Роль и функции математики в естествознании

 

    1.3. Математические достижения средневековой арабской культуры.

Арабы существенно расширили  античную систему математических знаний. Они заимствовали из Индии и широко использовали десятичную позиционную  систему счисления. Она проникала  по караванным путям на Ближний Восток в эпоху Сасинидов (224-641), когда Персия, Египет и Индия переживали период культурного взаимодействия. И уже из арифметического трактата аль-Хорезми «Об индийских числах», переведенного в XII в. На латынь, десятичная система стала известна в Европе.

Получила также значительное развитие (свойственная еще Древнему Востоку) традиция создания новых вычислительных приемов и специальных алгоритмов. Так, например, аль-Каши с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников вычислил число π до 17 верных знаков.

Развивались методы приближенного  извлечения корней. Например, такой  известный в древности прием:

 

где, Т -  целое, был распространен на случай любого натурального показателя корня:

 

Известен им был и метод  вычисления корней, который ныне называется методом Руффини-Горнера[8]: если

,

то последовательное вычисление знаков корня связано с отысканием разностей

   

Арабские математики умели  также суммировать арифметические и геометрические прогрессии, включая  нахождение сумм вида:

 

 

 

 

 

Не ограничиваясь методами геометрической алгебры, арабские математики смело переходят к операциям  над алгебраическими иррациональностями. Они создали единую концепцию  действительных чисел путем объединения  рациональных чисел и отношений  и постепенно стерли грань между  рациональными числами и иррациональными. В Европе эту идею восприняли лишь в XVI в.

Арабские математики совершенствовали методы решения уравнений 2-й и 3-й  степеней; решали отдельные типы уравнений 4-й степени. В трактате аль-Хорезми «Книга об операции джерб(восстановлени) и кабала(приведение)», по которому европейские ученые в XII в. Начали знакомиться с алгеброй, содержались систематические решения уравнений 1-й и 2-й степени следующих типов:

АХ = В; Х² + ВХ = А;

АХ² = В; Х² + А = ВХ;

АХ² = ВХ; ВХ + А = Х².

Наиболее значительным достижением  арабов в алгебре был «Трактат о доказательствах задач» Омара  Хайяма, посвященный в основном кубическим уравнениям. Хайям построил теорию кубических уравнений, основанную на геометрических методах древних. Он классифицировал  все кубические уравнения с положительными корнями на 14 видов; каждый вид уравнения  он решал соответствующим построением. Хайям пытался найти правило  решения кубических уравнений в  общем виде, но безуспешно.

Если отдельные зачаточные элементы сферической тригонометрии  были известны еще древним грекам (например, Птолемей пользовался понятием «хорда угла»), то в систематическом  виде тригонометрия создана арабскими  математиками. Уже в работах аль-Баттани содержится значительная часть тригонометрии, включая таблицы значений котангенса для каждого градуса.

Историческая заслуга  средневековых арабских математиков  состояла в том, что они начали глубокие исследования по основаниям геометрии. Так, в сочинениях О. Хайяма и Насирэддина ат-Туси предприняты попытки доказать постулат о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений (сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым и др.). 

 

2.Математическая научная программа в развитии

Математическая программа, выросшая из философии Пифагора  и  Платона, начала развиваться уже  в античные времена. В основе программы  лежит представление о Космосе  как упорядоченном выражении  начальных сущностей, которые могут  быть разными. Для Пифагора это были числа.

Арифметика трактовалась как центральное ядро всего Космоса  в раннем пи фагореизме, а геометрические задачи — как задачи арифметики целых, рациональных чисел, геометрические величины — как соизмеримые. Как заметил Ван-дер-Варден, «логическая строгость не позволяла им допускать даже дробей, и они заменяли их отношением целых чисел». Постепенно эти представления привели к возвышению математики как науки высшего ранга. Поздний пифагореец, Архит, писал: «Математики прекрасно установили точное познание, и потому вполне естественно, что они правильно мыслят о каждой вещи, какова она в своих свойствах... Они передали нам ясное и точное познание о скорости (движении) звезд, об их восхождениях и захождениях, а также о геометрии, о числах, о сферике и в особенности о музыке». Картина мира гармонична: протяженные тела подчинены геометрии, небесные тела — арифметике, построение человеческого тела — канону Поликлета.

Переход от наглядного знания к абстрактным принципам, вводимым мышлением, связывают с Пифагором. Софисты и элеаты, разработавшие  системы доказательств, стали задумываться над проблемами отражения мира в  сознании, так как ум человека влияет на его представление о мире. Платон отделил мир вещей от мира идей — мир вещей способен только подражать  миру идей, построенному иерархически упорядоченно. Он утверждал: «Необходимо  класть в основу всего число». Мир  идей созидается на основе математических закономерностей по божественному  плану, и по этому пути математического  знания об идеальном мире пойдет наука. Открытие несоизмеримости стороны  квадрата и его диагонали, иррациональности чисел нанесло серьезный удар не только античной математике, но и  космологии, теории музыки и учению о симметрии живого тела.

Математики стали задумываться над основаниями своей теории. Ее основой выбрали геометрию, сумевшую представить отношения, невыразимые с помощью арифметических чисел и отношений. Геометрия Платона — «наука о том, как выразить на плоскости числа, по природе своей неподобные. Кто умеет соображать, тому ясно, что речь идет здесь о божественном, а не о человеческом чуде». Евдокс сформулировал теорию пропорций и ее приложения к геометрии. Он пришел к изучению сложных форм несоизмеримости с помощью беспредельного уменьшения остатков. Как позже писал Евклид: «Новое, более широкое понимание пропорций означало, что здесь, по сути дела, закладываются новые основания математики, новые представления об ее исходных понятиях, где иррациональные величины уже охвачены ими». Геометрия Евклида определила во многом структуру всей науки. Исходные понятия — точка, прямая, плоскость, на них построены «идеальные объекты второго уровня» — геометрические фигуры. При этом исходные понятия задаются системой аксиом.

Галилей и Ньютон создавали классическую физику по образцу «Начал» Евклида. Они сохранили системность и иерархичность. Частицы и силы — «первичные идеальные объекты», заданные в рамках определенного раздела науки. С XVII в. утвердился взгляд на научность (достоверность, истинность) знания как на степень его математизации. «Книга природы написана на языке математики», — считал Галилей. Математический анализ, развитие статистических методов анализа, связанных с познанием вероятностного характера протекания природных процессов, способствовали проникновению методов математики в другие естественные науки. И. Кант писал: «В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько в ней имеется математики». Уравнения Максвелла оказались «умнее автора», показав, что свет есть волна электромагнитная. Специальная и общая теории относительности Эйнштейна опираются на новое представление о пространстве и времени. Продолжением их являются многочисленные программы «геометризации» различных физических полей по образцу гравитационного, по созданию многомерных пространств, в связи с чем появляются и различные обобщения римановой геометрии.

Главное достоинство математики в том, что она может служить  как языком естествознания, так и  источником моделей природных процессов. Хотя модели несколько односторонни и упрощенны, они способны отразить суть объекта. Одна и та же модель может  успешно применяться в разных предметных областях, и потому ее эвристические  возможности возрастают. А в чем  «непостижимая эффективность математики»  в естественных науках — вопрос дискуссионный. Использование ЭВМ  для облегчения умственного труда  подняло метод моделирования  на уровень наблюдения и эксперимента как основных средств познания. Среди  всех преобразователей информации (зеркало, фотоаппарат, поэтический текст) ЭВМ  при работе с любыми входными воздействиями  перед совершением операции приводит их к «одному знаменателю», представляя их в виде конечности последовательности цифр — информационной модели. Появились возможности оптимизировать сложные системы и уточнять цели и средства реконструкции действительности. Кибернетика дает новое представление о мире, основанное на связи, управлении, информации, вероятности, организованности, целесообразности[9].

 

3.Методы научного познания. Применение математических методов в естествознании.

Структура научного исследования представляет собой в широком  смысле способ научного познания или  научный метод как таковой. Метод - это совокупность действий, призванных помочь достижению желаемого результата. Первым на значение метода в Новое  время указал французский математик  и философ Р. Декарт в работе «Рассуждения о методе». Но еще ранее один из основателей эмпирической науки  Ф. Бэкон сравнил метод познания с циркулем. Способности людей  различны, и для того, чтобы всегда добиваться успеха, требуется инструмент, который уравнивал бы шансы и  давал возможность каждому получить нужный результат. Таким инструментом и является научный метод.

А. Пуанкаре справедливо  подчеркивал, что ученый должен уметь  делать выбор фактов. «Метод — это, собственно, и есть выбор фактов; и прежде всего, следовательно, нужно озаботиться изобретением метода»[10]. Не только уравнивает способности людей, но также делает их деятельность единообразной, что является предпосылкой для получения единообразных результатов всеми исследователями.

Современная наука держится на определенной методологии - совокупности используемых методов и учении о  методе - и обязана ей очень многим. В то же время каждая наука имеет  не только свой особый предмет исследования, но и специфический метод, имманентный  предмету. Единство предмета и метода познания обосновал немецкий философ  Гегель.

Следует четко представлять различия между методологиями естественнонаучного  и гуманитарного познания, вытекающими  из различия их предмета. В методологии  естественных наук обычно не учитывают  индивидуальность предмета, поскольку  его становление произошло давно  и находится вне внимания исследователя. Замечают только вечное круговращение. В истории же наблюдают самое  становление предмета в его индивидуальной полноте. Отсюда специфичность методологии  исторического познания.

Вообще, методология социального  познания отличается от методологии  естественнонаучного познания из-за различий в самом предмете:

1) социальное познание  дает саморазрушающийся результат («знание законов биржи разрушает эти законы», — говорил основатель кибернетики Н. Винер);

2) если в естественнонаучном  познании все единичные факторы  равнозначны, то в социальном  познании это не так.

 Поэтому методология  социального познания должна  не только обобщать факты, но  иметь дело с индивидуальными  фактами большого значения. Именно  из них проистекает и ими  объясняется объективный процесс.

«В гуманитарно-научном  методе заключается постоянное взаимодействие переживания и понятия», — утверждал  В. Дильтей в статье «Сущность философии». Переживание столь важно в гуманитарном познании именно потому, что сами понятия и общие закономерности исторического процесса производны от первоначального индивидуального переживания ситуации. Исходный пункт гуманитарного исследования индивидуален (у каждого человека свое бытие), стало быть, метод тоже должен быть индивидуален, что не противоречит, конечно, целесообразности частичного пользования в гуманитарном познании приемами, выработанными другими учеными (метод как циркуль, в понимании Ф. Бэкона). Научный метод как таковой подразделяется на методы, используемые на каждом уровне исследований. Выделяются таким образом эмпирические и теоретические методы. К первым относятся: 1) наблюдение — целенаправленное восприятие явлений объективной действительности; 2) описание — фиксация средствами естественного или искусственного языка сведений об объектах; 3) измерение — сравнение объектов по каким-либо сходным свойствам или сторонам; 4) эксперимент — наблюдение в специально создаваемых и контролируемых условиях, что позволяет восстановить ход явления при повторении условий.

К научным методам теоретического уровня исследований следует отнести: 1) формализацию — построение абстрактно-математических моделей, раскрывающих сущность изучаемых  процессов действительности; 2) аксиоматизацию — построение теорий на основе аксиом — утверждений, доказательства истинности которых не требуется; 3) гипотетико-дедуктивный метод — создание системы дедуктивно связанных между собой гипотез, из которых выводятся утверждения об эмпирических фактах.

Другим способом деления  будет разбивка на методы, применяемые  не только в науке, но и в других отраслях человеческой деятельности; методы, применяемые во всех областях науки; и методы, специфические для  отдельных разделов науки. Так мы получаем всеобщие, общенаучные и  конкретно-научные методы.

Среди всеобщих можно выделить такие методы, как:

1) анализ — расчленение  целостного предмета на составные  части (стороны, признаки, свойства  или отношения) с целью их  всестороннего изучения;

2) синтез — соединение  ранее выделенных частей предмета  в единое целое;

3) абстрагирование — отвлечение  от ряда несущественных для  данного исследования свойств  и отношений изучаемого явления  с одновременным выделением интересующих  нас свойств и отношений;

4) обобщение — прием  мышления, в результате которого  устанавливаются общие свойства  и признаки объектов;

5) индукция — метод  исследования и способ рассуждения,  в котором общий вывод строится  на основе частных посылок;

6) дедукция — способ  рассуждения, посредством которого  из общих посылок с необходимостью  следует заключение частного  характера;

7) аналогия — прием  познания, при котором на основе  сходства объектов в одних  признаках заключают об их  сходстве и в других признаках;

8) моделирование — изучение  объекта (оригинала) путем создания  и исследования его копии (модели), замещающей оригинал с определенных  сторон, интересующих исследователя;

9) классификация — разделение  всех изучаемых предметов на  отдельные группы в соответствии  с каким-либо важным для исследователя  признаком (особенно часто используется  в описательных науках — многих  разделах биологии, геологии, географии,  кристаллографии и т. п.).

Большое значение в современной  науке приобрели статистические методы, позволяющие определять средние  значения, характеризующие всю совокупность изучаемых предметов. «Применяя статистический метод, мы не можем предсказать поведение отдельного индивидуума совокупности. Мы можем только предсказать вероятность того, что он будет вести себя некоторым определенным образом... Статистические законы можно применять только к большим совокупностям, но не к отдельным индивидуумам, образующим эти совокупности»[11].