Роль и функции математики в естествознании

На Древнем Востоке  математика получила особое развитие в Месопотамии. Математика развивалась  как средство решения повседневных практических задач, возникавших в  царских храмовых хозяйствах (землемерие, вычисление объемов строительных и  земляных работ, распределение продуктов  между большим числом людей и  др.). Найдено около сотни клинописных  математических текстов, которые относятся  к эпохе Древневавилонского царства (1894-1595 гг. до н.э.). Их расшифровка (Варден ван дер Б. Л. И др.) показала, что в то время уже были освоены операции умножения, определения обратных величин, квадратов и кубов чисел, существовали таблицы с типичными задачами на вычисление, которые заучивали наизусть[5,6]. Математики Древнего Вавилона уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). Система счисления была шестидесятеричной. Жителями Древнего Вавилона были известны приближенные значения отношения диагонали квадрата к его стороне ( они считали равным приблизительно 1,24; число π – приблизительно равным 3,125).

Вавилонская математика поднялась  до алгебраического уровня, оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и проч.), а числом вообще, числом как абстракцией. При этом числа рассматривались как некий  символ иной, высшей реальности (наряду с множеством других символов такой  высшей реальности). Но у древних  вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегреческой  математике представления о числах как о некоторой абстрактной  реальности, находящейся в особой связи с материальным миром. Поэтому  у них не вызывали мировоззренческих  проблем вопросы о природе  несоизмеримых отношений и иррациональных чисел.

На современном математическом языке те типовые задачи, которые  могли решать вавилоняне, выглядят следующим образом:

 

Алгебра и арифметика:

Уравнение с одним неизвестным

AX = B; X² = A; X² + AX= B; X² – AX = B; X³ = A; X² (X + 1) = A;

Системы уравнений с двумя  неизвестными

XY = В, X + Y = A;

XY = В, X – Y = A;

X² + Y² = В, X – Y = A;

X² + Y² = В, X + Y = A;

Им были известны следующие  формулы:

(A + B)² = A² + 2AВ + B²

(A + B)(A – B) = A² – B²

1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2ⁿ + (2ⁿ - 1)

1² + 2² + 3² + … +N² = ( + … + N) 

и суммирование геометрических прогрессий.

Геометрия:

пропорциональность для  параллельных прямых;

теорема Пифагора;

площадь треугольника  и  трапеции;

площадь круга ≈ 3R²;

длина окружности ≈ 6R;

объем призмы и цилиндра;

объем усеченного конуса они  считали по неправильной формуле: 1∕2 (3R² + 3r²), на самом деле он равен 1∕3(R² – r²).

  Объем усеченной пирамиды с высотой Н, квадратным верхним(В) и нижним(А) основаниями они определяли по неправильной формуле: 1∕2(А² + В²)Н; на самом деле он равен 1∕3(А² + АВ + В²)Н.

Основная общая особенность  и общий исторрический недостаток древневосточной математики – ее преимущественно рецептурный, алгоритмический, вычислительный характер. Математики Древнего Востока даже не пытались доказать истинность тех вычислительных формул, которые они использовали для решения конкретных практических задач. Все такие формулы строились  в виде предписаний: “делай так-то и  так-то”. Потому и учение математике состояло в механическом заучивании и зазубривании веками не изменявшихся способов решения типовых задач. Идеи математического доказательства в древневосточной математике еще  не было.

Вместе с тем у древних  вавилонян уже складывались отдельные  предпосылки становления математического  доказательства. Они состояли в процедуре  сведения сложных математических задач  к типовым задачам, а так же в таком подборе задач, который  позволял осуществлять проверку правильности решения.

 

1.2.Мир как число. Пифагорейский союз и его естественно-научные достижения.

В конце VI в.до н.э. центр научной мысли Древней Греции перемещается с востока средиземноморского мира на его запад на побережье Южной Италии Сицилии, где греки основали свои колонии. В городе Кротоне сложилась, по-видимому, первая (из известных нам) в истории человечества научно-филосовско-религиозно-политическая школа – Пифагорейский союз. Он просуществовал с конца VI в.до середины IV в.до н.э. и оказал громадное влияние на развитие древнегреческой культуры, науки, философии. При этом он активно вмешивался и в политическую жизнь италийских полисов. Основателем Пифагорейского союза был Пифагор, мыслитель, о котором сложено множество легенд и мало что известно достоверного. Пифагор – личность противоречивая, в его воззрении тесно переплетались элементы мифологии, религии, магии, философии  и науки.

Выходец из острова Самоса, Пифагор много лет  учился в  Египте и Вавилоне, возможно, даже в  Индии. Известна легенда о встрече  в Милете юного Пифагора с Фалесом  незадолго до смерти последнего. Оказавшись в Кротоне, он основал научно-филосовское и религиозно-политическое сообщество единомышленников, получившее в последствии название «Пифагорейский союз». Это была закрытая, тайная организация с определенным уставом, культивирующий размеренный, созерцательный образ жизни, который следовал из их представления о Космосе как упорядоченном, гармоничном, симметричном целом, постигнуть который дано не всем, а только избранным, т.е. тем, кто ведет особый образ жизни созерцателя, самоуглубляющегося, самосовершенствующегося мудреца.

Основное мировоззренческое  положение (которое принадлежит, очевидно, Пифагору) – «все есть число». Ранние пифагорейцы воспринимали число  как божественное начало, сущность мира, а в исследованиях числовых отношений видели средство спасения души, некий религиозный ритуал, очищающий человека и сближающий его с богами. Это филосовско-религиозное учение о том, что «мир есть число», ускоряло перевод математики из области практически-прикладной, вычислительной в сферу теоретическую, в систему понятий, логически связанных между собой процедурой доказательства. Мир целостен, гармоничен, в нем все взаимосвязано. В то же время «мир есть число», значит, что все числа связаны между собой, а занятия математикой позволяют эти связи установить, прояснить их логическими доказательствами. Кто изучит и поймет божественные числовые отношения, тот сам станет божественным (подобно Пифагору), а его душа перестанет переселяться в другие существа (реинкарнация) и возвыситься до абсолютного блаженства. Так закладывались философско-религиозные предпосылки математического и естественно-научного познания.

Математические и естественно-научные достижения пифагореизма.  При всей противоречивости пифагореизма (а может быть, благодаря ей) пифагорейская школа внесла величайший вклад в развитие конкретно-научного познания. Прежде всего это касается математики. Основные направления математических исследований раннего Пифагорейского союза:

-доказательство тех положений,  которые были получены в египетской  и вавилонской математике (включая  теорему Пифагора);

-разработка теории пропорций,  музыкальной теории (важнейшие гармонические  интервалы могут быть получены  при помощи отношения чисел  1,2,3 и 4);

-разработка теории чисел;

В теории чисел пифагорейцами  была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы  делили их на классы. Выделялись класс совершенных чисел (число, равное сумме своих собственных делителей, например, 6 = 1 + 2 + 3), класс дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284; ведь 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 и 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220), класс фигурных (треугольное число, квадратное число и т.д.) чисел, простых и др.

В эту эпоху также стали  известны формулы суммирования простейших арифметических прогрессий и результатов, в современном математическом языке  выражающиеся формулой типа

 

Рассматривались также вопросы  делимости чисел. Введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции, а также различные средние: арифметическое, геометрическое, гармоническое.

На ряду с геометрическим доказательством теоремы Пифагора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т.е. чисел, удовлетворяющих соотношению A² + B² = C². Было открыто много математических закономерностей теории музыки, совершенствовались приемы геометрического доказательства и т.д.

Важнейшим событием в истории  пифагореизма (уже после смерти Пифагора) было открытие несоизмерности диагонали  стороны квадрата, равной еднице (современным  математическим языком ). Это открытие имело не только чисто научное, математическое, но и большое мировоззренческое значение. Философский смысл его состоял в крахе общей идеи гармоничности, цельности, стройности, пропорциональности, измеримости, организованности Космоса. Под сомнением оказалась сама идея о том, что члены Союза пытались замалчивать это открытие, не предавать его гласности. Открытие несоизмеримости стало поворотным пунктом в истории математики и по своему значению может быть сопоставлено с открытием неевклидовой геометрии в XIX в.

