филлотаксиса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Филлотаксис

 

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гете, который  был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков  всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

Исследования  показали, что движение протоплазмы  в клетке часто спиральное. Рост клеток также может быть спиральным, как показал ученый Кастл. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Следует отметить, что термин «спираль» не отражает точно строение молекул ДНК; более правильно говорить о винтовом расположении полипептидных цепей в этой молекуле. Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Во многих других случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о  спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины часто смешивают.

Нет сомнений, что  наследственная спиральность является одним из основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. На первый взгляд, кажется, что в кристаллах неорганических веществ спиральность или винтовая структура отсутствуют. Однако более глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании так называемых винтовых дислокаций. Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси эта плоскость поднимается на один шаг винта, равный межатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различных уровнях организации растений. Отчетливо проявляется эта особенность организации растений в закономерностях листорасположения.

Существует  несколько способов листорасположения. В первом листья побега располагаются  строго один под другим, образуя  вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

Винтовое расположение листьев  выражают дробью, числитель которой  равен числу оборотов по стеблю воображаемого  винта одного листового цикла, а  знаменатель- числу листьев в  данном цикле, совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев.

Оказалось, что  каждое растение характеризуется своим  листорасположением. Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается  формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены  строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся