Предмет и значение логики

 

8. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция: таблицы значений.

Наиболее важные способы построения сложных высказываний.

Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причем, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Будем обозначать высказывания буквами A, B. C,…, отрицание высказывания – символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание A истинно, его отрицание A ложно, его отрицание, ~A, истинно.

A	~A
и л	л и

Определению отрицания  можно придать форму таблицы  истинности, в которой «и» означает «истинно» и «л» - «ложно».

 

 

В результате соединения двух высказываний при помощи слова  «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемы таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и» получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна  только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна. Высказывание A

A	B	A&B
и и л л	и л и л	и л л л

может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно  сказать о высказывании B. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний. Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена слева. Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

1) каждое высказывание (как простое,  так и сложное) имеет одно  и только одно из двух значений  истинности: оно является либо  истинным, либо ложным;

2) истинностное значение сложного  высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Соединяя два высказывания с  помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами диъюнкции. Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смыслах. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе – ложно.

A	B	AvB	Av`B
и и л л	и л и л	и и и л	л и и л

Символ v будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться v`. Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны. В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.

 

9. Импликация и эквивалентность:  таблицы значений

Условное высказывание – сложное высказывание, формулируемое  обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого. Условное высказывание слагается из двух простых высказываний. То, которому предписано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим); высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).

A	B	A→B
и и л л	и л и л	и л и и

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или и пликации.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным. Для установления истинности импликации «если A, то B» достаточно, таким образом, выяснить истинностные значения высказываний A и B. Из четырех возможных случаев импликация истинна в следующих трех:

(1) и ее основание,  и ее следствие истинны;

(2) основание ложно,  а следствие истинно;

(3) и основание, и  следствие ложны.

Только в четвертом  случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится. Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определен этой таблицей и ничего другого импликация не подразумевает. Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того является A истинным или ложными связано оно по смыслу с B или нет. Условное высказывание истнно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет.

С имплткацией тесно  связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность – сложное  высказывание «A, если и только если B», образованное из    высказываний A и B и разлагающееся на две импликации: «если A, то B» и «если B, то A».

A	B	A↔B
и и л л	и л и л	и л л и

Термином «эквивалентность»  обозначается и связка «... если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «..., если и только если» для этой цели могут использоваться «.. в том и только в том случае, когда...», «... тогда и только тогда, когда...» и т. п.

Если логические связки определяются в терминах истины и  лжи, эквивалентность истинна тогдаи только тогда, когда оба составляющие ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда  они оба истинны или оба  ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно. Обозначим эквивалентность символом ↔, формула A↔B может быть прочитана так: «A, если и только если B». Таблица истинности для эквивалентности приводится.

С использованием введенной  логической символики связь эквивалентности  и импликации можно 

представить так: «A↔B» означает «(A→B)&(A→B)».

Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и  всякое отношение, эквивалентность  высказываний является рефлексивной (всякое высказывание эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если одно высказывание эквивалентно другому, а другое – третьему, то превое высказывание эквивалентно третьему).

 

10. Логические законы  тождества, противоречия и исключенного  третьего

Закон тождества говорит: если  каждое высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: A→A, если A, то A. Например, если дом высокий, то он высокий» и т. п.

Идея, выражаемая законом  противоречия, проста: высказывание и  его отрицание не могут быть вместе истинными. Закон противоречия выражается формулой: ~(A&~ A), неверно, что A и не-A. Если применять понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказыание не является вместе истинным и ложным. Иногда закон противоречия формулируют

следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает  связь между противоречащими  друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным. Символически: A v~ A, A или не-A. Например: «Личинки мух имеют голову или не имеют ее». Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

 

11. Законы двойного  отрицания, контрапозиции, приведения  к абсурду и косвенного доказательства

Законом двойного отрицания  называется закон логики, позволяющий  отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулироватьтак: отрицание отрицания дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная не являтся бесконечной, то она бесконечна». В символической форме закон записывается так: ~ ~ A→A, если неверно, что не-A, то верно A.

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть второе» вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот. Символически:

(A→B)→(~B→~ A), если дело обстоит так, что если A, то B, то если не-B, то не-A;

(~B→~A)→(A→B), если дело обстоит так, что если не-B, то не-A, то если A, то B.

К примеру: из высказывания «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет  причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции  обычно относят также законы:

(A→~ B) →(B→~A), если дело обстоит так, что если A, то не-B, то если B, то не-A. Например, «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

(~ A →B) → (~B→ A), если верно, что если не-A, то B, то если не-B, то A. К примеру: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это  рассуждение, показывающее ошибочность  какого-то положения путем выведения из него абсурда, т. е. логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы, с другой, что у него нет углов; следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью». Закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A→B)&(A→~B)→~A, если (если А, то В) и (если А, то не-В), то не-А.

Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A→~A)→~A, если (если А, то не-А). Например, из положения «Всякое правило имеет исключения», которое само по себе является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.

Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании  того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Например, «Если  из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число отличное от самого себя и единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число. Символически закон косвенного доказательства записывается так:

(~A→~B)&(~A→~B)→A, если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.

Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:

(~A→(B& ~B))→A, если (если не-А, то В и не-В), то А. К примеру: «Если из того, что 10 не является простым числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число».

 

12. Законы де Моргана

Законы де Моргана  позваляют переходить от утверждений  с союзом «и» к утверждениям с  союзом «или», и наоборот: