Симметрия в физике, математике и жизни

4. Симметрия взаимодействий  элементарных частиц.

Элементарные частицы в точном значении этого термина - первичные, неразложимые частицы, из которых, по предположению, состоит вся материя. В понятии "Элементарные  частицы" в современной физике находит выражение идея о первообразных сущностях, определяющих все наблюдаемые свойства материального мира, идея, зародившаяся на ранних этапах становления естествознания и всегда игравшая важную роль в его развитии.

Понятие "Элементарные частицы" сформировалось в тесной связи с установлением дискретного характера строения вещества на микроскопическом уровне. Обнаружение на рубеже 19-20 вв. мельчайших носителей свойств вещества - молекул и атомов - и установление того факта, что молекулы построены из атомов, впервые позволило описать все наблюдаемые вещества как комбинации конечного, хотя и большого, числа структурных составляющих - атомов. Выявление в дальнейшем составных частей атомов - электронов и ядер, установление сложной природы самих ядер, оказавшихся построенными всего из двух частиц (нуклонов): протонов и нейтронов, существенно уменьшило кол-во дискретных элементов, формирующих свойства вещества, и дало основание предполагать, что цепочка составных частей материи завершается дискретными бесструктурными образованиями – элементарными частицами. Выяснившаяся в начале 20 в. возможность трактовки электро - магнитного поля как совокупности особых частиц - фотонов - дополнительно укрепила убеждённость в правильности такого подхода.

Мир элементарных частиц подчиняется  квантовым законам и всё ещё  не до конца познан. Определяющим понятием при построении различных моделей  взаимодействия элементарных частиц является понятие симметрии, понимаемое как математическое свойство неизменности процессов взаимодействия при различных преобразованиях координат или внутренних параметров модели. Такие преобразования образуют группы называемые группами симметрии.

Суперсимметрия – это симметрия  между бозонами и фермионами, то есть частицами с целым и полуцелым  спином. Уточним, что спин – это  внутренний угловой момент, характеристика квантовой частицы, не имеющая классического  аналога. Он принимает только целые  и полуцелые значения в единицах постоянной Планка. Как люди делятся на мужчин и женщин, на два пола с весьма отличным поведением, так и все частицы в природе делятся на два класса: фермионы и бозоны. Они обладают различными свойствами и разными статистическими распределениями. Фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака (отсюда и произошло их название), их операторы антикоммутируют, и в силу этого два фермиона не могут занимать одно и то же энергетическое состояние, поэтому их можно считать индивидуалистами. Бозоны же подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, их операторы коммутируют, и они стремятся занять низшее энергетическое состояние, они – коллективисты.

Частицы, которые составляют основу материи – кварки и лептоны  – являются фермионами, они имеют  спин равный 1/2. Напротив, частицы-переносчики взаимодействий – фотоны, глюоны и слабые векторные бозоны – являются бозонами и имеют спин равный 1. Хиггсовский бозон, как это видно из названия, является бозоном и имеет спин равный 0. Переносчик гравитации – гравитон – также является бозоном со спином 2. Отметим, что число бозонных и фермионных степеней свободы в Стандартной модели фундаментальных взаимодействий не совпадает: фермионных степеней свободы заметно больше.

Как математическая конструкция суперсимметрия возникла 40 лет назад и поначалу не привлекла большого интереса в силу своей экзотичности. В физике элементарных частиц в то время началось триумфальное шествие калибровочных теорий, была предложена новая теория электрослабых взаимодействий, найден способ квантования неабелевых калибровочных теорий, появилась и новая теория сильных взаимодействий – квантовая хромодинамика, которая поначалу воспринималась с осторожностью, хотя и позволила понять недавно открытое явление скейлинга, т.е. независимости процессов неупругого рассеяния от энергии. Суперсимметрия стояла несколько в стороне от главного направления развития.

Все имеющиеся к тому времени  теории не смешивали спины частиц. Существует даже теорема, не позволяющая  такие смешивания в релятивистской теории. Это обстоятельство, казалось бы, запрещало объединение бозонов и фермионов, а также гравитации с другими видами взаимодействий. Выход из этой ситуации был найден путём введения новых по своей природе фермионных генераторов, получивших впоследствии название суперсимметричных генераторов, а получившаяся алгебра была названа алгеброй суперсимметрии. Это потребовало и развития нового математического аппарата, включающего в себя новые числа – так называемые грассмановы числа, названные по имени немецкого математика Грассмана. Эти числа, в отличие от обычных, антикоммутируют, и операции с ними отличаются от операций с обычными числами. В релятивистской теории алгебра операторов суперсимметрии есть единственно возможная алгебра, которая связывает между собой состояния с разными спинами, что открывает возможности для объединения всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитацию, в рамках единой теории.

 Стандартная модель фундаментальных взаимодействий

Именно на основе понятия симметрии  строится и Стандартная модель. Прежде всего, она обладает пространственно-временной симметрией относительно вращений и сдвигов в пространстве-времени. Соответствующая группа симметрии носит название группы Лоренца (или Пуанкаре). Этой симметрии соответствует независимость предсказаний от выбора системы отсчёта. Кроме того, имеются группы внутренней симметрии – симметрии относительно вращений в пространстве «изоспина» и «цвета» (в случае слабых и сильных взаимодействий соответственно). Также ещё имеется группа фазовых вращений, связанная с электромагнитными взаимодействиями. Этим симметриям соответствуют законы сохранения электрического заряда, «цветного» заряда и т.д. Полная группа внутренней симметрии Стандартной модели, полученная на основе анализа многочисленных экспериментальных данных, есть произведение унитарных групп SU(3) x SU(2) x U(1). Все частицы Стандартной модели принадлежат различным представлениям групп симметрии, причём частицы разного спина никогда не перемешиваются.

Отличительная особенность суперсимметрии состоит в том, что её алгебра включает в себя наряду с коммутаторами антикоммутаторы. Она носит название градуированной алгебры. В одном представлении алгебры суперсимметрии расположены частицы разного спина, как правило, отличающиеся на половину, хотя возможны и большие представления, содержащие последовательность спинов. При этом каждое представление содержит одинаковое число бозонных и фермионных степеней свободы. Это значит, что фермионы и бозоны перестают быть независимыми, между ними возникает связь. В физике частиц это явление проявляется в том, что сила их взаимодействия оказывается одинаковой и, если существует взаимодействие фермионов, то существует такое же взаимодействие бозонов и наоборот. При этом не обязательно, что имеющиеся в Стандартной модели бозоны и фермионы должны принадлежать одному представлению. Наоборот, обычно они принадлежат разным представлениям, но каждая частица имеет партнёра со спином, отличающимся на половину. Тем самым суперсимметричная теория предсказывает существование новых частиц, которых называют суперпартнёрами обычных частиц и присваивают похожие названия. Так суперпартнёры кварков называются скварками, лептонов – слептонами, фотона – фотино, глюона — глюино и т.д. Партнёр хиггсовского бозона – хиггсино, а гравитона – гравитино. Эти частицы имеют те же квантовые числа, что и исходные частицы, но их спин отличается на половину, так что суперпартнёр бозона оказывается фермионом и наоборот. Суперпартнёры также предположительно тяжелее обычных частиц, но, к сожалению, их массы не предсказываются современной теорией.

Теория Великого объединения

Введение новой симметрии в  Стандартную модель преследует цель решить ряд проблем последней, но главной мотивировкой является всё  же объединение фундаментальных взаимодействий в рамках единой теории. Давно уже было замечено, что силы трёх взаимодействий — сильного, слабого и электромагнитного — сильно разнятся, но это различие является функцией расстояния (или энергии взаимодействия). При малых энергиях, доступных экспериментальному измерению, они относятся как 4:2:1, но при высоких энергиях они имеют тенденцию к сближению. При очень больших энергиях, в 10¹⁵ раз превосходящих массу протона, силы трёх взаимодействий становятся почти одинаковыми. Это послужило основой гипотезы Великого объединения взаимодействий, согласно которой существует единое взаимодействие, расщепляющееся при низких энергиях на три ветви, называемые нами сильным, слабым и электромагнитным взаимодействиями. Для осуществления этой гипотезы необходимо, чтобы три силы действительно сливались в одну при высоких энергиях. Так вот, с известной нам сегодня точностью этого явления не происходит, если Стандартная модель справедлива вплоть до очень высоких энергий. Напротив, если предположить существование суперсимметрии, то введение новых частиц приводит как раз к такому объединению.

Оказывается, что суперсимметрия не только обеспечивает объединение взаимодействий, но и стабилизирует объединённую теорию, в которой присутствуют два  совершенно разных масштаба: масштаб масс обычных частиц (порядка 100 масс протона) и масштаб великого объединения (порядка 10¹⁶ масс протона). Последний масштаб уже близок к так называемому планковскому масштабу равному обратной ньютоновской константе тяготения, что составляет порядка 10¹⁹ масс протона. На этом масштабе мы ожидаем проявление эффектов квантовой гравитации.

В этом моменте нас ожидает приятный сюрприз. Дело в том, что гравитация всегда стояла несколько особняком  по отношению к остальным взаимодействиям. Переносчик гравитации, гравитон, имеет спин 2, в то время как переносчики остальных взаимодействий имеют спин 1. Однако суперсимметрия перемешивает спины. В результате представления теории супергравитации содержат внутри себя как спин 2, так и спин 1 (вместе с полуцелыми спинами и спином 0). Такая теория может служить основой воистину объединённой теории, включающей гравитацию. На этом пути строится и другая объединённая теория, включающая в себя супергравитацию как низкоэнергетический предел, теория суперструн. Возможно, именно она является искомой единой теорией.

Математика суперсимметрии

Для многих физиков и математиков  привлекательной стороной суперсимметрии является её математическая структура. Оказалось, например, что в суперсимметричной теории происходит сокращение бесконечностей, которые присущи всем релятивистским теориям и составляют проблему, в особенности в квантовой гравитации. Впервые удалось построить квантовую суперсимметричную теорию калибровочных полей со спином 1, где полностью отсутствуют бесконечности. Есть большой прогресс и в теории супергравитации со спином 2, хотя вопрос с ее конечностью всё ещё остаётся открытым.

Помимо суперсимметричных теорий с одним антикоммутирующим генератором, можно построить суперсимметричные  теории с двумя и более генераторами. Такие теории получили название теорий с расширенной суперсимметрией. Если ограничиться теориями со максимальным спином 1, то максимальной является теория с 4 суперсимметричными генераторами, если же допустить спины вплоть до 2, то максимальной является теория с 8 суперсимметриями. Эти теории обладают замечательными и не до конца ещё понятыми математическими свойствами. Ожидается, что квантовые теории с максимально возможной суперсимметрией являются так называемые интегрируемыми теориями, то есть допускают точное решение. Это свойство является уникальным для релятивистских теорий.

Суперсимметрия на ускорителях

Разумеется, введение новой симметрии  и новых частиц в теорию требует  экспериментального подтверждения. Прямой экспериментальной проверкой гипотезы суперсимметрии явилось бы рождение новых частиц на ускорителях. Суперсимметрия могла бы также проявиться в изменении протекания ряда процессов, изменении времен жизни частиц и так далее. Однако косвенные проверки не столь убедительны.

Сложности, связанные с наблюдением  рождения новых суперсимметричных  частиц, обусловлены тем, что время  их жизни чрезвычайно мало. Даже двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, они успевают пролететь ничтожно малое расстояние для того, чтобы успеть их зарегистрировать. Поэтому мы вынуждены идентифицировать эти частицы по продуктам их распада, а иногда и по целому каскаду распадов. Этот факт, безусловно, создаёт проблемы идентификации, ибо конечными продуктами распада являются самые обычные частицы.

Таким образом, для подтверждения  рождения суперсимметричных частиц необходимо наблюдать превышение рождения обычных частиц при некоторой фиксированной энергии, которая укажет на массу распавшейся частицы. Превышение определяется по отношению к процессам без новых частиц. Следовательно, необходимо рассчитать количество частиц, которое должно рождаться в Стандартной модели, и сравнить его с экспериментом. В то же время, такое превышение может явиться результатом совсем других процессов. Как же убедиться, что наблюдаются именно суперсимметричные частицы? Для этого сначала необходимо осуществить суперсимметричное обобщение Стандартной модели, то есть построить суперсимметричную модель, а затем произвести расчёты по рождению частиц в ней. Если избыток наблюдается, и если он описывается суперсимметричной моделью, и если это же наблюдается в нескольких различных процессах, значит мы на правильном пути. Если же что-то не сходится, то нужно менять модель или, по меньшей мере, менять параметры модели.

Какие же условия должны выполняться, чтобы обнаружение суперсимметрии стало возможным? Прежде всего, должна быть достаточной энергия ускорителя, чтобы новые частицы рождались. Так как мы не знаем массы этих частиц, то задача осложняется. И всё-таки имеются косвенные соображения, что энергии Большого адронного коллайдера Европейского центра ядерных исследований в Женеве должно быть достаточно. Вторым условием является достаточно большое количество рождённых частиц для того, чтобы их можно было бы выделить из фона. Иными словами, превышение над фоном Стандартной модели должно быть ощутимым. Количество рождающихся частиц может быть оценено теоретически в рамках конкретной модели, но благодаря суперсимметрии произвол оказывается очень маленьким, ключевое значение имеет масса суперсимметричных частиц.