Для решения проблемы несоизмеримости  надо было иметь четко представление  о следующих вещах: является ли неограниченной продолжительность процесса нахождения общей меры; как выразить бесконечную малость последней; как выразить то, что она должна содержать бесконечное число раз в сравниваемых величинах.

Теоретически были возможны два выхода. Первый связан с обобщением понятий числа и включением в  него более широкого класса математических величин (как рациональных, так и  иррациональных). По этому пути математика пойдет много позже, в эпоху Возрождения.

Второй путь – геометризация  математики, т.е.решение алгебраических задач с использованием геометрических образов (геометрическая алгебра помогает выражать как рациональные, так и иррациональные отрезки). Поскольку совокупность геометрических величин (например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, поскольку такое исчисление можно построить в геометрической форме. Так возникла геометрическая алгебра. Например, уравнение X² = 2 не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно в полнее разрешимо в области прямолинейных отрезков: его решением является диагональ квадрата со стороной, равной единице. Следовательно, для того чтобы получить решение такого квадратного уравнения, из области чисел надлежит перейти в область геометрических величин. Геометрическая алгебра применима не только к соизмеримым, но и к несоизмеримым отрезкам и тем не менее является точной наукой.

Первичные элементы геометрической алгебры – отрезки прямой. По отношению к ним определялись арифметические вычислительные операции. Сложение интерпретировалось как приставление отрезков, вычитание – как отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому  отрезку. Умножение отрезков приводило  к построению площадей (произведение отрезков А и В считался прямоугольник со сторонами А и В). Произведение трех отрезков давало параллелепипед. Произведение большего числа сомножителей в геометрической алгебре не могло рассматриваться. Деление было возможно лишь при условии, что размерность делимого больше размерности делителя и выступало как задача приложения площадей.

Методы геометрической алгебры  имели принципиальные ограниченности: они позволяли определить только один, положительный корень квадратного  уравнения; средствами построения были циркуль и линейка; объектами  построения были геометрические образы размерности не выше второй; уравнения  степени выше третьей в геометрической алгебре были просто не возможны.

Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории несоизмеримых величин проявилась при выделении класса задач, не поддающихся  решению с помощью циркуля  и линейки. Среди них наиболее известны задачи удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Попытки их разрешения привели в дальнейшем к появлению и усовершенствованию новых перспективных математических методов. Так, был разработан метод конических сечений, метод исчерпывания (как предпосылка метода пределов), разработаны основы общей теории отношений, применимой как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин.

Значительны и астрономические  идеи пифагорейцев. Есть сведения о  том, что еще Пифагор высказал идею шарообразности Земли[7]. Пифагорейцы первыми в Древней Греции научились распознавать на небесном своде планеты, отличать их от звезд (в то время распознавались лишь пять планет). Им же принадлежит идея гармонии «небесных сфер». Представители пифагорейской школы сформулировали идею гелиоцентризма, которую впоследствии развивал Аристарх Самосский.

Всемирно-историческая заслуга  пифагореизма – в осмыслении и  утверждении категории количества. Мир не является многообразием качественно  различных предметов, вещей, за таким  качественным разнообразием лежит  количественное единство вещей. Каждая вещь и ее свойства имеют определенную меру, степень роста, изменчивости, насыщенности своих качеств. Мера изменчивости определенного качества и есть его  количество. Каждая определенная вещь есть некоторое единство качества и  количества. Нельзя постичь вещь в  ее сущности и в ее целостности  без выявления количественных характеристик  вещи, а они постигаются математикой.

Пифагорейцы заложили основы такого представления о мире и  его познании, в соответствии с  которым математические знания (о  числах и их отношениях) являются важнейшим  условием, ключом к познанию природы.  Начиная с Пифагора в истории культуры развивается установка на широкое развитие математических исследований. Обратим внимание на еще одну особенность пифагореизма. По сути, из ложной посылки, что основа мира есть число, вытекает очень разумный и плодотворный вывод: математика есть средство познания устройства мира. И это далеко не единственный пример того, когда из ложных общих идейных философских посылок следуют плодотворные и истинные научные программы.